Theorem matinvgcell 22657

Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v	⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
matinvgcell.w	⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinvgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	matgrp 22652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7	4, 5, 6	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
9	2, 8	grpidcl 19089	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13	12	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 2, 14, 15	matsubgcell 22656	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
17	13, 16	syld3an2 1438	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18		matinvgcell.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)
19	2, 14, 18, 8	grpinvval2 19146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
20	7, 11, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
21	20	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
22	21	oveqd 7430	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽))
23		ringgrp 20377	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
26	2	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
30	25, 28, 29	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	1, 31	matecl 22647	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34		matinvgcell.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	31, 15, 34, 35	grpinvval2 19146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
37	24, 33, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
38	4	anim1i 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
39	38	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
40	1, 35	mat0op 22641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
42	41	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
43		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	25	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
45		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
46		fvexd 6893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
47	42, 43, 44, 45, 46	ovmpod 7565	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
48	47	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
49	48	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
50	37, 49	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
51	17, 22, 50	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8952  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Grpcgrp 19057  inv_gcminusg 19058  -_gcsg 19059  Ringcrg 20372   Mat cmat 22629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-mat 22630

This theorem is used by:  cpmatinvcl  22942