Theorem cntop1 21842

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21840	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∪ cuni 4831  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552  ⟶wf 6345  (class class class)co 7150  Topctop 21495   Cn ccn 21826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-top 21496  df-topon 21513  df-cn 21829

This theorem is referenced by:  cnco  21868  cnclima  21870  cnntri  21873  cnclsi  21874  cnss2  21879  cncnpi  21880  cncnp2  21883  cnrest  21887  cnrest2  21888  cnrest2r  21889  lmcn  21907  cnt0  21948  cnt1  21952  cnhaus  21956  kgen2cn  22161  txcnmpt  22226  uptx  22227  txcn  22228  xkoco1cn  22259  xkoco2cn  22260  xkococnlem  22261  cnmpt21f  22274  qtopss  22317  qtopomap  22320  qtopcmap  22321  hmeofval  22360  hmeof1o  22366  hmeores  22373  hmphen  22387  txhmeo  22405  htpyco2  23577  hauseqcn  31133  cnmbfm  31516  hausgraph  39805  rfcnpre1  41269  fcnre  41275