Theorem fzto1stinvn 30796

Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
3	1, 2	fzto1stfv1 30793	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
4	3	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = (◡𝑃‘𝐼))
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 30795	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	5, 6	symgbasf1o 18495	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		elfzuz2 12907	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10, 1	eleq2s 2908	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 12909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
13	12, 1	eleqtrrdi 2901	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15		f1ocnvfv1 7011	. . 3 ⊢ ((𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
16	9, 14, 15	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
17	4, 16	eqtr3d 2835	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  Basecbs 16475  SymGrpcsymg 18487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-efmnd 18026  df-symg 18488  df-pmtr 18562

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  31183