Theorem fzto1st1 33133

Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 33136 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
fzto1st1	⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
3	1, 2	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 𝐼)
5		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝐼 = 1)
6	4, 5	breqtrd 5122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐷)
8		psgnfzto1st.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
9	7, 8	eleqtrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10		elfzle1 13441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12		fz1ssnn 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
13	12, 9	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
14	13	nnred 12158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15		1red 11131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	letri3d 11273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
17	6, 11, 16	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 1)
18		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
19	17, 18	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖 ≤ 𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖 ≤ 𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
21	19, 20	ifeqda 4514	. . . 4 ⊢ (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
22	3, 21	ifeqda 4514	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
23	22	mpteq2dva 5189	. 2 ⊢ (𝐼 = 1 → (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖))
24		psgnfzto1st.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25		mptresid 6008	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ 𝑖)
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2794	1 ⊢ (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   I cid 5516   ↾ cres 5624  (class class class)co 7356  1c1 11025   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕcn 12143  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  fzto1st  33134  psgnfzto1st  33136