Theorem cntop1 23466

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23464	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416  Topctop 23119   Cn ccn 23450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453

This theorem is used by:  cnco  23492  cnclima  23494  cnntri  23497  cnclsi  23498  cnss2  23503  cncnpi  23504  cncnp2  23507  cnrest  23511  cnrest2  23512  cnrest2r  23513  lmcn  23531  cnt0  23572  cnt1  23576  cnhaus  23580  kgen2cn  23786  txcnmpt  23851  uptx  23852  txcn  23853  xkoco1cn  23884  xkoco2cn  23885  xkococnlem  23886  cnmpt21f  23899  qtopss  23942  qtopomap  23945  qtopcmap  23946  hmeofval  23985  hmeof1o  23991  hmeores  23998  hmphen  24012  txhmeo  24030  htpyco2  25208  hauseqcn  34395  cnmbfm  34761  hausgraph  44033  rfcnpre1  45840  fcnre  45846  cnneiima  49830