Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1st1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1st1 32852
Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 32855 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1st1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2 simpr 483 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
31, 2eqtr4d 2771 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
5 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼 = 1)
64, 5breqtrd 5178 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐷)
8 psgnfzto1st.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (1...𝑁)
97, 8eleqtrdi 2839 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10 elfzle1 13546 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12 fz1ssnn 13574 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1312, 9sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
1413nnred 12267 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15 1red 11255 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15letri3d 11396 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
176, 11, 16mpbir2and 711 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 1)
18 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
1917, 18pm2.21dd 194 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20 eqidd 2729 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
2119, 20ifeqda 4568 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
223, 21ifeqda 4568 . . 3 ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
2322mpteq2dva 5252 . 2 (𝐼 = 1 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷𝑖))
24 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25 mptresid 6059 . 2 ( I ↾ 𝐷) = (𝑖𝐷𝑖)
2623, 24, 253eqtr4g 2793 1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152  cmpt 5235   I cid 5579  cres 5684  (class class class)co 7426  1c1 11149  cle 11289  cmin 11484  cn 12252  ...cfz 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527
This theorem is referenced by:  fzto1st  32853  psgnfzto1st  32855
  Copyright terms: Public domain W3C validator