Theorem fzto1st1 33122

Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 33125 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1st1	⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
3	1, 2	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 𝐼)
5		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝐼 = 1)
6	4, 5	breqtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐷)
8		psgnfzto1st.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
9	7, 8	eleqtrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10		elfzle1 13567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12		fz1ssnn 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
13	12, 9	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15		1red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	letri3d 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
17	6, 11, 16	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 1)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
19	17, 18	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
21	19, 20	ifeqda 4562	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
22	3, 21	ifeqda 4562	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
23	22	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝐼 = 1 → (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖))
24		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25		mptresid 6069	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖)
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687  (class class class)co 7431  1c1 11156   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  fzto1st  33123  psgnfzto1st  33125