Theorem genpelv 11004

Description: Membership in value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpelv	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑔,ℎ   𝑔,𝐹   𝐶,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤, 𝑣)   𝐵(𝑤, 𝑣)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, ℎ)

Proof of Theorem genpelv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2		genp.2	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genpv 11003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) = {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)})
4	3	eleq2d 2851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)}))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
6		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝑔𝐺ℎ) ∈ V
7	5, 6	eqeltrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
8	7	rexlimivw 3164	. . . 4 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
9	8	rexlimivw 3164	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ) → 𝐶 ∈ V)
10		eqeq1 2769	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
11	10	2rexbidv 3232	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐶 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))
12	9, 11	elab3 3647	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ))
13	4, 12	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑔𝐺ℎ)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Qcnq 10856  Pcnp 10863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-ni 10876  df-nq 10916  df-np 10985

This theorem is used by:  genpprecl  11005  genpss  11008  genpnnp  11009  genpcd  11010  genpnmax  11011  genpass  11013  distrlem1pr  11029  distrlem5pr  11031  1idpr  11033  ltexprlem6  11045  reclem3pr  11053  reclem4pr  11054