Theorem cntop1 23161

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23159	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∪ cuni 4858  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6483  (class class class)co 7352  Topctop 22814   Cn ccn 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8758  df-top 22815  df-topon 22832  df-cn 23148

This theorem is referenced by:  cnco  23187  cnclima  23189  cnntri  23192  cnclsi  23193  cnss2  23198  cncnpi  23199  cncnp2  23202  cnrest  23206  cnrest2  23207  cnrest2r  23208  lmcn  23226  cnt0  23267  cnt1  23271  cnhaus  23275  kgen2cn  23480  txcnmpt  23545  uptx  23546  txcn  23547  xkoco1cn  23578  xkoco2cn  23579  xkococnlem  23580  cnmpt21f  23593  qtopss  23636  qtopomap  23639  qtopcmap  23640  hmeofval  23679  hmeof1o  23685  hmeores  23692  hmphen  23706  txhmeo  23724  htpyco2  24911  hauseqcn  33918  cnmbfm  34283  hausgraph  43303  rfcnpre1  45121  fcnre  45127  cnneiima  49022