Theorem cntop1 23161

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23159	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Topctop 22814   Cn ccn 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22815  df-topon 22832  df-cn 23148

This theorem is referenced by:  cnco  23187  cnclima  23189  cnntri  23192  cnclsi  23193  cnss2  23198  cncnpi  23199  cncnp2  23202  cnrest  23206  cnrest2  23207  cnrest2r  23208  lmcn  23226  cnt0  23267  cnt1  23271  cnhaus  23275  kgen2cn  23480  txcnmpt  23545  uptx  23546  txcn  23547  xkoco1cn  23578  xkoco2cn  23579  xkococnlem  23580  cnmpt21f  23593  qtopss  23636  qtopomap  23639  qtopcmap  23640  hmeofval  23679  hmeof1o  23685  hmeores  23692  hmphen  23706  txhmeo  23724  htpyco2  24912  hauseqcn  33882  cnmbfm  34248  hausgraph  43188  rfcnpre1  45007  fcnre  45013  cnneiima  48899