Theorem genpelv 10953

Description: Membership in value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpelv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑔,𝐹   𝐶,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,ℎ)

Proof of Theorem genpelv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2		genp.2	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 10952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) = {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)})
4	3	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)}))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
6		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑔𝐺ℎ) ∈ V
7	5, 6	eqeltrdi 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
8	7	rexlimivw 3130	. . . 4 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
9	8	rexlimivw 3130	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
10		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
11	10	2rexbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
12	9, 11	elab3 3653	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
13	4, 12	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Qcnq 10805  Pcnp 10812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-ni 10825  df-nq 10865  df-np 10934

This theorem is referenced by:  genpprecl  10954  genpss  10957  genpnnp  10958  genpcd  10959  genpnmax  10960  genpass  10962  distrlem1pr  10978  distrlem5pr  10980  1idpr  10982  ltexprlem6  10994  reclem3pr  11002  reclem4pr  11003