MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpconncomp 23264
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (conncompcld 22585) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgpconncomp.z 0 = (0g𝐺)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpconncomp.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncomp (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐽   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem tgpconncomp
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.s . . . . 5 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
2 ssrab2 4013 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝒫 𝑋
3 sspwuni 5029 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝒫 𝑋 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝑋)
42, 3mpbi 229 . . . . 5 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝑋
51, 4eqsstri 3955 . . . 4 𝑆𝑋
65a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆𝑋)
7 tgpconncomp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8 tgpconncomp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
97, 8tgptopon 23233 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 tgpgrp 23229 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11 tgpconncomp.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
128, 11grpidcl 18607 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 0𝑋)
141conncompid 22582 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 0𝑋) → 0𝑆)
159, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 0𝑆)
1615ne0d 4269 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ≠ ∅)
17 df-ima 5602 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) = ran ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆)
18 resmpt 5945 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2019rneqi 5846 . . . . . . . 8 ran ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2117, 20eqtri 2766 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) = ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
22 imassrn 5980 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ ran (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2310adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
256sselda 3921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑋)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑋)
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
28 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝐺) = (-g𝐺)
298, 28grpsubcl 18655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
3024, 26, 27, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
3130fmpttd 6989 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑋𝑋)
3231frnd 6608 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ran (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑋)
3322, 32sstrid 3932 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
348, 11, 28grpsubid 18659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) = 0 )
3523, 25, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) = 0 )
36 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
37 ovex 7308 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ V
38 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
39 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(-g𝐺)𝑦))
4038, 39elrnmpt1s 5866 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑆 ∧ (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ V) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4136, 37, 40sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4235, 41eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4342, 21eleqtrrdi 2850 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆))
44 eqid 2738 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
45 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐺) = (+g𝐺)
46 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝐺) = (invg𝐺)
478, 45, 46, 28grpsubval 18625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
4825, 47sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
4948mpteq2dva 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))))
508, 46grpinvcl 18627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5123, 50sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
528, 46grpinvf 18626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5310, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5554feqmptd 6837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺) = (𝑧𝑋 ↦ ((invg𝐺)‘𝑧)))
56 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)))
57 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑤) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
5851, 55, 56, 57fmptco 7001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))))
5949, 58eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)))
607, 46grpinvhmeo 23237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
62 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤))
6362, 8, 45, 7tgplacthmeo 23254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6425, 63syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
65 hmeoco 22923 . . . . . . . . . . . 12 (((invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6661, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6759, 66eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
68 hmeocn 22911 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70 toponuni 22063 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑋 = 𝐽)
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋 = 𝐽)
735, 72sseqtrid 3973 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆 𝐽)
741conncompconn 22583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 0𝑋) → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
759, 13, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
7744, 69, 73, 76connima 22576 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝐽t ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆)) ∈ Conn)
781conncompss 22584 . . . . . . . 8 ((((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑋0 ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ∧ (𝐽t ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆)) ∈ Conn) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑆)
7933, 43, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑆)
8021, 79eqsstrrid 3970 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆)
81 ovex 7308 . . . . . . . 8 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ V
8281, 38fnmpti 6576 . . . . . . 7 (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) Fn 𝑆
83 df-f 6437 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆))
8482, 83mpbiran 706 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆 ↔ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆)
8580, 84sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆)
8638fmpt 6984 . . . . 5 (∀𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
8887ralrimiva 3103 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
898, 28issubg4 18774 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
9010, 89syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
916, 16, 88, 90mpbir3and 1341 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9210adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
93 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
9493, 46oppginv 18966 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg‘(oppg𝐺)))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (invg𝐺) = (invg‘(oppg𝐺)))
9695fveq1d 6776 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦)))
97 simprll 776 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝑦𝑋)
988, 46grpinvinv 18642 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
9992, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
10096, 99eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
101100oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑦(+g‘(oppg𝐺))𝑧))
102 eqid 2738 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
10345, 93, 102oppgplus 18953 . . . . . 6 (𝑦(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑧(+g𝐺)𝑦)
104101, 103eqtrdi 2794 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑧(+g𝐺)𝑦))
1058, 46grpinvcl 18627 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
10692, 97, 105syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
107 simprlr 777 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝑧𝑋)
10899oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
109 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
110108, 109eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
111 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
1128, 46, 45, 111eqgval 18805 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
11392, 5, 112sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
114106, 107, 110, 113mpbir3and 1341 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
1158, 11, 7, 1, 111tgpconncompeqg 23263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
116106, 115syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
11793oppgtgp 23249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp → (oppg𝐺) ∈ TopGrp)
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (oppg𝐺) ∈ TopGrp)
11993, 8oppgbas 18956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (Base‘(oppg𝐺))
12093, 11oppgid 18963 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(oppg𝐺))
12193, 7oppgtopn 18960 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpen‘(oppg𝐺))
122 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = ((oppg𝐺) ~QG 𝑆)
123119, 120, 121, 1, 122tgpconncompeqg 23263 . . . . . . . . . . . 12 (((oppg𝐺) ∈ TopGrp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋) → [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
124118, 106, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
125116, 124eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆))
126125eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆)))
127 vex 3436 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
128 fvex 6787 . . . . . . . . . 10 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ V
129127, 128elec 8542 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
130127, 128elec 8542 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧)
131126, 129, 1303bitr3g 313 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧))
132114, 131mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧)
133 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (invg‘(oppg𝐺)) = (invg‘(oppg𝐺))
134119, 133, 102, 122eqgval 18805 . . . . . . . 8 (((oppg𝐺) ∈ TopGrp ∧ 𝑆𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)))
135118, 5, 134sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)))
136132, 135mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆))
137136simp3d 1143 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)
138104, 137eqeltrrd 2840 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
139138expr 457 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
140139ralrimivva 3123 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1418, 45isnsg2 18784 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
14291, 140, 141sylanbrc 583 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533   cuni 4839   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ran crn 5590  cres 5591  cima 5592  ccom 5593   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578  -gcsg 18579  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~QG cqg 18751  oppgcoppg 18949  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375  Conncconn 22562  Homeochmeo 22904  TopGrpctgp 23222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-oppg 18950  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-conn 22563  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-tmd 23223  df-tgp 23224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator