Theorem hlperpnel 26073

Description: A point on a half-line which is perpendicular to a line cannot be on that line. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlperpnel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlperpnel.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlperpnel.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
hlperpnel.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
hlperpnel.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
hlperpnel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
hlperpnel.5	⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hlperpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem hlperpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hlperpnel.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		hlperpnel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		hlperpnel.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
9	1, 4, 3, 5, 6, 7	tglnpt 25900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10		hlperpnel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
11		hlperpnel.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
12	4, 5, 11	perpln2 26062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) ∈ ran 𝐿)
13	1, 3, 4, 5, 9, 10, 12	tglnne 25979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		hlperpnel.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)
15		hlperpnel.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
16	1, 3, 15, 10, 8, 9, 5	ishlg 25953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊 ↔ (𝑉 ≠ 𝑈 ∧ 𝑊 ≠ 𝑈 ∧ (𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊) ∨ 𝑊 ∈ (𝑈𝐼𝑉)))))
17	14, 16	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ≠ 𝑈 ∧ 𝑊 ≠ 𝑈 ∧ (𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊) ∨ 𝑊 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
18	17	simp2d 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑈)
19	1, 3, 15, 10, 8, 9, 5, 4, 14	hlln 25958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑈))
20	1, 3, 4, 5, 9, 10, 8, 13, 19, 18	lnrot1 25974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑈𝐿𝑉))
21	1, 3, 4, 5, 9, 10, 13, 8, 18, 20	tglineelsb2 25983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑈𝐿𝑊))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 11	perpcom 26064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉)(⟂G‘𝐺)𝐴)
23	21, 22	eqbrtrrd 4910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑊)(⟂G‘𝐺)𝐴)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 23	footne 26071	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  hlGchlg 25951  ⟂Gcperpg 26046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-hlg 25952  df-mir 26004  df-rag 26045  df-perpg 26047

This theorem is referenced by:  opphllem5  26099