Theorem cntop1 23302

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23300	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5648   “ cima 5652  ⟶wf 6519  (class class class)co 7398  Topctop 22955   Cn ccn 23286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-top 22956  df-topon 22973  df-cn 23289

This theorem is referenced by:  cnco  23328  cnclima  23330  cnntri  23333  cnclsi  23334  cnss2  23339  cncnpi  23340  cncnp2  23343  cnrest  23347  cnrest2  23348  cnrest2r  23349  lmcn  23367  cnt0  23408  cnt1  23412  cnhaus  23416  kgen2cn  23621  txcnmpt  23686  uptx  23687  txcn  23688  xkoco1cn  23719  xkoco2cn  23720  xkococnlem  23721  cnmpt21f  23734  qtopss  23777  qtopomap  23780  qtopcmap  23781  hmeofval  23820  hmeof1o  23826  hmeores  23833  hmphen  23847  txhmeo  23865  htpyco2  25043  hauseqcn  34197  cnmbfm  34562  hausgraph  43787  rfcnpre1  45604  fcnre  45610  cnneiima  49543