Theorem cntop1 23408

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23406	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412  Topctop 23061   Cn ccn 23392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cn 23395

This theorem is used by:  cnco  23434  cnclima  23436  cnntri  23439  cnclsi  23440  cnss2  23445  cncnpi  23446  cncnp2  23449  cnrest  23453  cnrest2  23454  cnrest2r  23455  lmcn  23473  cnt0  23514  cnt1  23518  cnhaus  23522  kgen2cn  23727  txcnmpt  23792  uptx  23793  txcn  23794  xkoco1cn  23825  xkoco2cn  23826  xkococnlem  23827  cnmpt21f  23840  qtopss  23883  qtopomap  23886  qtopcmap  23887  hmeofval  23926  hmeof1o  23932  hmeores  23939  hmphen  23953  txhmeo  23971  htpyco2  25149  hauseqcn  34297  cnmbfm  34662  hausgraph  43960  rfcnpre1  45767  fcnre  45773  cnneiima  49723