Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlperpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlperpnel 26522
 Description: A point on a half-line which is perpendicular to a line cannot be on that line. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlperpnel.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlperpnel.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlperpnel.1 (𝜑𝑈𝐴)
hlperpnel.2 (𝜑𝑉𝑃)
hlperpnel.3 (𝜑𝑊𝑃)
hlperpnel.4 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
hlperpnel.5 (𝜑𝑉(𝐾𝑈)𝑊)
Assertion
Ref Expression
hlperpnel (𝜑 → ¬ 𝑊𝐴)

Proof of Theorem hlperpnel
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 hlperpnel.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
7 hlperpnel.1 . 2 (𝜑𝑈𝐴)
8 hlperpnel.3 . 2 (𝜑𝑊𝑃)
91, 4, 3, 5, 6, 7tglnpt 26346 . . . 4 (𝜑𝑈𝑃)
10 hlperpnel.2 . . . 4 (𝜑𝑉𝑃)
11 hlperpnel.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
124, 5, 11perpln2 26508 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) ∈ ran 𝐿)
131, 3, 4, 5, 9, 10, 12tglnne 26425 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
14 hlperpnel.k . . . . 5 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15 hlperpnel.5 . . . . 5 (𝜑𝑉(𝐾𝑈)𝑊)
161, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 15hlne2 26403 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
171, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 4, 15hlln 26404 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑈))
181, 3, 4, 5, 9, 10, 8, 13, 17, 16lnrot1 26420 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ (𝑈𝐿𝑉))
191, 3, 4, 5, 9, 10, 13, 8, 16, 18tglineelsb2 26429 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑈𝐿𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 11perpcom 26510 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2119, 20eqbrtrrd 5076 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑊)(⟂G‘𝐺)𝐴)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21footne 26520 1 (𝜑 → ¬ 𝑊𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  LineGclng 26234  hlGchlg 26397  ⟂Gcperpg 26492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308  df-hlg 26398  df-mir 26450  df-rag 26491  df-perpg 26493 This theorem is referenced by:  opphllem5  26548
 Copyright terms: Public domain W3C validator