MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem1pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem1pr 11022
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem1pr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โŠ† ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))

Proof of Theorem distrlem1pr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 11015 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
2 df-mp 10981 . . . . . 6 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ฆ โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ง ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
3 mulclnq 10944 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
42, 3genpelv 10997 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ)))
51, 4sylan2 593 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ)))
653impb 1115 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ)))
7 df-plp 10980 . . . . . . . . . . 11 +P = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฅ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž)})
8 addclnq 10942 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
97, 8genpelv 10997 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)))
1093adant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)))
1110adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)))
12 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)))
1514eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โ†” ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))))
1615biimpac 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)))
17 distrnq 10958 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))
1816, 17eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)))
1912, 13, 18syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)))
20 mulclpr 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
21203adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
23 mulclpr 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
24233adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
26 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
272, 3genpprecl 10998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
28273adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)))
2928impl 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต))
3029adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต))
3126, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต))
32 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
332, 3genpprecl 10998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)))
34333adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)))
3534impl 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ))
3635adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ))
3732, 36sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ))
387, 8genpprecl 10998 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))
3938imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))
4022, 25, 31, 37, 39syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))
4119, 40eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))
4241exp32 421 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))))
4342rexlimdvv 3210 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ฃ = (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))
4411, 43sylbid 239 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ))) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))
4544exp32 421 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))))
4645com34 91 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))))
4746impd 411 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))))
4847rexlimdvv 3210 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))
496, 48sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))))
5049ssrdv 3988 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โŠ† ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948  (class class class)co 7411   +Q cplq 10852   ยทQ cmq 10853  Pcnp 10856   +P cpp 10858   ยทP cmp 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980  df-mp 10981
This theorem is referenced by:  distrpr  11025
  Copyright terms: Public domain W3C validator