Theorem cntop1 23186

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23184	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∪ cuni 4862  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ⟶wf 6487  (class class class)co 7358  Topctop 22839   Cn ccn 23170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8767  df-top 22840  df-topon 22857  df-cn 23173

This theorem is referenced by:  cnco  23212  cnclima  23214  cnntri  23217  cnclsi  23218  cnss2  23223  cncnpi  23224  cncnp2  23227  cnrest  23231  cnrest2  23232  cnrest2r  23233  lmcn  23251  cnt0  23292  cnt1  23296  cnhaus  23300  kgen2cn  23505  txcnmpt  23570  uptx  23571  txcn  23572  xkoco1cn  23603  xkoco2cn  23604  xkococnlem  23605  cnmpt21f  23618  qtopss  23661  qtopomap  23664  qtopcmap  23665  hmeofval  23704  hmeof1o  23710  hmeores  23717  hmphen  23731  txhmeo  23749  htpyco2  24936  hauseqcn  34034  cnmbfm  34399  hausgraph  43484  rfcnpre1  45301  fcnre  45307  cnneiima  49199