MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclprlem2 11014
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclprlem2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘”,โ„Ž   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘”,โ„Ž)   ๐ต(๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem addclprlem2
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclprlem1 11013 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
21adantlr 713 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
3 addclprlem1 11013 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (โ„Ž +Q ๐‘”) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(โ„Ž +Q ๐‘”))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต))
4 addcomnq 10948 . . . . . . 7 (๐‘” +Q โ„Ž) = (โ„Ž +Q ๐‘”)
54breq2i 5156 . . . . . 6 (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ๐‘ฅ <Q (โ„Ž +Q ๐‘”))
64fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) = (*Qโ€˜(โ„Ž +Q ๐‘”))
76oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(โ„Ž +Q ๐‘”)))
87oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) = ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(โ„Ž +Q ๐‘”))) ยทQ โ„Ž)
98eleq1i 2824 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(โ„Ž +Q ๐‘”))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต)
103, 5, 93imtr4g 295 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต))
1110adantll 712 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต))
122, 11jcad 513 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด โˆง ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต)))
13 simpl 483 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)))
14 simpl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
15 simpl 483 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
1614, 15anim12i 613 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P))
17 df-plp 10980 . . . . 5 +P = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)})
18 addclnq 10942 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ Q)
1917, 18genpprecl 10998 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด โˆง ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
2013, 16, 193syl 18 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด โˆง ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
2112, 20syld 47 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
22 distrnq 10958 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)) = (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž))
23 mulassnq 10956 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)) = (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)))
2422, 23eqtr3i 2762 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) = (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)))
25 mulcomnq 10950 . . . . . . 7 ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)) = ((๐‘” +Q โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)))
26 elprnq 10988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
27 elprnq 10988 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
2826, 27anim12i 613 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q))
29 addclnq 10942 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
30 recidnq 10962 . . . . . . . 8 ((๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘” +Q โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) = 1Q)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘” +Q โ„Ž) ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) = 1Q)
3225, 31eqtrid 2784 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž)) = 1Q)
3332oveq2d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
34 mulidnq 10960 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
3533, 34sylan9eq 2792 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) ยทQ (๐‘” +Q โ„Ž))) = ๐‘ฅ)
3624, 35eqtrid 2784 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) = ๐‘ฅ)
3736eleq1d 2818 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) +Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ โ„Ž)) โˆˆ (๐ด +P ๐ต) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
3821, 37sylibd 238 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +P ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Qcnq 10849  1Qc1q 10850   +Q cplq 10852   ยทQ cmq 10853  *Qcrq 10854   <Q cltq 10855  Pcnp 10856   +P cpp 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980
This theorem is referenced by:  addclpr  11015
  Copyright terms: Public domain W3C validator