Theorem fzto1stinvn 32838

Description: Value of the inverse of our permutation 𝑃 at 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
psgnfzto1st.p	⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
psgnfzto1st.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfzto1st.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
3	1, 2	fzto1stfv1 32835	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (𝑃‘1) = 𝐼)
4	3	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = (◡𝑃‘𝐼))
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 32837	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	5, 6	symgbasf1o 19329	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		elfzuz2 13539	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10, 1	eleq2s 2847	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 13541	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
13	12, 1	eleqtrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ 𝐷)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → 1 ∈ 𝐷)
15		f1ocnvfv1 7285	. . 3 ⊢ ((𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 1 ∈ 𝐷) → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
16	9, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘(𝑃‘1)) = 1)
17	4, 16	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (◡𝑃‘𝐼) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5677  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13517  Basecbs 17180  SymGrpcsymg 19321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-tset 17252  df-efmnd 18821  df-symg 19322  df-pmtr 19397

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  33431