MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygth 20907
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 14185 . . . . 5 ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3 0nn0 12362 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4520 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2738 . . . 4 if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8 eqid 2738 . . . 4 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
96, 7, 8cygzn 20906 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10 fveq2 6838 . . . . 5 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
1110breq2d 5116 . . . 4 (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
1211rspcev 3580 . . 3 ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
135, 9, 12syl2anc 585 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14 gicsym 18999 . . . 4 (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15 eqid 2738 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
1615zncyg 20884 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17 giccyg 19612 . . . 4 ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
1814, 16, 17syl2imc 41 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
1918rexlimiv 3144 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
2013, 19impbii 208 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  ifcif 4485   class class class wbr 5104  cfv 6492  Fincfn 8817  0cc0 10985  0cn0 12347  chash 14159  Basecbs 17019  𝑔 cgic 18983  CycGrpccyg 19589  ℤ/nczn 20832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-ec 8584  df-qs 8588  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-rp 12846  df-fz 13355  df-fl 13627  df-mod 13705  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-dvds 16073  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-0g 17259  df-imas 17326  df-qus 17327  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-mhm 18537  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-mulg 18808  df-subg 18860  df-nsg 18861  df-eqg 18862  df-ghm 18941  df-gim 18984  df-gic 18985  df-od 19245  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-cyg 19590  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-cring 19897  df-oppr 19978  df-dvdsr 19999  df-rnghom 20075  df-subrg 20149  df-lmod 20253  df-lss 20322  df-lsp 20362  df-sra 20562  df-rgmod 20563  df-lidl 20564  df-rsp 20565  df-2idl 20631  df-cnfld 20726  df-zring 20799  df-zrh 20833  df-zn 20836
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator