MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvhmeo 22983
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpinv.5 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2 tgpinv.5 . . 3 𝐼 = (invg𝐺)
31, 2tgpinv 22982 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4 tgpgrp 22975 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65, 2grpinvcnv 18431 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 = 𝐼)
74, 6syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 = 𝐼)
87, 3eqeltrd 2838 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9 ishmeo 22656 . 2 (𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝐼 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
103, 8, 9sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ (𝐽Homeo𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  ccnv 5550  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  TopOpenctopn 16926  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366   Cn ccn 22121  Homeochmeo 22650  TopGrpctgp 22968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-top 21791  df-topon 21808  df-cn 22124  df-hmeo 22652  df-tgp 22970
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  23010  tsmsxplem1  23050
  Copyright terms: Public domain W3C validator