MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntop1 21847
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2821 . . . 4 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 21845 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simplbi 500 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
54simpld 497 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2110  wral 3138   cuni 4837  ccnv 5553  cima 5557  wf 6350  (class class class)co 7155  Topctop 21500   Cn ccn 21831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8407  df-top 21501  df-topon 21518  df-cn 21834
This theorem is referenced by:  cnco  21873  cnclima  21875  cnntri  21878  cnclsi  21879  cnss2  21884  cncnpi  21885  cncnp2  21888  cnrest  21892  cnrest2  21893  cnrest2r  21894  lmcn  21912  cnt0  21953  cnt1  21957  cnhaus  21961  kgen2cn  22166  txcnmpt  22231  uptx  22232  txcn  22233  xkoco1cn  22264  xkoco2cn  22265  xkococnlem  22266  cnmpt21f  22279  qtopss  22322  qtopomap  22325  qtopcmap  22326  hmeofval  22365  hmeof1o  22371  hmeores  22378  hmphen  22392  txhmeo  22410  htpyco2  23582  hauseqcn  31138  cnmbfm  31521  hausgraph  39812  rfcnpre1  41276  fcnre  41282
  Copyright terms: Public domain W3C validator