MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygth 20315
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 13462 . . . . 5 ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
21adantl 475 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3 0nn0 11659 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4340 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2777 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2777 . . . 4 if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8 eqid 2777 . . . 4 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
96, 7, 8cygzn 20314 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10 fveq2 6446 . . . . 5 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
1110breq2d 4898 . . . 4 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
1211rspcev 3510 . . 3 ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
135, 9, 12syl2anc 579 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14 gicsym 18100 . . . 4 (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15 eqid 2777 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
1615zncyg 20292 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17 giccyg 18687 . . . 4 ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
1814, 16, 17syl2imc 41 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
1918rexlimiv 3208 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
2013, 19impbii 201 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  ifcif 4306   class class class wbr 4886  cfv 6135  Fincfn 8241  0cc0 10272  0cn0 11642  chash 13435  Basecbs 16255  𝑔 cgic 18084  CycGrpccyg 18665  ℤ/nczn 20247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-gic 18086  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-cyg 18666  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-zn 20251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator