Theorem hlperpnel 28881

Description: A point on a half-line which is perpendicular to a line cannot be on that line. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlperpnel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlperpnel.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlperpnel.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
hlperpnel.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
hlperpnel.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
hlperpnel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
hlperpnel.5	⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hlperpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem hlperpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hlperpnel.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		hlperpnel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		hlperpnel.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
9	1, 4, 3, 5, 6, 7	tglnpt 28705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10		hlperpnel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
11		hlperpnel.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑈𝐿𝑉))
12	4, 5, 11	perpln2 28867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) ∈ ran 𝐿)
13	1, 3, 4, 5, 9, 10, 12	tglnne 28784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		hlperpnel.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15		hlperpnel.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉(𝐾‘𝑈)𝑊)
16	1, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 15	hlne2 28762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑈)
17	1, 3, 14, 10, 8, 9, 5, 4, 15	hlln 28763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑈))
18	1, 3, 4, 5, 9, 10, 8, 13, 17, 16	lnrot1 28779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑈𝐿𝑉))
19	1, 3, 4, 5, 9, 10, 13, 8, 16, 18	tglineelsb2 28788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑈𝐿𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 11	perpcom 28869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉)(⟂G‘𝐺)𝐴)
21	19, 20	eqbrtrrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑊)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21	footne 28879	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ran crn 5644  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  distcds 17285  TarskiGcstrkg 28583  Itvcitv 28589  LineGclng 28590  hlGchlg 28756  ⟂Gcperpg 28851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-s2 14854  df-s3 14855  df-trkgc 28604  df-trkgb 28605  df-trkgcb 28606  df-trkg 28609  df-cgrg 28667  df-hlg 28757  df-mir 28809  df-rag 28850  df-perpg 28852

This theorem is referenced by:  opphllem5  28907