MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygth 21455
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 14317 . . . . 5 ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3 0nn0 12486 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4556 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2724 . . . 4 if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8 eqid 2724 . . . 4 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
96, 7, 8cygzn 21454 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10 fveq2 6882 . . . . 5 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
1110breq2d 5151 . . . 4 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
1211rspcev 3604 . . 3 ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
135, 9, 12syl2anc 583 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14 gicsym 19196 . . . 4 (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15 eqid 2724 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
1615zncyg 21432 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17 giccyg 19816 . . . 4 ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
1814, 16, 17syl2imc 41 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
1918rexlimiv 3140 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
2013, 19impbii 208 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  ifcif 4521   class class class wbr 5139  cfv 6534  Fincfn 8936  0cc0 11107  0cn0 12471  chash 14291  Basecbs 17149  𝑔 cgic 19179  CycGrpccyg 19793  ℤ/nczn 21378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-gic 19181  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-cyg 19794  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-2idl 21103  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-zn 21382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator