Theorem cntop1 23380

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23378	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ∪ cuni 4877  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ⟶wf 6536  (class class class)co 7414  Topctop 23033   Cn ccn 23364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-top 23034  df-topon 23051  df-cn 23367

This theorem is referenced by:  cnco  23406  cnclima  23408  cnntri  23411  cnclsi  23412  cnss2  23417  cncnpi  23418  cncnp2  23421  cnrest  23425  cnrest2  23426  cnrest2r  23427  lmcn  23445  cnt0  23486  cnt1  23490  cnhaus  23494  kgen2cn  23699  txcnmpt  23764  uptx  23765  txcn  23766  xkoco1cn  23797  xkoco2cn  23798  xkococnlem  23799  cnmpt21f  23812  qtopss  23855  qtopomap  23858  qtopcmap  23859  hmeofval  23898  hmeof1o  23904  hmeores  23911  hmphen  23925  txhmeo  23943  htpyco2  25121  hauseqcn  34258  cnmbfm  34623  hausgraph  43884  rfcnpre1  45691  fcnre  45697  cnneiima  49644