Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stinvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stinvn 32002
Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fzto1stinvn (𝐼𝐷 → (𝑃𝐼) = 1)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
2 psgnfzto1st.p . . . 4 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
31, 2fzto1stfv1 31999 . . 3 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
43fveq2d 6847 . 2 (𝐼𝐷 → (𝑃‘(𝑃‘1)) = (𝑃𝐼))
5 psgnfzto1st.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6 psgnfzto1st.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
71, 2, 5, 6fzto1st 32001 . . . 4 (𝐼𝐷𝑃𝐵)
85, 6symgbasf1o 19161 . . . 4 (𝑃𝐵𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
97, 8syl 17 . . 3 (𝐼𝐷𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
10 elfzuz2 13452 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
1110, 1eleq2s 2852 . . . 4 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz1 13454 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1312, 1eleqtrrdi 2845 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15 f1ocnvfv1 7223 . . 3 ((𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
169, 14, 15syl2anc 585 . 2 (𝐼𝐷 → (𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
174, 16eqtr3d 2775 1 (𝐼𝐷 → (𝑃𝐼) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ccnv 5633  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  cle 11195  cmin 11390  cuz 12768  ...cfz 13430  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-pmtr 19229
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  32468
  Copyright terms: Public domain W3C validator