Theorem odm1inv 19519

Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
odm1inv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odm1inv.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odm1inv.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odm1inv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odm1inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
odm1inv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
odm1inv	⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Proof of Theorem odm1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odm1inv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		odm1inv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odm1inv.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odm1inv.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	odid 19504	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
8	2, 4	mulg1 19048	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
11		odm1inv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	2, 3, 1	odcld 19518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
14		1zzd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16	2, 4, 15	mulgsubdir 19081	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
17	11, 13, 14, 1, 16	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
18		odm1inv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 15, 18, 5	grpinvval2 18990	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
20	11, 1, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
21	10, 17, 20	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   − cmin 11368  ℤcz 12515  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  ._gcmg 19034  odcod 19490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-od 19494

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19533