MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinvgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinvgcell 22311
Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v 𝑉 = (invg𝑅)
matinvgcell.w 𝑊 = (invg𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinvgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22286 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61matgrp 22306 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
74, 5, 6syl2an2 685 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2727 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
92, 8grpidcl 18907 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Grp → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
11 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
1210, 11jca 511 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
13123adant3 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
14 eqid 2727 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
15 eqid 2727 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
161, 2, 14, 15matsubgcell 22310 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
1713, 16syld3an2 1409 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18 matinvgcell.w . . . . . 6 𝑊 = (invg𝐴)
192, 14, 18, 8grpinvval2 18963 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
207, 11, 19syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
21203adant3 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
2221oveqd 7431 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽))
23 ringgrp 20162 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24233ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
262eleq2i 2820 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2726biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29 df-3an 1087 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
3025, 28, 29sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
321, 31matecl 22301 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34 matinvgcell.v . . . . 5 𝑉 = (invg𝑅)
35 eqid 2727 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3631, 15, 34, 35grpinvval2 18963 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
3724, 33, 36syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
384anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3938ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
401, 35mat0op 22295 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
42413adant3 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
43 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
4425simpld 494 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
45 simp3r 1200 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
46 fvexd 6906 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
4742, 43, 44, 45, 46ovmpod 7565 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4847eqcomd 2733 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
4948oveq1d 7429 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5037, 49eqtrd 2767 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5117, 22, 503eqtr4d 2777 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  Fincfn 8953  Basecbs 17165  0gc0g 17406  Grpcgrp 18875  invgcminusg 18876  -gcsg 18877  Ringcrg 20157   Mat cmat 22281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-mat 22282
This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22593
  Copyright terms: Public domain W3C validator