MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvhmeo 23460
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpinv.5 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 tgpinv.5 . . 3 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
31, 2tgpinv 23459 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4 tgpgrp 23452 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
65, 2grpinvcnv 18823 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ ◑𝐼 = 𝐼)
74, 6syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ◑𝐼 = 𝐼)
87, 3eqeltrd 2834 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ◑𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9 ishmeo 23133 . 2 (𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ ◑𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
103, 8, 9sylanbrc 584 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β—‘ccnv 5636  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757   Cn ccn 22598  Homeochmeo 23127  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-top 22266  df-topon 22283  df-cn 22601  df-hmeo 23129  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  23487  tsmsxplem1  23527
  Copyright terms: Public domain W3C validator