Theorem distrlem4pr 10888

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem4pr	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑓

Proof of Theorem distrlem4pr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐵 ∈ P)
2		simprlr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
3		elprnq 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑦 ∈ Q)
5		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ∈ P)
6		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
7		elprnq 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑓 ∈ Q)
9		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐶 ∈ P)
10		simprrr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝐶)
11		elprnq 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ Q)
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑧 ∈ Q)
13		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
15		ltmnq 10834	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 ·Q 𝑤) <Q (𝑢 ·Q 𝑣)))
16		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		mulcomnq 10815	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ·Q 𝑣) = (𝑣 ·Q 𝑤)
18	13, 14, 15, 16, 17	caovord2 7551	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦)))
19		mulclnq 10809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑧) ∈ Q)
20		ovex 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) ∈ V
21		ovex 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ·Q 𝑦) ∈ V
22		ltanq 10833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑤) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
23		ovex 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ·Q 𝑧) ∈ V
24		addcomnq 10813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑤)
25	20, 21, 22, 23, 24	caovord2 7551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ·Q 𝑧) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
27	18, 26	sylan9bb 511	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
28	4, 8, 12, 27	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
29		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐴 ∈ P)
30		addclpr 10880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
31	30	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
32	31	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
33		mulclpr 10882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P)
34	29, 32, 33	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P)
35		distrnq 10823	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))
36		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
37		df-plp 10845	. . . . . . . . 9 ⊢ +P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑤 = (𝑔 +Q ℎ)})
38		addclnq 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 +Q ℎ) ∈ Q)
39	37, 38	genpprecl 10863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)))
40	39	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))
41	1, 9, 2, 10, 40	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))
42		df-mp 10846	. . . . . . . 8 ⊢ ·P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑤 = (𝑔 ·Q ℎ)})
43		mulclnq 10809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 ·Q ℎ) ∈ Q)
44	42, 43	genpprecl 10863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
45	44	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
46	29, 32, 36, 41, 45	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
47	35, 46	eqeltrrid 2843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
48		prcdnq 10855	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P ∧ ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
49	34, 47, 48	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
50	28, 49	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 <Q 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
51		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
52		elprnq 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
53	5, 51, 52	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ Q)
54		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
55	14, 13, 15, 54, 17	caovord2 7551	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ (𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧)))
56		mulclnq 10809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·Q 𝑦) ∈ Q)
57		ltanq 10833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑦) ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
59	55, 58	sylan9bbr 512	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
60	53, 4, 12, 59	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
61		distrnq 10823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))
62		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	42, 43	genpprecl 10863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
64	63	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
65	29, 32, 62, 41, 64	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
66	61, 65	eqeltrrid 2843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
67		prcdnq 10855	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
68	34, 66, 67	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
69	60, 68	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 <Q 𝑥 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
70		ltsonq 10831	. . . . 5 ⊢ <Q Or Q
71		sotrieq 5566	. . . . 5 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q)) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
72	70, 71	mpan 688	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
73	53, 8, 72	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
74		oveq1 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 ·Q 𝑧) = (𝑓 ·Q 𝑧))
75	74	oveq2d 7358	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)))
76	61, 75	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)))
77	76	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
78	65, 77	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
79	73, 78	sylbird 260	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
80	50, 69, 79	ecase3d 1032	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5097   Or wor 5536  (class class class)co 7342  Qcnq 10714   +_Q cplq 10717   ·_Q cmq 10718   <_Q cltq 10720  Pcnp 10721   +_P cpp 10723   ·_P cmp 10724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-er 8574  df-ni 10734  df-pli 10735  df-mi 10736  df-lti 10737  df-plpq 10770  df-mpq 10771  df-ltpq 10772  df-enq 10773  df-nq 10774  df-erq 10775  df-plq 10776  df-mq 10777  df-1nq 10778  df-rq 10779  df-ltnq 10780  df-np 10843  df-plp 10845  df-mp 10846

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