Theorem fzto1stfv1 33201

Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1stfv1	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2		iftrue 4487	. 2 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3		elfzuz2 13459	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		eluzfz1 13461	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
7	6, 4	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9		id 22	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 8, 9	fvmptd3 6975	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  33204  madjusmdetlem4  34014