Theorem matinvgcell 21928

Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v	⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
matinvgcell.w	⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinvgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 21903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	matgrp 21923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7	4, 5, 6	syl2an2 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
9	2, 8	grpidcl 18846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
11		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
15		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 2, 14, 15	matsubgcell 21927	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
17	13, 16	syld3an2 1411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18		matinvgcell.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)
19	2, 14, 18, 8	grpinvval2 18902	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
20	7, 11, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
22	21	oveqd 7422	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽))
23		ringgrp 20054	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
26	2	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
30	25, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	1, 31	matecl 21918	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34		matinvgcell.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
35		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	31, 15, 34, 35	grpinvval2 18902	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
37	24, 33, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
38	4	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
39	38	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
40	1, 35	mat0op 21912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
42	41	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
43		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	25	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
45		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
46		fvexd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
47	42, 43, 44, 45, 46	ovmpod 7556	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
48	47	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
49	48	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
50	37, 49	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
51	17, 22, 50	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8935  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  -_gcsg 18817  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mat 21899

This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22210