Theorem cygth 21559

Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛ℤ, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ℤ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cygth	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14307	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3		0nn0 12441	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4503	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
9	6, 7, 8	cygzn 21558	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
11	10	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
12	11	rspcev 3565	. . 3 ⊢ ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
13	5, 9, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14		gicsym 19239	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
16	15	zncyg 21536	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17		giccyg 19864	. . . 4 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
18	14, 16, 17	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
19	18	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
20	13, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Fincfn 8884  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12426  ♯chash 14281  Basecbs 17168   ≃_𝑔 cgic 19222  CycGrpccyg 19841  ℤ/nℤczn 21490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-gic 19224  df-od 19492  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-cyg 19842  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196  df-rsp 21197  df-2idl 21238  df-cnfld 21343  df-zring 21435  df-zrh 21491  df-zn 21494

This theorem is referenced by: (None)