MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclprlem 11017
Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘”,โ„Ž   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘”,โ„Ž)   ๐ต(๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 10989 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
2 elprnq 10989 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
3 recclnq 10964 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q)
5 vex 3477 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
6 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ V
7 ltmnq 10970 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
8 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ V
9 mulcomnq 10951 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
105, 6, 7, 8, 9caovord2 7622 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
114, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))))
12 mulassnq 10957 . . . . . . . . . 10 ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)))
13 recidnq 10963 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = 1Q)
1413oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))) = (๐‘” ยทQ 1Q))
1512, 14eqtrid 2783 . . . . . . . . 9 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = (๐‘” ยทQ 1Q))
16 mulidnq 10961 . . . . . . . . 9 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ 1Q) = ๐‘”)
1715, 16sylan9eqr 2793 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) = ๐‘”)
1817breq2d 5161 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ((๐‘” ยทQ โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
1911, 18bitrd 278 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
201, 2, 19syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘”))
21 prcdnq 10991 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2221adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) <Q ๐‘” โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
2320, 22sylbid 239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด))
24 df-mp 10982 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
25 mulclnq 10945 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
2624, 25genpprecl 10999 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
2726exp4b 430 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2827com34 91 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ต โˆˆ P โ†’ (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))))
2928imp32 418 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3029adantlr 712 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3123, 30syld 47 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
3231adantr 480 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
332adantl 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
34 mulassnq 10957 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž))
35 mulcomnq 10951 . . . . . . . 8 ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = (โ„Ž ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž))
3635, 13eqtrid 2783 . . . . . . 7 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž) = 1Q)
3736oveq2d 7428 . . . . . 6 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜โ„Ž) ยทQ โ„Ž)) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
3834, 37eqtrid 2783 . . . . 5 (โ„Ž โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
39 mulidnq 10961 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
4038, 39sylan9eq 2791 . . . 4 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) = ๐‘ฅ)
4140eleq1d 2817 . . 3 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4233, 41sylan 579 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜โ„Ž)) ยทQ โ„Ž) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
4332, 42sylibd 238 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” ยทQ โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Qcnq 10850  1Qc1q 10851   ยทQ cmq 10854  *Qcrq 10855   <Q cltq 10856  Pcnp 10857   ยทP cmp 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ni 10870  df-mi 10872  df-lti 10873  df-mpq 10907  df-ltpq 10908  df-enq 10909  df-nq 10910  df-erq 10911  df-mq 10913  df-1nq 10914  df-rq 10915  df-ltnq 10916  df-np 10979  df-mp 10982
This theorem is referenced by:  mulclpr  11018
  Copyright terms: Public domain W3C validator