Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stfv1 32527
Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1stfv1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2 iftrue 4535 . 2 (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3 elfzuz2 13511 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
53, 4eleq2s 2850 . . 3 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 eluzfz1 13513 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
76, 4eleqtrrdi 2843 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
85, 7syl 17 . 2 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9 id 22 . 2 (𝐼𝐷𝐼𝐷)
101, 2, 8, 9fvmptd3 7022 1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  (class class class)co 7412  1c1 11114  cle 11254  cmin 11449  cuz 12827  ...cfz 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-neg 11452  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490
This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  32530  madjusmdetlem4  33105
  Copyright terms: Public domain W3C validator