MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinvgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinvgcell 21656
Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v 𝑉 = (invg𝑅)
matinvgcell.w 𝑊 = (invg𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinvgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21631 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 495 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61matgrp 21651 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
74, 5, 6syl2an2 683 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
92, 8grpidcl 18676 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Grp → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
11 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
1210, 11jca 512 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
13123adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
14 eqid 2737 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
15 eqid 2737 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
161, 2, 14, 15matsubgcell 21655 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
1713, 16syld3an2 1410 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18 matinvgcell.w . . . . . 6 𝑊 = (invg𝐴)
192, 14, 18, 8grpinvval2 18727 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
207, 11, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
21203adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
2221oveqd 7332 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽))
23 ringgrp 19856 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24233ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
262eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2726biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
3025, 28, 29sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
321, 31matecl 21646 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34 matinvgcell.v . . . . 5 𝑉 = (invg𝑅)
35 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3631, 15, 34, 35grpinvval2 18727 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
3724, 33, 36syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
384anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3938ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
401, 35mat0op 21640 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
42413adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
43 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
4425simpld 495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
45 simp3r 1201 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
46 fvexd 6826 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
4742, 43, 44, 45, 46ovmpod 7465 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4847eqcomd 2743 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
4948oveq1d 7330 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5037, 49eqtrd 2777 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5117, 22, 503eqtr4d 2787 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  cfv 6465  (class class class)co 7315  cmpo 7317  Fincfn 8781  Basecbs 16982  0gc0g 17220  Grpcgrp 18646  invgcminusg 18647  -gcsg 18648  Ringcrg 19851   Mat cmat 21626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-sup 9271  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-fz 13313  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-hom 17056  df-cco 17057  df-0g 17222  df-prds 17228  df-pws 17230  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-subg 18821  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-subrg 20094  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-sra 20506  df-rgmod 20507  df-dsmm 21011  df-frlm 21026  df-mat 21627
This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  21938
  Copyright terms: Public domain W3C validator