MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlperpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlperpnel 28652
Description: A point on a half-line which is perpendicular to a line cannot be on that line. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlperpnel.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlperpnel.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlperpnel.1 (𝜑𝑈𝐴)
hlperpnel.2 (𝜑𝑉𝑃)
hlperpnel.3 (𝜑𝑊𝑃)
hlperpnel.4 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
hlperpnel.5 (𝜑𝑉(𝐾𝑈)𝑊)
Assertion
Ref Expression
hlperpnel (𝜑 → ¬ 𝑊𝐴)

Proof of Theorem hlperpnel
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 hlperpnel.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
7 hlperpnel.1 . 2 (𝜑𝑈𝐴)
8 hlperpnel.3 . 2 (𝜑𝑊𝑃)
91, 4, 3, 5, 6, 7tglnpt 28476 . . . 4 (𝜑𝑈𝑃)
10 hlperpnel.2 . . . 4 (𝜑𝑉𝑃)
11 hlperpnel.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
124, 5, 11perpln2 28638 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) ∈ ran 𝐿)
131, 3, 4, 5, 9, 10, 12tglnne 28555 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
14 hlperpnel.k . . . . 5 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15 hlperpnel.5 . . . . 5 (𝜑𝑉(𝐾𝑈)𝑊)
161, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 15hlne2 28533 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
171, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 4, 15hlln 28534 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑈))
181, 3, 4, 5, 9, 10, 8, 13, 17, 16lnrot1 28550 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ (𝑈𝐿𝑉))
191, 3, 4, 5, 9, 10, 13, 8, 16, 18tglineelsb2 28559 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑈𝐿𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 11perpcom 28640 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2119, 20eqbrtrrd 5177 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐿𝑊)(⟂G‘𝐺)𝐴)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21footne 28650 1 (𝜑 → ¬ 𝑊𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  distcds 17275  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  hlGchlg 28527  ⟂Gcperpg 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-hlg 28528  df-mir 28580  df-rag 28621  df-perpg 28623
This theorem is referenced by:  opphllem5  28678
  Copyright terms: Public domain W3C validator