Theorem fzto1stinvn 33732

Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
3	1, 2	fzto1stfv1 33729	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
4	3	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = (◡𝑃‘𝐼))
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 33731	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	5, 6	symgbasf1o 19616	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝐷⟶1-1onto𝐷)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃:𝐷⟶1-1onto𝐷)
10		elfzuz2 13686	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10, 1	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 13688	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
13	12, 1	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
14	11, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15		f1ocnvfv1 7304	. . 3 ⊢ ((𝑃:𝐷⟶1-1onto𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
16	9, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
17	4, 16	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1c1 11225   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663  Basecbs 17413  SymGrpcsymg 19610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-tset 17473  df-efmnd 19091  df-symg 19611  df-pmtr 19683

This theorem is used by:  madjusmdetlem4  34529