Theorem cntop1 23269

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  Topctop 22920   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  cnco  23295  cnclima  23297  cnntri  23300  cnclsi  23301  cnss2  23306  cncnpi  23307  cncnp2  23310  cnrest  23314  cnrest2  23315  cnrest2r  23316  lmcn  23334  cnt0  23375  cnt1  23379  cnhaus  23383  kgen2cn  23588  txcnmpt  23653  uptx  23654  txcn  23655  xkoco1cn  23686  xkoco2cn  23687  xkococnlem  23688  cnmpt21f  23701  qtopss  23744  qtopomap  23747  qtopcmap  23748  hmeofval  23787  hmeof1o  23793  hmeores  23800  hmphen  23814  txhmeo  23832  htpyco2  25030  hauseqcn  33844  cnmbfm  34228  hausgraph  43166  rfcnpre1  44919  fcnre  44925  cnneiima  48596