Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1st1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1st1 33122
Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 33125 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1st1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
31, 2eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
5 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼 = 1)
64, 5breqtrd 5169 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐷)
8 psgnfzto1st.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (1...𝑁)
97, 8eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10 elfzle1 13567 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12 fz1ssnn 13595 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1312, 9sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
1413nnred 12281 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15 1red 11262 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15letri3d 11403 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
176, 11, 16mpbir2and 713 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 1)
18 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
1917, 18pm2.21dd 195 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20 eqidd 2738 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
2119, 20ifeqda 4562 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
223, 21ifeqda 4562 . . 3 ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
2322mpteq2dva 5242 . 2 (𝐼 = 1 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷𝑖))
24 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25 mptresid 6069 . 2 ( I ↾ 𝐷) = (𝑖𝐷𝑖)
2623, 24, 253eqtr4g 2802 1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  cres 5687  (class class class)co 7431  1c1 11156  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  fzto1st  33123  psgnfzto1st  33125
  Copyright terms: Public domain W3C validator