Theorem matinvgcell 22457

Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v	⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
matinvgcell.w	⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinvgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	matgrp 22452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7	4, 5, 6	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
9	2, 8	grpidcl 18996	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13	12	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 2, 14, 15	matsubgcell 22456	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
17	13, 16	syld3an2 1410	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18		matinvgcell.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)
19	2, 14, 18, 8	grpinvval2 19054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
20	7, 11, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
21	20	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
22	21	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽))
23		ringgrp 20256	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
26	2	eleq2i 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
30	25, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	1, 31	matecl 22447	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34		matinvgcell.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	31, 15, 34, 35	grpinvval2 19054	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
37	24, 33, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
38	4	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
39	38	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
40	1, 35	mat0op 22441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
42	41	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
43		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	25	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
45		simp3r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
46		fvexd 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
47	42, 43, 44, 45, 46	ovmpod 7585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
48	47	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
49	48	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
50	37, 49	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
51	17, 22, 50	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8984  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428

This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22739