MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygth 20135
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 13349 . . . . 5 ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
21adantl 467 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3 0nn0 11514 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4260 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2771 . . . 4 if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8 eqid 2771 . . . 4 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
96, 7, 8cygzn 20134 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
1110breq2d 4799 . . . 4 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
1211rspcev 3460 . . 3 ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
135, 9, 12syl2anc 573 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14 gicsym 17924 . . . 4 (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15 eqid 2771 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
1615zncyg 20112 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17 giccyg 18508 . . . 4 ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
1814, 16, 17syl2imc 41 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
1918rexlimiv 3175 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
2013, 19impbii 199 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cfv 6030  Fincfn 8113  0cc0 10142  0cn0 11499  chash 13321  Basecbs 16064  𝑔 cgic 17908  CycGrpccyg 18486  ℤ/nczn 20066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-gic 17910  df-od 18155  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-cyg 18487  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator