MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncomp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgpconncomp 23624
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (conncompcld 22945) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tgpconncomp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpconncomp.s 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncomp (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem tgpconncomp
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.s . . . . 5 𝑆 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)}
2 ssrab2 4077 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋
3 sspwuni 5103 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋)
42, 3mpbi 229 . . . . 5 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)} βŠ† 𝑋
51, 4eqsstri 4016 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝑋
65a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
7 tgpconncomp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
8 tgpconncomp.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
97, 8tgptopon 23593 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 tgpgrp 23589 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 tgpconncomp.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΊ)
128, 11grpidcl 18852 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑋)
141conncompid 22942 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝑆)
159, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4335 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
17 df-ima 5689 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆)
18 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2019rneqi 5936 . . . . . . . 8 ran ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β†Ύ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2117, 20eqtri 2760 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) = ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
22 imassrn 6070 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
2310adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
256sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
298, 28grpsubcl 18905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3024, 26, 27, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑋)
3130fmpttd 7116 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘‹βŸΆπ‘‹)
3231frnd 6725 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑋)
3322, 32sstrid 3993 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋)
348, 11, 28grpsubid 18909 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
3523, 25, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
36 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
37 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧))
39 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4038, 39elrnmpt1s 5956 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4136, 37, 40sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4235, 41eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)))
4342, 21eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆))
44 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
478, 45, 46, 28grpsubval 18872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4825, 47sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
4948mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
508, 46grpinvcl 18874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
5123, 50sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
528, 46grpinvf 18873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5310, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ):π‘‹βŸΆπ‘‹)
5554feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
56 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)))
57 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
5851, 55, 56, 57fmptco 7129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
5949, 58eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) = ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)))
607, 46grpinvhmeo 23597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
62 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀))
6362, 8, 45, 7tgplacthmeo 23614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6425, 63syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
65 hmeoco 23283 . . . . . . . . . . . 12 (((invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6661, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑀)) ∘ (invgβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6759, 66eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
68 hmeocn 23271 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70 toponuni 22423 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
735, 72sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
741conncompconn 22943 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
759, 13, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn)
7744, 69, 73, 76connima 22936 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn)
781conncompss 22944 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑋 ∧ 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) ∧ (𝐽 β†Ύt ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆)) ∈ Conn) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
7933, 43, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) β€œ 𝑆) βŠ† 𝑆)
8021, 79eqsstrrid 4031 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
81 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ V
8281, 38fnmpti 6693 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆
83 df-f 6547 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆))
8482, 83mpbiran 707 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘† ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)) βŠ† 𝑆)
8580, 84sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8638fmpt 7111 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧)):π‘†βŸΆπ‘†)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
8887ralrimiva 3146 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
898, 28issubg4 19027 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
9010, 89syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
916, 16, 88, 90mpbir3and 1342 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9210adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
93 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (oppgβ€˜πΊ) = (oppgβ€˜πΊ)
9493, 46oppginv 19228 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)))
9695fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
97 simprll 777 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
988, 46grpinvinv 18892 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9992, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
10096, 99eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
101100oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧))
102 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
10345, 93, 102oppgplus 19215 . . . . . 6 (𝑦(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦)
104101, 103eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) = (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦))
1058, 46grpinvcl 18874 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
10692, 97, 105syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
107 simprlr 778 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
10899oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
109 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
110108, 109eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)
111 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
1128, 46, 45, 111eqgval 19059 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
11392, 5, 112sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜πΊ)β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)))
114106, 107, 110, 113mpbir3and 1342 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
1158, 11, 7, 1, 111tgpconncompeqg 23623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
116106, 115syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
11793oppgtgp 23609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp)
11993, 8oppgbas 19218 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (Baseβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12093, 11oppgid 19225 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
12193, 7oppgtopn 19222 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpenβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
122 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = ((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)
123119, 120, 121, 1, 122tgpconncompeqg 23623 . . . . . . . . . . . 12 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
124118, 106, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ∧ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Conn)})
125116, 124eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) = [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆))
126125eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)))
127 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
128 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ V
129127, 128elec 8749 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
130127, 128elec 8749 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)]((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆) ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
131126, 129, 1303bitr3g 312 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧))
132114, 131mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧)
133 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
134119, 133, 102, 122eqgval 19059 . . . . . . . 8 (((oppgβ€˜πΊ) ∈ TopGrp ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
135118, 5, 134sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)((oppgβ€˜πΊ) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)))
136132, 135mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆))
137136simp3d 1144 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))(+gβ€˜(oppgβ€˜πΊ))𝑧) ∈ 𝑆)
138104, 137eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
139138expr 457 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
140139ralrimivva 3200 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
1418, 45isnsg2 19038 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)))
14291, 140, 141sylanbrc 583 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝑆 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  [cec 8703  Basecbs 17146  +gcplusg 17199   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822  -gcsg 18823  SubGrpcsubg 19002  NrmSGrpcnsg 19003   ~QG cqg 19004  oppgcoppg 19211  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  Conncconn 22922  Homeochmeo 23264  TopGrpctgp 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-oppg 19212  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-conn 22923  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-tmd 23583  df-tgp 23584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator