Theorem odm1inv 19584

Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
odm1inv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odm1inv.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odm1inv.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odm1inv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odm1inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
odm1inv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
odm1inv	⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Proof of Theorem odm1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odm1inv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		odm1inv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odm1inv.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odm1inv.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	odid 19569	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
8	2, 4	mulg1 19114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	oveq12d 7409	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
11		odm1inv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	2, 3, 1	odcld 19583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
14		1zzd 12596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16	2, 4, 15	mulgsubdir 19147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
17	11, 13, 14, 1, 16	syl13anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
18		odm1inv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 15, 18, 5	grpinvval2 19056	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
20	11, 1, 19	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
21	10, 17, 20	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   − cmin 11408  ℤcz 12562  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  Grpcgrp 18966  inv_gcminusg 18967  -_gcsg 18968  ._gcmg 19100  odcod 19555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-seq 14009  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-od 19559

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19598