Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1st1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1st1 32000
Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st 32003 is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fzto1st1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem fzto1st1
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)
2 simpr 486 . . . . 5 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
31, 2eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐼 = 𝑖)
4 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼 = 1)
64, 5breqtrd 5132 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ≤ 1)
7 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐷)
8 psgnfzto1st.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (1...𝑁)
97, 8eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
10 elfzle1 13450 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑖)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ≤ 𝑖)
12 fz1ssnn 13478 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1312, 9sselid 3943 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
1413nnred 12173 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 ∈ ℝ)
15 1red 11161 . . . . . . . 8 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15letri3d 11302 . . . . . . 7 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
176, 11, 16mpbir2and 712 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 1)
18 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → ¬ 𝑖 = 1)
1917, 18pm2.21dd 194 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑖 − 1) = 𝑖)
20 eqidd 2734 . . . . 5 ((((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐼) → 𝑖 = 𝑖)
2119, 20ifeqda 4523 . . . 4 (((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
223, 21ifeqda 4523 . . 3 ((𝐼 = 1 ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝑖)
2322mpteq2dva 5206 . 2 (𝐼 = 1 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷𝑖))
24 psgnfzto1st.p . 2 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
25 mptresid 6005 . 2 ( I ↾ 𝐷) = (𝑖𝐷𝑖)
2623, 24, 253eqtr4g 2798 1 (𝐼 = 1 → 𝑃 = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189   I cid 5531  cres 5636  (class class class)co 7358  1c1 11057  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  fzto1st  32001  psgnfzto1st  32003
  Copyright terms: Public domain W3C validator