Theorem odm1inv 19494

Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
odm1inv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odm1inv.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odm1inv.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odm1inv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odm1inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
odm1inv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
odm1inv	⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Proof of Theorem odm1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odm1inv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		odm1inv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odm1inv.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odm1inv.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	odid 19479	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
8	2, 4	mulg1 19023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
11		odm1inv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	2, 3, 1	odcld 19493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12525	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
14		1zzd 12534	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16	2, 4, 15	mulgsubdir 19056	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
17	11, 13, 14, 1, 16	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
18		odm1inv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 15, 18, 5	grpinvval2 18965	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
20	11, 1, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
21	10, 17, 20	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   − cmin 11376  ℤcz 12500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  ._gcmg 19009  odcod 19465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-od 19469

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19508