Theorem grpinvval2 18953

Description: A df-neg 11367-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvval2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvval2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18895	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		grpinvsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 18915	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
9	1, 5	grpinvcl 18917	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 4, 2	grplid 18897	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
12	8, 11	eqtr2d 2772	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868

This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  18957  odm1inv  19482  matinvgcell  22379  istgp2  24035  nrmmetd  24518  nminv  24565