Theorem cntop1 23227

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23225	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∪ cuni 4841  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ⟶wf 6485  (class class class)co 7360  Topctop 22880   Cn ccn 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22881  df-topon 22898  df-cn 23214

This theorem is referenced by:  cnco  23253  cnclima  23255  cnntri  23258  cnclsi  23259  cnss2  23264  cncnpi  23265  cncnp2  23268  cnrest  23272  cnrest2  23273  cnrest2r  23274  lmcn  23292  cnt0  23333  cnt1  23337  cnhaus  23341  kgen2cn  23546  txcnmpt  23611  uptx  23612  txcn  23613  xkoco1cn  23644  xkoco2cn  23645  xkococnlem  23646  cnmpt21f  23659  qtopss  23702  qtopomap  23705  qtopcmap  23706  hmeofval  23745  hmeof1o  23751  hmeores  23758  hmphen  23772  txhmeo  23790  htpyco2  24968  hauseqcn  34094  cnmbfm  34459  hausgraph  43665  rfcnpre1  45482  fcnre  45488  cnneiima  49421