Theorem fzto1stinvn 32790

Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
3	1, 2	fzto1stfv1 32787	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
4	3	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = (◡𝑃‘𝐼))
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 32789	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	5, 6	symgbasf1o 19313	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		elfzuz2 13524	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10, 1	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 13526	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
13	12, 1	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15		f1ocnvfv1 7279	. . 3 ⊢ ((𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
16	9, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
17	4, 16	eqtr3d 2769	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11125   ≤ cle 11265   − cmin 11460  ℤ_≥cuz 12838  ...cfz 13502  Basecbs 17165  SymGrpcsymg 19305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-efmnd 18806  df-symg 19306  df-pmtr 19381

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  33354