MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclprlem 11016
Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘”,โ„Ž   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘”,โ„Ž)   ๐ต(๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 10988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
2 elprnq 10988 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
3 recclnq 10963 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
43adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
5 vex 3476 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
6 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ V
7 ltmnq 10969 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
8 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ V
9 mulcomnq 10950 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
105, 6, 7, 8, 9caovord2 7621 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
114, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
12 mulassnq 10956 . . . . . . . . . 10 ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)))
13 recidnq 10962 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = 1Q)
1413oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))) = (๐‘” ยทQ 1Q))
1512, 14eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ 1Q))
16 mulidnq 10960 . . . . . . . . 9 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ 1Q) = ๐‘”)
1715, 16sylan9eqr 2792 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = ๐‘”)
1817breq2d 5159 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
1911, 18bitrd 278 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
201, 2, 19syl2an 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
21 prcdnq 10990 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2221adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2320, 22sylbid 239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
24 df-mp 10981 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
25 mulclnq 10944 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
2624, 25genpprecl 10998 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
2726exp4b 429 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2827com34 91 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2928imp32 417 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3029adantlr 711 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3123, 30syld 47 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3231adantr 479 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
332adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
34 mulassnq 10956 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž))
35 mulcomnq 10950 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))
3635, 13eqtrid 2782 . . . . . . 7 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = 1Q)
3736oveq2d 7427 . . . . . 6 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž)) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
3834, 37eqtrid 2782 . . . . 5 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
39 mulidnq 10960 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
4038, 39sylan9eq 2790 . . . 4 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = ๐‘ฅ)
4140eleq1d 2816 . . 3 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4233, 41sylan 578 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4332, 42sylibd 238 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Qcnq 10849  1Qc1q 10850   ยทQ cmq 10853  *Qcrq 10854   <Q cltq 10855  Pcnp 10856   ยทP cmp 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-mi 10871  df-lti 10872  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-mp 10981
This theorem is referenced by:  mulclpr  11017
  Copyright terms: Public domain W3C validator