Theorem xpsrnbas 17775

Description: The indexed structure product that appears in xpsval 17774 has the same base as the target of the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsrnbas	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsrnbas

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		xpsval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
4	3	fvexi 6925	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		2on 8521	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
8		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
9		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
10		fnpr2o 17761	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
12	1, 2, 5, 7, 11	prdsbas2 17672	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
13		fvprif 17765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
14	13	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
15	8, 9, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 2o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
17	16	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
18		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
19		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
20		ifeq12 4504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 = (Base‘𝑆)) → if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆)))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
22		fvif 6927	. . . . . 6 ⊢ (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
23	21, 22	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
24	17, 23	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
25	24	ixpeq2dva 8971	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
26		xpsval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
27	26	xpsfrn 17772	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌)
28	25, 27	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 2o (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = ran 𝐹)
29	12, 28	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ran crn 5657  Oncon0 6383   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Xcixp 8956  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463  X_scprds 17648   ×_s cxps 17710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-prds 17650

This theorem is used by:  xpsbas  17776  xpsaddlem  17777  xpsadd  17778  xpsmul  17779  xpssca  17780  xpsvsca  17781  xpsless  17782  xpsle  17783  xpsmnd  19003  xpsgrp  19301  xpsrngd  20434  xpsringd  20595  xpstps  24162  xpstopnlem2  24163  xpsdsfn  24729  xpsxmetlem  24731  xpsxmet  24732  xpsdsval  24733  xpsmet  24734  xpsxms  24886  xpsms  24887