Theorem fzto1st1 33163

Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 33166 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1st1	⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
3	1, 2	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 𝐼)
5		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝐼 = 1)
6	4, 5	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐷)
8		psgnfzto1st.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
9	7, 8	eleqtrdi 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10		elfzle1 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12		fz1ssnn 13509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
13	12, 9	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12189	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	letri3d 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
17	6, 11, 16	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 1)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
19	17, 18	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
21	19, 20	ifeqda 4503	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
22	3, 21	ifeqda 4503	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
23	22	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ (𝐼 = 1 → (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖))
24		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25		mptresid 6016	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖)
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   ↾ cres 5633  (class class class)co 7367  1c1 11039   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166