Theorem xpsrnbas 17626

Description: The indexed structure product that appears in xpsval 17625 has the same base as the target of the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsrnbas	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsrnbas

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		xpsval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
4	3	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		2on 8468	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
8		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
9		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
10		fnpr2o 17612	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
12	1, 2, 5, 7, 11	prdsbas2 17523	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
13		fvprif 17616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
14	13	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
15	8, 9, 14	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
16	15	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
17	16	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
18		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
19		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
20		ifeq12 4507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 = (Base‘𝑆)) → if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆)))
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
22		fvif 6899	. . . . . 6 ⊢ (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
23	21, 22	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
24	17, 23	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
25	24	ixpeq2dva 8911	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
26		xpsval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
27	26	xpsfrn 17623	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌)
28	25, 27	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = ran 𝐹)
29	12, 28	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ifcif 4488  {cpr 4592  ⟨cop 4596  ran crn 5664  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448  Xcixp 8896  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314  X_scprds 17499   ×_s cxps 17561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-prds 17501

This theorem is referenced by:  xpsbas  17627  xpsaddlem  17628  xpsadd  17629  xpsmul  17630  xpssca  17631  xpsvsca  17632  xpsless  17633  xpsle  17634  xpsmnd  18836  xpsgrp  19126  xpsrngd  20258  xpsringd  20415  xpstps  23948  xpstopnlem2  23949  xpsdsfn  24515  xpsxmetlem  24517  xpsxmet  24518  xpsdsval  24519  xpsmet  24520  xpsxms  24672  xpsms  24673