MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgsas1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgsas1 25955
Description: First congruence theorem: SAS (Side-Angle-Side): If two pairs of sides of two triangles are equal in length, and the included angles are equal in measurement, then third sides are equal in length. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tgsas.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgsas.m = (dist‘𝐺)
tgsas.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgsas.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a (𝜑𝐴𝑃)
tgsas.b (𝜑𝐵𝑃)
tgsas.c (𝜑𝐶𝑃)
tgsas.d (𝜑𝐷𝑃)
tgsas.e (𝜑𝐸𝑃)
tgsas.f (𝜑𝐹𝑃)
tgsas.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
tgsas.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
tgsas.3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgsas1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))

Proof of Theorem tgsas1
StepHypRef Expression
1 tgsas.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgsas.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tgsas.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgsas.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgsas.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tgsas.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
7 tgsas.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
8 tgsas.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
9 eqid 2771 . . 3 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
10 tgsas.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
11 tgsas.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
12 tgsas.2 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
131, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12cgrane1 25924 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
141, 3, 9, 5, 5, 10, 4, 13hlid 25724 . . 3 (𝜑𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
151, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12cgrane2 25925 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
1615necomd 2998 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
171, 3, 9, 6, 5, 10, 4, 16hlid 25724 . . 3 (𝜑𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
18 tgsas.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
191, 2, 3, 4, 5, 10, 7, 11, 18tgcgrcomlr 25595 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
20 tgsas.3 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
211, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12, 5, 2, 6, 14, 17, 19, 20cgracgr 25930 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21tgcgrcomlr 25595 1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  ⟨“cs3 13795  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  hlGchlg 25715  cgrAccgra 25919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-hlg 25716  df-cgra 25920
This theorem is referenced by:  tgsas  25956
  Copyright terms: Public domain W3C validator