Theorem distrlem4pr 10713

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem4pr	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑓

Proof of Theorem distrlem4pr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐵 ∈ P)
2		simprlr 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
3		elprnq 10678	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑦 ∈ Q)
5		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ∈ P)
6		simprl 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
7		elprnq 10678	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑓 ∈ Q)
9		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐶 ∈ P)
10		simprrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝐶)
11		elprnq 10678	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ Q)
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑧 ∈ Q)
13		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
15		ltmnq 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 ·Q 𝑤) <Q (𝑢 ·Q 𝑣)))
16		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		mulcomnq 10640	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ·Q 𝑣) = (𝑣 ·Q 𝑤)
18	13, 14, 15, 16, 17	caovord2 7462	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦)))
19		mulclnq 10634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑧) ∈ Q)
20		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) ∈ V
21		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ·Q 𝑦) ∈ V
22		ltanq 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑤) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
23		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ·Q 𝑧) ∈ V
24		addcomnq 10638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑤)
25	20, 21, 22, 23, 24	caovord2 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ·Q 𝑧) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q 𝑦) <Q (𝑓 ·Q 𝑦) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
27	18, 26	sylan9bb 509	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
28	4, 8, 12, 27	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))))
29		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝐴 ∈ P)
30		addclpr 10705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
31	30	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝐵 +P 𝐶) ∈ P)
33		mulclpr 10707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P)
34	29, 32, 33	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P)
35		distrnq 10648	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧))
36		simprrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
37		df-plp 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ +P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑤 = (𝑔 +Q ℎ)})
38		addclnq 10632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 +Q ℎ) ∈ Q)
39	37, 38	genpprecl 10688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)))
40	39	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))
41	1, 9, 2, 10, 40	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))
42		df-mp 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ·P = (𝑢 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑢 ∃ℎ ∈ 𝑣 𝑤 = (𝑔 ·Q ℎ)})
43		mulclnq 10634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 ·Q ℎ) ∈ Q)
44	42, 43	genpprecl 10688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
45	44	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
46	29, 32, 36, 41, 45	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
47	35, 46	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
48		prcdnq 10680	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P ∧ ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
49	34, 47, 48	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑓 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
50	28, 49	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 <Q 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
51		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
52		elprnq 10678	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
53	5, 51, 52	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ Q)
54		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
55	14, 13, 15, 54, 17	caovord2 7462	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ (𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧)))
56		mulclnq 10634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·Q 𝑦) ∈ Q)
57		ltanq 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑦) ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑓 ·Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑧) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
59	55, 58	sylan9bbr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
60	53, 4, 12, 59	syl21anc 834	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 <Q 𝑥 ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))))
61		distrnq 10648	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧))
62		simprll 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	42, 43	genpprecl 10688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶)) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
64	63	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 +P 𝐶) ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ (𝐵 +P 𝐶))) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
65	29, 32, 62, 41, 64	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
66	61, 65	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
67		prcdnq 10680	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
68	34, 66, 67	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) <Q ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
69	60, 68	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑓 <Q 𝑥 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
70		ltsonq 10656	. . . . 5 ⊢ <Q Or Q
71		sotrieq 5523	. . . . 5 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q)) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
72	70, 71	mpan 686	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
73	53, 8, 72	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 = 𝑓 ↔ ¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥)))
74		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 ·Q 𝑧) = (𝑓 ·Q 𝑧))
75	74	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑥 ·Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)))
76	61, 75	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) = ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)))
77	76	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q (𝑦 +Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ↔ ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
78	65, 77	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (𝑥 = 𝑓 → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
79	73, 78	sylbird 259	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → (¬ (𝑥 <Q 𝑓 ∨ 𝑓 <Q 𝑥) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶))))
80	50, 69, 79	ecase3d 1030	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))) → ((𝑥 ·Q 𝑦) +Q (𝑓 ·Q 𝑧)) ∈ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   Or wor 5493  (class class class)co 7255  Qcnq 10539   +_Q cplq 10542   ·_Q cmq 10543   <_Q cltq 10545  Pcnp 10546   +_P cpp 10548   ·_P cmp 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-plp 10670  df-mp 10671

This theorem is referenced by:  distrlem5pr  10714