Theorem cntop1 22744

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22742	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∪ cuni 4909  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  Topctop 22395   Cn ccn 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731

This theorem is referenced by:  cnco  22770  cnclima  22772  cnntri  22775  cnclsi  22776  cnss2  22781  cncnpi  22782  cncnp2  22785  cnrest  22789  cnrest2  22790  cnrest2r  22791  lmcn  22809  cnt0  22850  cnt1  22854  cnhaus  22858  kgen2cn  23063  txcnmpt  23128  uptx  23129  txcn  23130  xkoco1cn  23161  xkoco2cn  23162  xkococnlem  23163  cnmpt21f  23176  qtopss  23219  qtopomap  23222  qtopcmap  23223  hmeofval  23262  hmeof1o  23268  hmeores  23275  hmphen  23289  txhmeo  23307  htpyco2  24495  hauseqcn  32909  cnmbfm  33293  hausgraph  42002  rfcnpre1  43751  fcnre  43757  cnneiima  47597