Theorem cygth 21488

Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛ℤ, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ℤ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cygth	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14328	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4527	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
9	6, 7, 8	cygzn 21487	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
11	10	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
12	11	rspcev 3591	. . 3 ⊢ ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
13	5, 9, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14		gicsym 19214	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
16	15	zncyg 21465	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17		giccyg 19837	. . . 4 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
18	14, 16, 17	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
19	18	rexlimiv 3128	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
20	13, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302  Basecbs 17186   ≃_𝑔 cgic 19197  CycGrpccyg 19814  ℤ/nℤczn 21419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-gic 19199  df-od 19465  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-cyg 19815  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-zn 21423

This theorem is referenced by: (None)