Theorem odm1inv 19618

Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
odm1inv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odm1inv.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odm1inv.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odm1inv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odm1inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
odm1inv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
odm1inv	⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Proof of Theorem odm1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odm1inv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		odm1inv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odm1inv.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odm1inv.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	odid 19603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
8	2, 4	mulg1 19142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
11		odm1inv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	2, 3, 1	odcld 19617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
14		1zzd 12620	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16	2, 4, 15	mulgsubdir 19175	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
17	11, 13, 14, 1, 16	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
18		odm1inv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 15, 18, 5	grpinvval2 19084	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
20	11, 1, 19	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
21	10, 17, 20	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   − cmin 11436  ℤcz 12586  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  ._gcmg 19128  odcod 19589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-od 19593

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19632