Theorem cntop1 23201

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23199	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  ⟶wf 6498  (class class class)co 7370  Topctop 22854   Cn ccn 23185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-map 8779  df-top 22855  df-topon 22872  df-cn 23188

This theorem is referenced by:  cnco  23227  cnclima  23229  cnntri  23232  cnclsi  23233  cnss2  23238  cncnpi  23239  cncnp2  23242  cnrest  23246  cnrest2  23247  cnrest2r  23248  lmcn  23266  cnt0  23307  cnt1  23311  cnhaus  23315  kgen2cn  23520  txcnmpt  23585  uptx  23586  txcn  23587  xkoco1cn  23618  xkoco2cn  23619  xkococnlem  23620  cnmpt21f  23633  qtopss  23676  qtopomap  23679  qtopcmap  23680  hmeofval  23719  hmeof1o  23725  hmeores  23732  hmphen  23746  txhmeo  23764  htpyco2  24951  hauseqcn  34082  cnmbfm  34447  hausgraph  43591  rfcnpre1  45408  fcnre  45414  cnneiima  49305