MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpconncomp 22866
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (conncompcld 22187) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgpconncomp.z 0 = (0g𝐺)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpconncomp.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncomp (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐽   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem tgpconncomp
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.s . . . . 5 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
2 ssrab2 3969 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝒫 𝑋
3 sspwuni 4985 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝒫 𝑋 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝑋)
42, 3mpbi 233 . . . . 5 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)} ⊆ 𝑋
51, 4eqsstri 3911 . . . 4 𝑆𝑋
65a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆𝑋)
7 tgpconncomp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8 tgpconncomp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
97, 8tgptopon 22835 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 tgpgrp 22831 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11 tgpconncomp.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
128, 11grpidcl 18251 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 0𝑋)
141conncompid 22184 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 0𝑋) → 0𝑆)
159, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 0𝑆)
1615ne0d 4224 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ≠ ∅)
17 df-ima 5538 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) = ran ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆)
18 resmpt 5879 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2019rneqi 5780 . . . . . . . 8 ran ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑆) = ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2117, 20eqtri 2761 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) = ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
22 imassrn 5914 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ ran (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
2310adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
256sselda 3877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑋)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑋)
27 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
28 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝐺) = (-g𝐺)
298, 28grpsubcl 18299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
3024, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
3130fmpttd 6891 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑋𝑋)
3231frnd 6512 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ran (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑋)
3322, 32sstrid 3888 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
348, 11, 28grpsubid 18303 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) = 0 )
3523, 25, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) = 0 )
36 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
37 ovex 7205 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ V
38 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧))
39 oveq2 7180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(-g𝐺)𝑦))
4038, 39elrnmpt1s 5800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑆 ∧ (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ V) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4136, 37, 40sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦(-g𝐺)𝑦) ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4235, 41eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)))
4342, 21eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆))
44 eqid 2738 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
45 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐺) = (+g𝐺)
46 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝐺) = (invg𝐺)
478, 45, 46, 28grpsubval 18269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
4825, 47sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(-g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
4948mpteq2dva 5125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))))
508, 46grpinvcl 18271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5123, 50sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
528, 46grpinvf 18270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5310, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺):𝑋𝑋)
5554feqmptd 6739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺) = (𝑧𝑋 ↦ ((invg𝐺)‘𝑧)))
56 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)))
57 oveq2 7180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑤) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
5851, 55, 56, 57fmptco 6903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))))
5949, 58eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)))
607, 46grpinvhmeo 22839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
62 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤))
6362, 8, 45, 7tgplacthmeo 22856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6425, 63syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
65 hmeoco 22525 . . . . . . . . . . . 12 (((invg𝐺) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ∧ (𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∈ (𝐽Homeo𝐽)) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6661, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑤)) ∘ (invg𝐺)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
6759, 66eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
68 hmeocn 22513 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽Homeo𝐽) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70 toponuni 21667 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑋 = 𝐽)
7271adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋 = 𝐽)
735, 72sseqtrid 3929 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆 𝐽)
741conncompconn 22185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 0𝑋) → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
759, 13, 74syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
7675adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Conn)
7744, 69, 73, 76connima 22178 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝐽t ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆)) ∈ Conn)
781conncompss 22186 . . . . . . . 8 ((((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑋0 ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ∧ (𝐽t ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆)) ∈ Conn) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑆)
7933, 43, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) “ 𝑆) ⊆ 𝑆)
8021, 79eqsstrrid 3926 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆)
81 ovex 7205 . . . . . . . 8 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ V
8281, 38fnmpti 6480 . . . . . . 7 (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) Fn 𝑆
83 df-f 6343 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆))
8482, 83mpbiran 709 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆 ↔ ran (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)) ⊆ 𝑆)
8580, 84sylibr 237 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆)
8638fmpt 6886 . . . . 5 (∀𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧𝑆 ↦ (𝑦(-g𝐺)𝑧)):𝑆𝑆)
8785, 86sylibr 237 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
8887ralrimiva 3096 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
898, 28issubg4 18418 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
9010, 89syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
916, 16, 88, 90mpbir3and 1343 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9210adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
93 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
9493, 46oppginv 18607 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg‘(oppg𝐺)))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (invg𝐺) = (invg‘(oppg𝐺)))
9695fveq1d 6678 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦)))
97 simprll 779 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝑦𝑋)
988, 46grpinvinv 18286 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
9992, 97, 98syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
10096, 99eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦)) = 𝑦)
101100oveq1d 7187 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑦(+g‘(oppg𝐺))𝑧))
102 eqid 2738 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
10345, 93, 102oppgplus 18597 . . . . . 6 (𝑦(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑧(+g𝐺)𝑦)
104101, 103eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) = (𝑧(+g𝐺)𝑦))
1058, 46grpinvcl 18271 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
10692, 97, 105syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
107 simprlr 780 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → 𝑧𝑋)
10899oveq1d 7187 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
109 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
110108, 109eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
111 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
1128, 46, 45, 111eqgval 18449 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
11392, 5, 112sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)))
114106, 107, 110, 113mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
1158, 11, 7, 1, 111tgpconncompeqg 22865 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
116106, 115syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
11793oppgtgp 22851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ TopGrp → (oppg𝐺) ∈ TopGrp)
118117adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (oppg𝐺) ∈ TopGrp)
11993, 8oppgbas 18599 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (Base‘(oppg𝐺))
12093, 11oppgid 18604 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(oppg𝐺))
12193, 7oppgtopn 18601 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpen‘(oppg𝐺))
122 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = ((oppg𝐺) ~QG 𝑆)
123119, 120, 121, 1, 122tgpconncompeqg 22865 . . . . . . . . . . . 12 (((oppg𝐺) ∈ TopGrp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋) → [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
124118, 106, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)})
125116, 124eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) = [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆))
126125eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆)))
127 vex 3402 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
128 fvex 6689 . . . . . . . . . 10 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ V
129127, 128elec 8366 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧)
130127, 128elec 8366 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ [((invg𝐺)‘𝑦)]((oppg𝐺) ~QG 𝑆) ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧)
131126, 129, 1303bitr3g 316 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑧 ↔ ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧))
132114, 131mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧)
133 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (invg‘(oppg𝐺)) = (invg‘(oppg𝐺))
134119, 133, 102, 122eqgval 18449 . . . . . . . 8 (((oppg𝐺) ∈ TopGrp ∧ 𝑆𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)))
135118, 5, 134sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦)((oppg𝐺) ~QG 𝑆)𝑧 ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)))
136132, 135mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆))
137136simp3d 1145 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (((invg‘(oppg𝐺))‘((invg𝐺)‘𝑦))(+g‘(oppg𝐺))𝑧) ∈ 𝑆)
138104, 137eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ ((𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
139138expr 460 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
140139ralrimivva 3103 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1418, 45isnsg2 18428 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 → (𝑧(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
14291, 140, 141sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  {crab 3057  Vcvv 3398  wss 3843  c0 4211  𝒫 cpw 4488   cuni 4796   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526  cres 5527  cima 5528  ccom 5529   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  [cec 8320  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  t crest 16799  TopOpenctopn 16800  0gc0g 16818  Grpcgrp 18221  invgcminusg 18222  -gcsg 18223  SubGrpcsubg 18393  NrmSGrpcnsg 18394   ~QG cqg 18395  oppgcoppg 18593  TopOnctopon 21663   Cn ccn 21977  Conncconn 22164  Homeochmeo 22506  TopGrpctgp 22824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-tpos 7923  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-ec 8324  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fi 8950  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-tset 16689  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-topgen 16822  df-plusf 17969  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-nsg 18397  df-eqg 18398  df-oppg 18594  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-conn 22165  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-tmd 22825  df-tgp 22826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator