Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1st1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1st1 30797
 Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 30800 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1st1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2 simpr 488 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
31, 2eqtr4d 2839 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼 = 1)
64, 5breqtrd 5059 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐷)
8 psgnfzto1st.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (1...𝑁)
97, 8eleqtrdi 2903 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10 elfzle1 12909 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12 fz1ssnn 12937 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1312, 9sseldi 3916 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
1413nnred 11644 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15 1red 10635 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15letri3d 10775 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
176, 11, 16mpbir2and 712 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 1)
18 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
1917, 18pm2.21dd 198 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20 eqidd 2802 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
2119, 20ifeqda 4463 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
223, 21ifeqda 4463 . . 3 ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
2322mpteq2dva 5128 . 2 (𝐼 = 1 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷𝑖))
24 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25 mptresid 5889 . 2 ( I ↾ 𝐷) = (𝑖𝐷𝑖)
2623, 24, 253eqtr4g 2861 1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   ↾ cres 5525  (class class class)co 7139  1c1 10531   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890 This theorem is referenced by:  fzto1st  30798  psgnfzto1st  30800
 Copyright terms: Public domain W3C validator