Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygth 20263
 Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛ℤ, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ℤ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 13713 . . . . 5 ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
21adantl 485 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4459 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2798 . . . 4 if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8 eqid 2798 . . . 4 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
96, 7, 8cygzn 20262 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
1110breq2d 5042 . . . 4 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
1211rspcev 3571 . . 3 ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
135, 9, 12syl2anc 587 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14 gicsym 18406 . . . 4 (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15 eqid 2798 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
1615zncyg 20240 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17 giccyg 19013 . . . 4 ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
1814, 16, 17syl2imc 41 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
1918rexlimiv 3239 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
2013, 19impbii 212 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  0cc0 10526  ℕ0cn0 11885  ♯chash 13686  Basecbs 16475   ≃𝑔 cgic 18390  CycGrpccyg 18989  ℤ/nℤczn 20196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-gic 18392  df-od 18648  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-cyg 18990  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator