Theorem tgsas1 29400

Description: First congruence theorem: SAS (Side-Angle-Side): If two pairs of sides of two triangles are equal in length, and the included angles are equal in measurement, then third sides are equal in length. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgsas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgsas.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgsas.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgsas.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgsas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgsas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgsas.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgsas.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgsas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgsas.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgsas.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
tgsas.3	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgsas1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

Proof of Theorem tgsas1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgsas.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgsas.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgsas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgsas.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgsas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tgsas.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		tgsas.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		tgsas.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
10		tgsas.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		tgsas.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12		tgsas.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13	1, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12	cgrane1 29320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
14	1, 3, 9, 5, 5, 10, 4, 13	hlid 29076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
15	1, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12	cgrane2 29321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
16	15	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
17	1, 3, 9, 6, 5, 10, 4, 16	hlid 29076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
18		tgsas.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 5, 10, 7, 11, 18	tgcgrcomlr 28943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
20		tgsas.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
21	1, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12, 5, 2, 6, 14, 17, 19, 20	cgracgr 29326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21	tgcgrcomlr 28943	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  hlGchlg 29064  cgrAccgra 29315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-leg 29047  df-hlg 29065  df-cgra 29316

This theorem is used by:  tgsas  29401  tgsas2  29402  tgsas3  29403