Theorem xpsrnbas 17615

Description: The indexed structure product that appears in xpsval 17614 has the same base as the target of the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsrnbas	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsrnbas

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		xpsval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
4	3	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		2on 8455	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
8		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
9		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
10		fnpr2o 17601	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
12	1, 2, 5, 7, 11	prdsbas2 17512	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
13		fvprif 17605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
14	13	3expia 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
15	8, 9, 14	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
16	15	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
17	16	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
18		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
19		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
20		ifeq12 4502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 = (Base‘𝑆)) → if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆)))
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
22		fvif 6887	. . . . . 6 ⊢ (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
23	21, 22	eqtr4i 2791	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
24	17, 23	eqtr4di 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
25	24	ixpeq2dva 8898	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
26		xpsval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
27	26	xpsfrn 17612	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌)
28	25, 27	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = ran 𝐹)
29	12, 28	eqtr2d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ifcif 4483  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ran crn 5653  Oncon0 6350   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435  Xcixp 8883  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303  X_scprds 17488   ×_s cxps 17550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-prds 17490

This theorem is referenced by:  xpsbas  17616  xpsaddlem  17617  xpsadd  17618  xpsmul  17619  xpssca  17620  xpsvsca  17621  xpsless  17622  xpsle  17623  xpsmnd  18825  xpsgrp  19116  xpsrngd  20248  xpsringd  20405  xpstps  23928  xpstopnlem2  23929  xpsdsfn  24495  xpsxmetlem  24497  xpsxmet  24498  xpsdsval  24499  xpsmet  24500  xpsxms  24652  xpsms  24653