Theorem cygth 21481

Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups ℤ / 𝑛ℤ, for 0 ≤ 𝑛 (where 𝑛 = 0 is the infinite cyclic group ℤ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cygth	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐺

Proof of Theorem cygth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14321	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘(Base‘𝐺)) ∈ ℕ0)
3		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ ¬ (Base‘𝐺) ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4524	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))
9	6, 7, 8	cygzn 21480	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
10		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0)))
11	10	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑛 = if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) ↔ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))))
12	11	rspcev 3588	. . 3 ⊢ ((if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0) ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if((Base‘𝐺) ∈ Fin, (♯‘(Base‘𝐺)), 0))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
13	5, 9, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))
14		gicsym 19207	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → (ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺)
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑛) = (ℤ/nℤ‘𝑛)
16	15	zncyg 21458	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp)
17		giccyg 19830	. . . 4 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑛) ≃𝑔 𝐺 → ((ℤ/nℤ‘𝑛) ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ CycGrp))
18	14, 16, 17	syl2imc 41	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp))
19	18	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛) → 𝐺 ∈ CycGrp)
20	13, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295  Basecbs 17179   ≃_𝑔 cgic 19190  CycGrpccyg 19807  ℤ/nℤczn 21412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-gic 19192  df-od 19458  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-cyg 19808  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-zn 21416

This theorem is referenced by: (None)