Theorem xpsrnbas 17493

Description: The indexed structure product that appears in xpsval 17492 has the same base as the target of the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsrnbas	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsrnbas

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		xpsval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
4	3	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		2on 8408	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
8		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
9		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
10		fnpr2o 17479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
12	1, 2, 5, 7, 11	prdsbas2 17391	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
13		fvprif 17483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
14	13	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
15	8, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
17	16	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
18		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
19		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
20		ifeq12 4497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 = (Base‘𝑆)) → if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆)))
21	18, 19, 20	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
22		fvif 6842	. . . . . 6 ⊢ (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
23	21, 22	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
24	17, 23	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
25	24	ixpeq2dva 8846	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
26		xpsval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
27	26	xpsfrn 17490	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌)
28	25, 27	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = ran 𝐹)
29	12, 28	eqtr2d 2765	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286  ifcif 4478  {cpr 4581  ⟨cop 4585  ran crn 5624  Oncon0 6311   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  Xcixp 8831  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182  X_scprds 17367   ×_s cxps 17428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-prds 17369

This theorem is referenced by:  xpsbas  17494  xpsaddlem  17495  xpsadd  17496  xpsmul  17497  xpssca  17498  xpsvsca  17499  xpsless  17500  xpsle  17501  xpsmnd  18669  xpsgrp  18956  xpsrngd  20082  xpsringd  20235  xpstps  23713  xpstopnlem2  23714  xpsdsfn  24281  xpsxmetlem  24283  xpsxmet  24284  xpsdsval  24285  xpsmet  24286  xpsxms  24438  xpsms  24439