Theorem matinvgcell 22379

Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v	⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
matinvgcell.w	⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinvgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	matgrp 22374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7	4, 5, 6	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
9	2, 8	grpidcl 18895	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 2, 14, 15	matsubgcell 22378	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
17	13, 16	syld3an2 1413	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18		matinvgcell.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)
19	2, 14, 18, 8	grpinvval2 18953	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
20	7, 11, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
22	21	oveqd 7375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽))
23		ringgrp 20173	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
26	2	eleq2i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
30	25, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	1, 31	matecl 22369	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34		matinvgcell.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
35		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	31, 15, 34, 35	grpinvval2 18953	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
37	24, 33, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
38	4	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
39	38	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
40	1, 35	mat0op 22363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
42	41	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
43		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	25	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
45		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
46		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
47	42, 43, 44, 45, 46	ovmpod 7510	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
48	47	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
49	48	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
50	37, 49	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
51	17, 22, 50	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8883  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865  Ringcrg 20168   Mat cmat 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mat 22352

This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22661