MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem4pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem4pr 11023
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
2 simprlr 776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
3 elprnq 10988 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
41, 2, 3syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
5 simp1 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
6 simprl 767 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ด)
7 elprnq 10988 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
85, 6, 7syl2an 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
9 simpl3 1191 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ P)
10 simprrr 778 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
11 elprnq 10988 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
129, 10, 11syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
13 vex 3476 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
14 vex 3476 . . . . . 6 ๐‘“ โˆˆ V
15 ltmnq 10969 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค <Q ๐‘ฃ โ†” (๐‘ข ยทQ ๐‘ค) <Q (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ)))
16 vex 3476 . . . . . 6 ๐‘ฆ โˆˆ V
17 mulcomnq 10950 . . . . . 6 (๐‘ค ยทQ ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทQ ๐‘ค)
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 7621 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ)))
19 mulclnq 10944 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
20 ovex 7444 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ V
21 ovex 7444 . . . . . . 7 (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ V
22 ltanq 10968 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค <Q ๐‘ฃ โ†” (๐‘ข +Q ๐‘ค) <Q (๐‘ข +Q ๐‘ฃ)))
23 ovex 7444 . . . . . . 7 (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ V
24 addcomnq 10948 . . . . . . 7 (๐‘ค +Q ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ +Q ๐‘ค)
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 7621 . . . . . 6 ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
2619, 25syl 17 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
2718, 26sylan9bb 508 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
284, 8, 12, 27syl12anc 833 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
29 simpl1 1189 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
30 addclpr 11015 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
31303adant1 1128 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
3231adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P)
33 mulclpr 11017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P)
3429, 32, 33syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P)
35 distrnq 10958 . . . . 5 (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))
36 simprrl 777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ด)
37 df-plp 10980 . . . . . . . . 9 +P = (๐‘ข โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ข โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ค = (๐‘” +Q โ„Ž)})
38 addclnq 10942 . . . . . . . . 9 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
3937, 38genpprecl 10998 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)))
4039imp 405 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 835 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))
42 df-mp 10981 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ข โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ข โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ค = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
43 mulclnq 10944 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
4442, 43genpprecl 10998 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
4544imp 405 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 835 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
4735, 46eqeltrrid 2836 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
48 prcdnq 10990 . . . 4 (((๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
4934, 47, 48syl2anc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘“ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
5028, 49sylbid 239 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
51 simpll 763 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
52 elprnq 10988 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
535, 51, 52syl2an 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
54 vex 3476 . . . . . 6 ๐‘ง โˆˆ V
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 7621 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)))
56 mulclnq 10944 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q)
57 ltanq 10968 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
5856, 57syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
5955, 58sylan9bbr 509 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
6053, 4, 12, 59syl21anc 834 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))))
61 distrnq 10958 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง))
62 simprll 775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
6342, 43genpprecl 10998 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6463imp 405 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง (๐ต +P ๐ถ) โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฆ +Q ๐‘ง) โˆˆ (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 835 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
6661, 65eqeltrrid 2836 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
67 prcdnq 10990 . . . 4 (((๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6834, 66, 67syl2anc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) <Q ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
6960, 68sylbid 239 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
70 ltsonq 10966 . . . . 5 <Q Or Q
71 sotrieq 5616 . . . . 5 (( <Q Or Q โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
7270, 71mpan 686 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
7353, 8, 72syl2anc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†” ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ)))
74 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))
7574oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
7661, 75eqtrid 2782 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
7776eleq1d 2816 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (๐‘ฆ +Q ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
7865, 77syl5ibcom 244 . . 3 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
7973, 78sylbird 259 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆจ ๐‘“ <Q ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
8050, 69, 79ecase3d 1030 1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147   Or wor 5586  (class class class)co 7411  Qcnq 10849   +Q cplq 10852   ยทQ cmq 10853   <Q cltq 10855  Pcnp 10856   +P cpp 10858   ยทP cmp 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980  df-mp 10981
This theorem is referenced by:  distrlem5pr  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator