Theorem cgraid 29259

Description: Angle congruence is reflexive. Theorem 11.6 of [Schwabhauser] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgraid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgraid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgraid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
cgraid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgraid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgraid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
cgraid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cgraid	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Proof of Theorem cgraid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgraid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgraid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgraid.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		cgraid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		cgraid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		cgraid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		cgraid.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
10	1, 8, 2, 9, 4, 5, 6, 7	cgr3id 28915	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
11		cgraid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 3, 5, 5, 6, 4, 11	hlid 29008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐴)
13		cgraid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
14	13	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
15	1, 2, 3, 7, 5, 6, 4, 14	hlid 29008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐶)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 5, 7, 10, 12, 15	iscgrad 29251	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  ⟨“cs3 14960  Basecbs 17348  distcds 17398  TarskiGcstrkg 28822  Itvcitv 28828  cgrGccgrg 28906  hlGchlg 28996  cgrAccgra 29247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgcb 28845  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-hlg 28997  df-cgra 29248

This theorem is used by:  sacgr  29272  ragraghl  29279  cgraer  29310  angmgmaddlid  29325  angmgmaddrid  29326