Theorem cygth 21611

Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛ℤ, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ℤ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cygth	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14363	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3		0nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4513	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
9	6, 7, 8	cygzn 21610	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10		fveq2 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
11	10	breq2d 5109	. . . 4 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
12	11	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
13	5, 9, 12	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14		gicsym 19306	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
16	15	zncyg 21588	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17		giccyg 19931	. . . 4 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
18	14, 16, 17	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
19	18	rexlimiv 3155	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
20	13, 19	impbii 211	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  Fincfn 8921  0cc0 11067  ℕ₀cn0 12475  ♯chash 14337  Basecbs 17236   ≃_𝑔 cgic 19289  CycGrpccyg 19908  ℤ/nℤczn 21542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-acn 9894  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-0g 17461  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158  df-ghm 19245  df-gim 19290  df-gic 19291  df-od 19559  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-cyg 19909  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-rsp 21267  df-2idl 21308  df-cnfld 21413  df-zring 21487  df-zrh 21543  df-zn 21546

This theorem is referenced by: (None)