Theorem hlperpnel 28733

Description: A point on a half-line which is perpendicular to a line cannot be on that line. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlperpnel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlperpnel.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlperpnel.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
hlperpnel.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
hlperpnel.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
hlperpnel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
hlperpnel.5	⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hlperpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem hlperpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hlperpnel.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		hlperpnel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		hlperpnel.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
9	1, 4, 3, 5, 6, 7	tglnpt 28557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10		hlperpnel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
11		hlperpnel.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
12	4, 5, 11	perpln2 28719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) ∈ ran 𝐿)
13	1, 3, 4, 5, 9, 10, 12	tglnne 28636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		hlperpnel.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15		hlperpnel.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)
16	1, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 15	hlne2 28614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑈)
17	1, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 4, 15	hlln 28615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑈))
18	1, 3, 4, 5, 9, 10, 8, 13, 17, 16	lnrot1 28631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑈𝐿𝑉))
19	1, 3, 4, 5, 9, 10, 13, 8, 16, 18	tglineelsb2 28640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑈𝐿𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 11	perpcom 28721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉)(⟂G‘𝐺)𝐴)
21	19, 20	eqbrtrrd 5167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑊)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21	footne 28731	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608  ⟂Gcperpg 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-hlg 28609  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704

This theorem is referenced by:  opphllem5  28759