Theorem fzto1stfv1 33186

Description: Value of our permutation 𝑃 at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1stfv1	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
2		iftrue 4463	. 2 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐼)
3		elfzuz2 13478	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
5	3, 4	eleq2s 2859	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		eluzfz1 13480	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
7	6, 4	eleqtrrdi 2852	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
9		id 22	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 8, 9	fvmptd3 6963	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ifcif 4457   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1c1 11034   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  33189  madjusmdetlem4  34026