Theorem cntop1 23427

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23425	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∪ cuni 4877  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ⟶wf 6539  (class class class)co 7423  Topctop 23080   Cn ccn 23411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-top 23081  df-topon 23098  df-cn 23414

This theorem is used by:  cnco  23453  cnclima  23455  cnntri  23458  cnclsi  23459  cnss2  23464  cncnpi  23465  cncnp2  23468  cnrest  23472  cnrest2  23473  cnrest2r  23474  lmcn  23492  cnt0  23533  cnt1  23537  cnhaus  23541  kgen2cn  23746  txcnmpt  23811  uptx  23812  txcn  23813  xkoco1cn  23844  xkoco2cn  23845  xkococnlem  23846  cnmpt21f  23859  qtopss  23902  qtopomap  23905  qtopcmap  23906  hmeofval  23945  hmeof1o  23951  hmeores  23958  hmphen  23972  txhmeo  23990  htpyco2  25168  hauseqcn  34312  cnmbfm  34677  hausgraph  43965  rfcnpre1  45772  fcnre  45778  cnneiima  49728