MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odm1inv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odm1inv 19415
Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
odm1inv.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odm1inv.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odm1inv.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
odm1inv.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
odm1inv.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
odm1inv.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
odm1inv (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (๐ผโ€˜๐ด))

Proof of Theorem odm1inv
StepHypRef Expression
1 odm1inv.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 odm1inv.x . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odm1inv.o . . . . 5 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
4 odm1inv.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 eqid 2732 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
62, 3, 4, 5odid 19400 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
71, 6syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
82, 4mulg1 18955 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
91, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
107, 9oveq12d 7423 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
11 odm1inv.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
122, 3, 1odcld 19414 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1312nn0zd 12580 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
14 1zzd 12589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
15 eqid 2732 . . . 4 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
162, 4, 15mulgsubdir 18988 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)))
1711, 13, 14, 1, 16syl13anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)))
18 odm1inv.i . . . 4 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
192, 15, 18, 5grpinvval2 18902 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ผโ€˜๐ด) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
2011, 1, 19syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ€˜๐ด) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
2110, 17, 203eqtr4d 2782 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (๐ผโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   โˆ’ cmin 11440  โ„คcz 12554  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  .gcmg 18944  odcod 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-od 19390
This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19429
  Copyright terms: Public domain W3C validator