Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1st1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1st1 30662
Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 30665 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1st1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝐼 = 1 → 𝐼 = 1)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
3 simpr 485 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
42, 3eqtr4d 2836 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
61ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼 = 1)
75, 6breqtrd 4994 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
8 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐷)
9 psgnfzto1st.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (1...𝑁)
108, 9syl6eleq 2895 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
11 elfzle1 12764 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
13 fz1ssnn 12792 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1413, 10sseldi 3893 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
1514nnred 11507 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
16 1red 10495 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ∈ ℝ)
1715, 16letri3d 10635 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
187, 12, 17mpbir2and 709 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 1)
19 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
2018, 19pm2.21dd 196 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
21 eqidd 2798 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
2220, 21ifeqda 4422 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
234, 22ifeqda 4422 . . 3 ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
2423mpteq2dva 5062 . 2 (𝐼 = 1 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷𝑖))
25 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
26 mptresid 5805 . . 3 (𝑖𝐷𝑖) = ( I ↾ 𝐷)
2726eqcomi 2806 . 2 ( I ↾ 𝐷) = (𝑖𝐷𝑖)
2824, 25, 273eqtr4g 2858 1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  ifcif 4387   class class class wbr 4968  cmpt 5047   I cid 5354  cres 5452  (class class class)co 7023  1c1 10391  cle 10529  cmin 10723  cn 11492  ...cfz 12746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747
This theorem is referenced by:  fzto1st  30663  psgnfzto1st  30665
  Copyright terms: Public domain W3C validator