Theorem fzto1stinvn 33204

Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
3	1, 2	fzto1stfv1 33201	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
4	3	fveq2d 6848	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = (◡𝑃‘𝐼))
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 33203	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	5, 6	symgbasf1o 19321	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		elfzuz2 13459	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10, 1	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 13461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
13	12, 1	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15		f1ocnvfv1 7234	. . 3 ⊢ ((𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
16	9, 14, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
17	4, 16	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437  Basecbs 17150  SymGrpcsymg 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-tset 17210  df-efmnd 18808  df-symg 19316  df-pmtr 19388

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  34014