Theorem odm1inv 19515

Description: The (order-1)th multiple of an element is its inverse. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
odm1inv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odm1inv.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odm1inv.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odm1inv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odm1inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
odm1inv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
odm1inv	⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Proof of Theorem odm1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odm1inv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		odm1inv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odm1inv.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odm1inv.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	odid 19500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
8	2, 4	mulg1 19043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	oveq12d 7444	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
11		odm1inv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	2, 3, 1	odcld 19514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
14		1zzd 12631	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16	2, 4, 15	mulgsubdir 19076	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
17	11, 13, 14, 1, 16	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (((𝑂‘𝐴) · 𝐴)(-g‘𝐺)(1 · 𝐴)))
18		odm1inv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 15, 18, 5	grpinvval2 18986	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
20	11, 1, 19	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
21	10, 17, 20	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) − 1) · 𝐴) = (𝐼‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   − cmin 11482  ℤcz 12596  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898  -_gcsg 18899  ._gcmg 19030  odcod 19486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-od 19490

This theorem is referenced by:  finodsubmsubg  19529