MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinvgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinvgcell 21032
Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v 𝑉 = (invg𝑅)
matinvgcell.w 𝑊 = (invg𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinvgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21009 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 498 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61matgrp 21027 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
74, 5, 6syl2an2 685 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
92, 8grpidcl 18122 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Grp → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
11 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
1210, 11jca 515 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
13123adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
14 eqid 2824 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
15 eqid 2824 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
161, 2, 14, 15matsubgcell 21031 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
1713, 16syld3an2 1408 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18 matinvgcell.w . . . . . 6 𝑊 = (invg𝐴)
192, 14, 18, 8grpinvval2 18173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
207, 11, 19syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
21203adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
2221oveqd 7157 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽))
23 ringgrp 19293 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24233ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
262eleq2i 2907 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2726biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
3025, 28, 29sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
321, 31matecl 21022 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34 matinvgcell.v . . . . 5 𝑉 = (invg𝑅)
35 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3631, 15, 34, 35grpinvval2 18173 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
3724, 33, 36syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
384anim1i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3938ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
401, 35mat0op 21016 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
42413adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
43 eqidd 2825 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
4425simpld 498 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
45 simp3r 1199 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
46 fvexd 6668 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
4742, 43, 44, 45, 46ovmpod 7286 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4847eqcomd 2830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
4948oveq1d 7155 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5037, 49eqtrd 2859 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5117, 22, 503eqtr4d 2869 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cfv 6338  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Fincfn 8494  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  invgcminusg 18095  -gcsg 18096  Ringcrg 19288   Mat cmat 21004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19521  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-sra 19932  df-rgmod 19933  df-dsmm 20864  df-frlm 20879  df-mat 21005
This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  21313
  Copyright terms: Public domain W3C validator