MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinvgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinvgcell 21784
Description: Additive inversion in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinvgcell.v 𝑉 = (invg𝑅)
matinvgcell.w 𝑊 = (invg𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinvgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))

Proof of Theorem matinvgcell
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21759 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 495 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61matgrp 21779 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
74, 5, 6syl2an2 684 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
92, 8grpidcl 18778 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Grp → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) ∈ 𝐵)
11 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
1210, 11jca 512 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
13123adant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵))
14 eqid 2736 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
15 eqid 2736 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
161, 2, 14, 15matsubgcell 21783 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐴) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
1713, 16syld3an2 1411 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
18 matinvgcell.w . . . . . 6 𝑊 = (invg𝐴)
192, 14, 18, 8grpinvval2 18830 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
207, 11, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
21203adant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑊𝑋) = ((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋))
2221oveqd 7374 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝐼((0g𝐴)(-g𝐴)𝑋)𝐽))
23 ringgrp 19969 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24233ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
25 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
262eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2726biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
29 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ↔ ((𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
3025, 28, 29sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
31 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
321, 31matecl 21774 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
34 matinvgcell.v . . . . 5 𝑉 = (invg𝑅)
35 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3631, 15, 34, 35grpinvval2 18830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
3724, 33, 36syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
384anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3938ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
401, 35mat0op 21768 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
42413adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
43 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
4425simpld 495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
45 simp3r 1202 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
46 fvexd 6857 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
4742, 43, 44, 45, 46ovmpod 7507 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4847eqcomd 2742 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (0g𝑅) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
4948oveq1d 7372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((0g𝑅)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5037, 49eqtrd 2776 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)) = ((𝐼(0g𝐴)𝐽)(-g𝑅)(𝐼𝑋𝐽)))
5117, 22, 503eqtr4d 2786 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑊𝑋)𝐽) = (𝑉‘(𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  cpmatinvcl  22066
  Copyright terms: Public domain W3C validator