Theorem fzto1st1 33545

Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 33548 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1st1	⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
3	1, 2	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 𝐼)
5		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝐼 = 1)
6	4, 5	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐷)
8		psgnfzto1st.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
9	7, 8	eleqtrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10		elfzle1 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12		fz1ssnn 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
13	12, 9	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15		1red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	letri3d 11379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
17	6, 11, 16	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 1)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
19	17, 18	pm2.21dd 198	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
21	19, 20	ifeqda 4519	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
22	3, 21	ifeqda 4519	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
23	22	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝐼 = 1 → (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖))
24		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25		mptresid 6047	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖)
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   ↾ cres 5657  (class class class)co 7414  1c1 11128   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  ...cfz 13564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565

This theorem is used by:  fzto1st  33546  psgnfzto1st  33548