Theorem cntop1 22004

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22002	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∪ cuni 4806  ^◡ccnv 5534   “ cima 5538  ⟶wf 6346  (class class class)co 7183  Topctop 21657   Cn ccn 21988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-map 8452  df-top 21658  df-topon 21675  df-cn 21991

This theorem is referenced by:  cnco  22030  cnclima  22032  cnntri  22035  cnclsi  22036  cnss2  22041  cncnpi  22042  cncnp2  22045  cnrest  22049  cnrest2  22050  cnrest2r  22051  lmcn  22069  cnt0  22110  cnt1  22114  cnhaus  22118  kgen2cn  22323  txcnmpt  22388  uptx  22389  txcn  22390  xkoco1cn  22421  xkoco2cn  22422  xkococnlem  22423  cnmpt21f  22436  qtopss  22479  qtopomap  22482  qtopcmap  22483  hmeofval  22522  hmeof1o  22528  hmeores  22535  hmphen  22549  txhmeo  22567  htpyco2  23744  hauseqcn  31433  cnmbfm  31813  hausgraph  40650  rfcnpre1  42141  fcnre  42147  cnneiima  45780