MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclprlem 10962
Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘”,โ„Ž   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘”,โ„Ž)   ๐ต(๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 10934 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
2 elprnq 10934 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
3 recclnq 10909 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
43adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
5 vex 3452 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
6 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ V
7 ltmnq 10915 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
8 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ V
9 mulcomnq 10896 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
105, 6, 7, 8, 9caovord2 7571 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
114, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
12 mulassnq 10902 . . . . . . . . . 10 ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)))
13 recidnq 10908 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = 1Q)
1413oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))) = (๐‘” ยทQ 1Q))
1512, 14eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ 1Q))
16 mulidnq 10906 . . . . . . . . 9 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ 1Q) = ๐‘”)
1715, 16sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = ๐‘”)
1817breq2d 5122 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
1911, 18bitrd 279 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
201, 2, 19syl2an 597 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
21 prcdnq 10936 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2221adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2320, 22sylbid 239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
24 df-mp 10927 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
25 mulclnq 10890 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
2624, 25genpprecl 10944 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
2726exp4b 432 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2827com34 91 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2928imp32 420 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3029adantlr 714 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3123, 30syld 47 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3231adantr 482 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
332adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
34 mulassnq 10902 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž))
35 mulcomnq 10896 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))
3635, 13eqtrid 2789 . . . . . . 7 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = 1Q)
3736oveq2d 7378 . . . . . 6 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž)) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
3834, 37eqtrid 2789 . . . . 5 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
39 mulidnq 10906 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
4038, 39sylan9eq 2797 . . . 4 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = ๐‘ฅ)
4140eleq1d 2823 . . 3 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4233, 41sylan 581 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4332, 42sylibd 238 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Qcnq 10795  1Qc1q 10796   ยทQ cmq 10799  *Qcrq 10800   <Q cltq 10801  Pcnp 10802   ยทP cmp 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-mp 10927
This theorem is referenced by:  mulclpr  10963
  Copyright terms: Public domain W3C validator