Theorem genpelv 10989

Description: Membership in value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpelv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑔,𝐹   𝐶,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤, 𝑣)   𝐵(𝑤, 𝑣)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, ℎ)

Proof of Theorem genpelv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2		genp.2	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 10988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) = {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)})
4	3	eleq2d 2849	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)}))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
6		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑔𝐺ℎ) ∈ V
7	5, 6	eqeltrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
8	7	rexlimivw 3162	. . . 4 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
9	8	rexlimivw 3162	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
10		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
11	10	2rexbidv 3230	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
12	9, 11	elab3 3645	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
13	4, 12	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Qcnq 10841  Pcnp 10848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-ni 10861  df-nq 10901  df-np 10970

This theorem is used by:  genpprecl  10990  genpss  10993  genpnnp  10994  genpcd  10995  genpnmax  10996  genpass  10998  distrlem1pr  11014  distrlem5pr  11016  1idpr  11018  ltexprlem6  11030  reclem3pr  11038  reclem4pr  11039