Theorem fzto1stfv1 33121

Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1stfv1	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2		iftrue 4531	. 2 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3		elfzuz2 13569	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2859	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		eluzfz1 13571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
7	6, 4	eleqtrrdi 2852	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9		id 22	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 8, 9	fvmptd3 7039	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  33124  madjusmdetlem4  33829