Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzto1stinvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzto1stinvn 32838
Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fzto1stinvn (𝐼𝐷 → (𝑃𝐼) = 1)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
2 psgnfzto1st.p . . . 4 𝑃 = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
31, 2fzto1stfv1 32835 . . 3 (𝐼𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
43fveq2d 6901 . 2 (𝐼𝐷 → (𝑃‘(𝑃‘1)) = (𝑃𝐼))
5 psgnfzto1st.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6 psgnfzto1st.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
71, 2, 5, 6fzto1st 32837 . . . 4 (𝐼𝐷𝑃𝐵)
85, 6symgbasf1o 19329 . . . 4 (𝑃𝐵𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
97, 8syl 17 . . 3 (𝐼𝐷𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
10 elfzuz2 13539 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
1110, 1eleq2s 2847 . . . 4 (𝐼𝐷𝑁 ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz1 13541 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1312, 1eleqtrrdi 2840 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ 𝐷)
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐼𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15 f1ocnvfv1 7285 . . 3 ((𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
169, 14, 15syl2anc 583 . 2 (𝐼𝐷 → (𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
174, 16eqtr3d 2770 1 (𝐼𝐷 → (𝑃𝐼) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5677  1-1-ontowf1o 6547  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140  cle 11280  cmin 11475  cuz 12853  ...cfz 13517  Basecbs 17180  SymGrpcsymg 19321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-tset 17252  df-efmnd 18821  df-symg 19322  df-pmtr 19397
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  33431
  Copyright terms: Public domain W3C validator