Theorem matinvgcell 22345

Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v	⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
matinvgcell.w	⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinvgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	matgrp 22340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7	4, 5, 6	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
9	2, 8	grpidcl 18873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ 𝐵)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 2, 14, 15	matsubgcell 22344	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
17	13, 16	syld3an2 1413	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18		matinvgcell.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (invg‘𝐴)
19	2, 14, 18, 8	grpinvval2 18931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
20	7, 11, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑊‘𝑋) = ((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋))
22	21	oveqd 7358	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝐼((0g‘𝐴)(-g‘𝐴)𝑋)𝐽))
23		ringgrp 20151	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
26	2	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
30	25, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	1, 31	matecl 22335	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34		matinvgcell.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (invg‘𝑅)
35		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	31, 15, 34, 35	grpinvval2 18931	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
37	24, 33, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
38	4	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
39	38	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
40	1, 35	mat0op 22329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
42	41	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
43		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	25	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
45		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
46		fvexd 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
47	42, 43, 44, 45, 46	ovmpod 7493	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
48	47	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
49	48	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
50	37, 49	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g‘𝐴)𝐽)(-g‘𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
51	17, 22, 50	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑊‘𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Fincfn 8864  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  Ringcrg 20146   Mat cmat 22317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-mat 22318

This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22627