MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvhmeo 23597
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpinv.5 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 tgpinv.5 . . 3 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
31, 2tgpinv 23596 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4 tgpgrp 23589 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
65, 2grpinvcnv 18893 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ ◑𝐼 = 𝐼)
74, 6syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ◑𝐼 = 𝐼)
87, 3eqeltrd 2833 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ◑𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9 ishmeo 23270 . 2 (𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ ◑𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
103, 8, 9sylanbrc 583 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β—‘ccnv 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  TopOpenctopn 17369  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822   Cn ccn 22735  Homeochmeo 23264  TopGrpctgp 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-top 22403  df-topon 22420  df-cn 22738  df-hmeo 23266  df-tgp 23584
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  23624  tsmsxplem1  23664
  Copyright terms: Public domain W3C validator