Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stfv1 32728
Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1stfv1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2 iftrue 4526 . 2 (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3 elfzuz2 13503 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
53, 4eleq2s 2843 . . 3 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 eluzfz1 13505 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
76, 4eleqtrrdi 2836 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
85, 7syl 17 . 2 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9 id 22 . 2 (𝐼𝐷𝐼𝐷)
101, 2, 8, 9fvmptd3 7011 1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4520   class class class wbr 5138  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11107  cle 11246  cmin 11441  cuz 12819  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-neg 11444  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482
This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  32731  madjusmdetlem4  33299
  Copyright terms: Public domain W3C validator