Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stfv1 33121
Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1stfv1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2 iftrue 4531 . 2 (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3 elfzuz2 13569 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
53, 4eleq2s 2859 . . 3 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 eluzfz1 13571 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
76, 4eleqtrrdi 2852 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
85, 7syl 17 . 2 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9 id 22 . 2 (𝐼𝐷𝐼𝐷)
101, 2, 8, 9fvmptd3 7039 1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  cle 11296  cmin 11492  cuz 12878  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  33124  madjusmdetlem4  33829
  Copyright terms: Public domain W3C validator