MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpconncomp 23487
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (conncompcld 22808) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tgpconncomp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpconncomp.s 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncomp (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem tgpconncomp
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.s . . . . 5 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
2 ssrab2 4041 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋
3 sspwuni 5064 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋)
42, 3mpbi 229 . . . . 5 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋
51, 4eqsstri 3982 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝑋
65a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
7 tgpconncomp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
8 tgpconncomp.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
97, 8tgptopon 23456 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 tgpgrp 23452 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 tgpconncomp.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΊ)
128, 11grpidcl 18786 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑋)
141conncompid 22805 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝑆)
159, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4299 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
17 df-ima 5650 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆)
18 resmpt 5995 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2019rneqi 5896 . . . . . . . 8 ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2117, 20eqtri 2761 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
22 imassrn 6028 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2310adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
256sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
298, 28grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3024, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3130fmpttd 7067 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘‹βŸΆπ‘‹)
3231frnd 6680 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑋)
3322, 32sstrid 3959 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋)
348, 11, 28grpsubid 18839 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
3523, 25, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
36 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
37 ovex 7394 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
39 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4038, 39elrnmpt1s 5916 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4136, 37, 40sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4235, 41eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4342, 21eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆))
44 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
478, 45, 46, 28grpsubval 18804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4825, 47sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4948mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
508, 46grpinvcl 18806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
5123, 50sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
528, 46grpinvf 18805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5310, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5554feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
56 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)))
57 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
5851, 55, 56, 57fmptco 7079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
5949, 58eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)))
607, 46grpinvhmeo 23460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀))
6362, 8, 45, 7tgplacthmeo 23477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6425, 63syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
65 hmeoco 23146 . . . . . . . . . . . 12 (((invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6661, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6759, 66eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
68 hmeocn 23134 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
735, 72sseqtrid 4000 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
741conncompconn 22806 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
759, 13, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7744, 69, 73, 76connima 22799 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn)
781conncompss 22807 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋 ∧ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) ∧ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
7933, 43, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
8021, 79eqsstrrid 3997 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
81 ovex 7394 . . . . . . . 8 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ V
8281, 38fnmpti 6648 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆
83 df-f 6504 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆))
8482, 83mpbiran 708 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
8580, 84sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8638fmpt 7062 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
8887ralrimiva 3140 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
898, 28issubg4 18955 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
9010, 89syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
916, 16, 88, 90mpbir3and 1343 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9210adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (oppgβ€˜πΊ) = (oppgβ€˜πΊ)
9493, 46oppginv 19148 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9695fveq1d 6848 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
97 simprll 778 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
988, 46grpinvinv 18822 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9992, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
10096, 99eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
101100oveq1d 7376 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧))
102 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
10345, 93, 102oppgplus 19135 . . . . . 6 (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦)
104101, 103eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦))
1058, 46grpinvcl 18806 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
10692, 97, 105syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
107 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
10899oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
109 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
110108, 109eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
1128, 46, 45, 111eqgval 18987 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
11392, 5, 112sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
114106, 107, 110, 113mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
1158, 11, 7, 1, 111tgpconncompeqg 23486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
116106, 115syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
11793oppgtgp 23472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
11993, 8oppgbas 19138 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (Baseβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12093, 11oppgid 19145 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12193, 7oppgtopn 19142 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpenβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
122 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)
123119, 120, 121, 1, 122tgpconncompeqg 23486 . . . . . . . . . . . 12 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
124118, 106, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
125116, 124eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆))
126125eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)))
127 vex 3451 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
128 fvex 6859 . . . . . . . . . 10 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ V
129127, 128elec 8698 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
130127, 128elec 8698 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
131126, 129, 1303bitr3g 313 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧))
132114, 131mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
133 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
134119, 133, 102, 122eqgval 18987 . . . . . . . 8 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
135118, 5, 134sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
136132, 135mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆))
137136simp3d 1145 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)
138104, 137eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
139138expr 458 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
140139ralrimivva 3194 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
1418, 45isnsg2 18966 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)))
14291, 140, 141sylanbrc 584 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  [cec 8652  Basecbs 17091  +gcplusg 17141   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  NrmSGrpcnsg 18931   ~QG cqg 18932  oppgcoppg 19131  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  Conncconn 22785  Homeochmeo 23127  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-ec 8656  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-oppg 19132  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-conn 22786  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator