MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem4pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem4pr 10969
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
2 simprlr 779 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
3 elprnq 10934 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
41, 2, 3syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
5 simp1 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
6 simprl 770 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ด)
7 elprnq 10934 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
85, 6, 7syl2an 597 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
9 simpl3 1194 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ P)
10 simprrr 781 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
11 elprnq 10934 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
129, 10, 11syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
13 vex 3452 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
14 vex 3452 . . . . . 6 ๐‘“ โˆˆ V
15 ltmnq 10915 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค <Q ๐‘ฃ โ†” (๐‘ข ยทQ ๐‘ค) <Q (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ)))
16 vex 3452 . . . . . 6 ๐‘ฆ โˆˆ V
17 mulcomnq 10896 . . . . . 6 (๐‘ค ยทQ ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 7571 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ)))
19 mulclnq 10890 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
20 ovex 7395 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ V
21 ovex 7395 . . . . . . 7 (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ V
22 ltanq 10914 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค <Q ๐‘ฃ โ†” (๐‘ข +Q ๐‘ค) <Q (๐‘ข +Q ๐‘ฃ)))
23 ovex 7395 . . . . . . 7 (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ V
24 addcomnq 10894 . . . . . . 7 (๐‘ค +Q ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ +Q ๐‘ค)
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 7571 . . . . . 6 ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
2619, 25syl 17 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
2718, 26sylan9bb 511 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
284, 8, 12, 27syl12anc 836 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
29 simpl1 1192 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
30 addclpr 10961 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
31303adant1 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
3231adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
33 mulclpr 10963 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P)
3429, 32, 33syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P)
35 distrnq 10904 . . . . 5 (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))
36 simprrl 780 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ด)
37 df-plp 10926 . . . . . . . . 9 +P = (๐‘ข โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ข โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ค = (๐‘” +Q โ„Ž)})
38 addclnq 10888 . . . . . . . . 9 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
3937, 38genpprecl 10944 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)))
4039imp 408 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 838 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))
42 df-mp 10927 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ข โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ข โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ค = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
43 mulclnq 10890 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
4442, 43genpprecl 10944 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
4544imp 408 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 838 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
4735, 46eqeltrrid 2843 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
48 prcdnq 10936 . . . 4 (((๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
4934, 47, 48syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
5028, 49sylbid 239 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
51 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
52 elprnq 10934 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
535, 51, 52syl2an 597 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
54 vex 3452 . . . . . 6 ๐‘ง โˆˆ V
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 7571 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)))
56 mulclnq 10890 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q)
57 ltanq 10914 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
5856, 57syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
5955, 58sylan9bbr 512 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
6053, 4, 12, 59syl21anc 837 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
61 distrnq 10904 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))
62 simprll 778 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
6342, 43genpprecl 10944 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6463imp 408 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 838 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
6661, 65eqeltrrid 2843 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
67 prcdnq 10936 . . . 4 (((๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6834, 66, 67syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6960, 68sylbid 239 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
70 ltsonq 10912 . . . . 5 <Q Or Q
71 sotrieq 5579 . . . . 5 (( <Q Or Q โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
7270, 71mpan 689 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
7353, 8, 72syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
74 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))
7574oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
7661, 75eqtrid 2789 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
7776eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
7865, 77syl5ibcom 244 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
7973, 78sylbird 260 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
8050, 69, 79ecase3d 1033 1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110   Or wor 5549  (class class class)co 7362  Qcnq 10795   +Q cplq 10798   ยทQ cmq 10799   <Q cltq 10801  Pcnp 10802   +P cpp 10804   ยทP cmp 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-plp 10926  df-mp 10927
This theorem is referenced by:  distrlem5pr  10970
  Copyright terms: Public domain W3C validator