Theorem grpinvhmeo 23590

Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpinv.5	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvhmeo	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem grpinvhmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		tgpinv.5	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	tgpinv 23589	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4		tgpgrp 23582	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5, 2	grpinvcnv 18891	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝐼 = 𝐼)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → ◡𝐼 = 𝐼)
8	7, 3	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → ◡𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9		ishmeo 23263	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ ◡𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10	3, 8, 9	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ^◡ccnv 5676  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820   Cn ccn 22728  Homeochmeo 23257  TopGrpctgp 23575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731  df-hmeo 23259  df-tgp 23577

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  23617  tsmsxplem1  23657