MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncomp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgpconncomp 23617
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (conncompcld 22938) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tgpconncomp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpconncomp.s 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncomp (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem tgpconncomp
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.s . . . . 5 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
2 ssrab2 4078 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋
3 sspwuni 5104 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋)
42, 3mpbi 229 . . . . 5 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋
51, 4eqsstri 4017 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝑋
65a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
7 tgpconncomp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
8 tgpconncomp.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
97, 8tgptopon 23586 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 tgpgrp 23582 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 tgpconncomp.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΊ)
128, 11grpidcl 18850 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑋)
141conncompid 22935 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝑆)
159, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4336 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
17 df-ima 5690 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆)
18 resmpt 6038 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2019rneqi 5937 . . . . . . . 8 ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2117, 20eqtri 2761 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
22 imassrn 6071 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2310adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
256sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
298, 28grpsubcl 18903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3024, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3130fmpttd 7115 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘‹βŸΆπ‘‹)
3231frnd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑋)
3322, 32sstrid 3994 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋)
348, 11, 28grpsubid 18907 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
3523, 25, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
36 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
37 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
39 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4038, 39elrnmpt1s 5957 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4136, 37, 40sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4235, 41eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4342, 21eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆))
44 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
478, 45, 46, 28grpsubval 18870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4825, 47sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4948mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
508, 46grpinvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
5123, 50sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
528, 46grpinvf 18871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5310, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5554feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
56 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)))
57 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
5851, 55, 56, 57fmptco 7127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
5949, 58eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)))
607, 46grpinvhmeo 23590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀))
6362, 8, 45, 7tgplacthmeo 23607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6425, 63syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
65 hmeoco 23276 . . . . . . . . . . . 12 (((invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6661, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6759, 66eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
68 hmeocn 23264 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70 toponuni 22416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
735, 72sseqtrid 4035 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
741conncompconn 22936 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
759, 13, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7744, 69, 73, 76connima 22929 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn)
781conncompss 22937 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋 ∧ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) ∧ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
7933, 43, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
8021, 79eqsstrrid 4032 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
81 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ V
8281, 38fnmpti 6694 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆
83 df-f 6548 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆))
8482, 83mpbiran 708 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
8580, 84sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8638fmpt 7110 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
8887ralrimiva 3147 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
898, 28issubg4 19025 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
9010, 89syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
916, 16, 88, 90mpbir3and 1343 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9210adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (oppgβ€˜πΊ) = (oppgβ€˜πΊ)
9493, 46oppginv 19226 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9695fveq1d 6894 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
97 simprll 778 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
988, 46grpinvinv 18890 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9992, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
10096, 99eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
101100oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧))
102 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
10345, 93, 102oppgplus 19213 . . . . . 6 (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦)
104101, 103eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦))
1058, 46grpinvcl 18872 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
10692, 97, 105syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
107 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
10899oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
109 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
110108, 109eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
1128, 46, 45, 111eqgval 19057 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
11392, 5, 112sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
114106, 107, 110, 113mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
1158, 11, 7, 1, 111tgpconncompeqg 23616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
116106, 115syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
11793oppgtgp 23602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
11993, 8oppgbas 19216 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (Baseβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12093, 11oppgid 19223 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12193, 7oppgtopn 19220 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpenβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
122 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)
123119, 120, 121, 1, 122tgpconncompeqg 23616 . . . . . . . . . . . 12 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
124118, 106, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
125116, 124eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆))
126125eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)))
127 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
128 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ V
129127, 128elec 8747 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
130127, 128elec 8747 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
131126, 129, 1303bitr3g 313 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧))
132114, 131mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
133 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
134119, 133, 102, 122eqgval 19057 . . . . . . . 8 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
135118, 5, 134sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
136132, 135mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆))
137136simp3d 1145 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)
138104, 137eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
139138expr 458 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
140139ralrimivva 3201 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
1418, 45isnsg2 19036 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)))
14291, 140, 141sylanbrc 584 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000  NrmSGrpcnsg 19001   ~QG cqg 19002  oppgcoppg 19209  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  Conncconn 22915  Homeochmeo 23257  TopGrpctgp 23575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-oppg 19210  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-conn 22916  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-tmd 23576  df-tgp 23577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator