Theorem grpinvval2 19238

Description: A df-neg 11547-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvval2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvval2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19181	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		grpinvsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 19201	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
9	1, 5	grpinvcl 19203	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 4, 2	grplid 19183	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
11	9, 10	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
12	8, 11	eqtr2d 2796	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154

This theorem is used by:  grpsubadd0sub  19242  odm1inv  19772  matinvgcell  22755  istgp2  24415  nrmmetd  24898  nminv  24945