Theorem grpinvval2 18936

Description: A df-neg 11347-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvval2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvval2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18878	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		grpinvsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 18898	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
9	1, 5	grpinvcl 18900	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 4, 2	grplid 18880	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
12	8, 11	eqtr2d 2767	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  -_gcsg 18848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851

This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  18940  odm1inv  19465  matinvgcell  22350  istgp2  24006  nrmmetd  24489  nminv  24536