MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvhmeo 22298
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpinv.5 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2 tgpinv.5 . . 3 𝐼 = (invg𝐺)
31, 2tgpinv 22297 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4 tgpgrp 22290 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65, 2grpinvcnv 17870 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 = 𝐼)
74, 6syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 = 𝐼)
87, 3eqeltrd 2859 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9 ishmeo 21971 . 2 (𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
103, 8, 9sylanbrc 578 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  ccnv 5354  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  TopOpenctopn 16468  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810   Cn ccn 21436  Homeochmeo 21965  TopGrpctgp 22283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-map 8142  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-top 21106  df-topon 21123  df-cn 21439  df-hmeo 21967  df-tgp 22285
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  22324  tsmsxplem1  22364
  Copyright terms: Public domain W3C validator