MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odm1inv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odm1inv 19470
Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
odm1inv.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odm1inv.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odm1inv.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
odm1inv.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
odm1inv.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
odm1inv.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
odm1inv (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (๐ผโ€˜๐ด))

Proof of Theorem odm1inv
StepHypRef Expression
1 odm1inv.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 odm1inv.x . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odm1inv.o . . . . 5 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
4 odm1inv.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
62, 3, 4, 5odid 19455 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
71, 6syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
82, 4mulg1 19005 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
91, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
107, 9oveq12d 7422 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
11 odm1inv.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
122, 3, 1odcld 19469 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1312nn0zd 12585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
14 1zzd 12594 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
15 eqid 2726 . . . 4 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
162, 4, 15mulgsubdir 19038 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)))
1711, 13, 14, 1, 16syl13anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)(-gโ€˜๐บ)(1 ยท ๐ด)))
18 odm1inv.i . . . 4 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
192, 15, 18, 5grpinvval2 18948 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ผโ€˜๐ด) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
2011, 1, 19syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ€˜๐ด) = ((0gโ€˜๐บ)(-gโ€˜๐บ)๐ด))
2110, 17, 203eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (๐ผโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   โˆ’ cmin 11445  โ„คcz 12559  Basecbs 17150  0gc0g 17391  Grpcgrp 18860  invgcminusg 18861  -gcsg 18862  .gcmg 18992  odcod 19441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-od 19445
This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19484
  Copyright terms: Public domain W3C validator