Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stfv1 30761
Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1stfv1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2 iftrue 4454 . 2 (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3 elfzuz2 12905 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
53, 4eleq2s 2934 . . 3 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 eluzfz1 12907 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
76, 4eleqtrrdi 2927 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
85, 7syl 17 . 2 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9 id 22 . 2 (𝐼𝐷𝐼𝐷)
101, 2, 8, 9fvmptd3 6772 1 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4448   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  1c1 10523  cle 10661  cmin 10855  cuz 12229  ...cfz 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-neg 10858  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884
This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  30764  madjusmdetlem4  31116
  Copyright terms: Public domain W3C validator