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Theorem cgracgr 27802
Description: First direction of proposition 11.4 of [Schwabhauser] p. 95. Again, this is "half" of the proposition, i.e. only two additional points are used, while Schwabhauser has four. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iscgra.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
iscgra.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
iscgra.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
iscgra.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
iscgra.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgrahl1.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgrahl1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
cgracgr.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracgr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
cgracgr.1 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΅)𝐴)
cgracgr.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝐢)
cgracgr.3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
cgracgr.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
cgracgr (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem cgracgr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2737 . . 3 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
3 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 iscgra.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 iscgra.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 iscgra.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgrahl1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
12 eqid 2737 . . 3 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
13 simpllr 775 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
14 iscgra.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1514ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
16 cgracgr.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
17 cgracgr.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1817ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
19 iscgra.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2019ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
21 iscgra.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2221ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
23 iscgra.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
24 cgracgr.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΅)𝐴)
251, 3, 23, 10, 6, 8, 4, 24hlne2 27590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
2625necomd 3000 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
271, 3, 23, 10, 6, 8, 4, 2, 24hlln 27591 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
281, 3, 2, 4, 8, 6, 10, 26, 27lncom 27606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐡(LineGβ€˜πΊ)𝐴))
2928orcd 872 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐡(LineGβ€˜πΊ)𝐴) ∨ 𝐡 = 𝐴))
301, 2, 3, 4, 8, 6, 10, 29colrot1 27543 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(LineGβ€˜πΊ)𝑋) ∨ 𝐴 = 𝑋))
3130ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(LineGβ€˜πΊ)𝑋) ∨ 𝐴 = 𝑋))
32 iscgra.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
3332ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
34 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
35 simpr1 1195 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ©)
361, 16, 3, 12, 5, 7, 9, 33, 13, 15, 34, 35cgr3simp1 27504 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (π‘₯ βˆ’ 𝐸))
37 cgracgr.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
3837ad3antrrr 729 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
39 eqid 2737 . . . . . . 7 (≀Gβ€˜πΊ) = (≀Gβ€˜πΊ)
40 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
411, 3, 23, 13, 20, 15, 5ishlg 27586 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ↔ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯))))
4342simp3d 1145 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))
441, 3, 23, 10, 6, 8, 4ishlg 27586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋(πΎβ€˜π΅)𝐴 ↔ (𝑋 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋)))))
4524, 44mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋))))
4645simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋)))
4746orcomd 870 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
4847ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
4936eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐸) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
501, 16, 3, 5, 13, 15, 7, 9, 49tgcgrcomlr 27464 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5138eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐷) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
521, 16, 3, 39, 5, 15, 13, 20, 9, 9, 7, 11, 43, 48, 50, 51tgcgrsub2 27579 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐷) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
5352eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (π‘₯ βˆ’ 𝐷))
541, 16, 3, 5, 7, 11, 13, 20, 53tgcgrcomlr 27464 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝐷 βˆ’ π‘₯))
551, 16, 12, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 20, 36, 38, 54trgcgr 27500 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅π‘‹β€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ·β€βŸ©)
56 cgracgr.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝐢)
571, 3, 23, 17, 32, 8, 4, 2, 56hlln 27591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
5857orcd 872 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∨ 𝐢 = 𝐡))
591, 2, 3, 4, 32, 8, 17, 58colrot1 27543 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐡(LineGβ€˜πΊ)π‘Œ) ∨ 𝐡 = π‘Œ))
6059ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡(LineGβ€˜πΊ)π‘Œ) ∨ 𝐡 = π‘Œ))
611, 16, 3, 12, 5, 7, 9, 33, 13, 15, 34, 35cgr3simp2 27505 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝑦))
621, 3, 23, 17, 32, 8, 4ishlg 27586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝐢 ↔ (π‘Œ β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ (π‘Œ ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (π΅πΌπ‘Œ)))))
6356, 62mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ (π‘Œ ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (π΅πΌπ‘Œ))))
6463simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (π΅πΌπ‘Œ)))
6564orcomd 870 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (π΅πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
6665ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢 ∈ (π΅πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
67 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
681, 3, 23, 34, 22, 15, 5ishlg 27586 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
6967, 68mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
7069simp3d 1145 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
71 cgracgr.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
7271ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
731, 16, 3, 39, 5, 9, 33, 18, 15, 15, 34, 22, 66, 70, 61, 72tgcgrsub2 27579 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘Œ) = (𝑦 βˆ’ 𝐹))
741, 16, 3, 5, 9, 18, 15, 22, 72tgcgrcomlr 27464 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐡) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
751, 16, 12, 5, 9, 33, 18, 15, 34, 22, 61, 73, 74trgcgr 27500 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΅πΆπ‘Œβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΈπ‘¦πΉβ€βŸ©)
7650eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ π‘₯))
771, 16, 3, 12, 5, 7, 9, 33, 13, 15, 34, 35cgr3simp3 27506 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑦 βˆ’ π‘₯))
78 cgrahl1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
791, 3, 23, 4, 6, 8, 32, 19, 14, 21, 78cgrane2 27797 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
8079ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
811, 2, 3, 5, 9, 33, 18, 12, 15, 34, 16, 7, 22, 13, 60, 75, 76, 77, 80tgfscgr 27552 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ π‘₯))
821, 16, 3, 5, 18, 7, 22, 13, 81tgcgrcomlr 27464 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Œ) = (π‘₯ βˆ’ 𝐹))
8325ad3antrrr 729 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
841, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 31, 55, 82, 72, 83tgfscgr 27552 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
851, 3, 23, 4, 6, 8, 32, 19, 14, 21iscgra 27793 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
8678, 85mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
8784, 86r19.29vva 3208 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  cgrGccgrg 27494  β‰€Gcleg 27566  hlGchlg 27584  cgrAccgra 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-cgra 27792
This theorem is referenced by:  cgracom  27806  cgratr  27807  dfcgra2  27814  tgsas1  27838  tgasa1  27842
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