Theorem cntop1 22628

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22626	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6497  (class class class)co 7362  Topctop 22279   Cn ccn 22612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-top 22280  df-topon 22297  df-cn 22615

This theorem is referenced by:  cnco  22654  cnclima  22656  cnntri  22659  cnclsi  22660  cnss2  22665  cncnpi  22666  cncnp2  22669  cnrest  22673  cnrest2  22674  cnrest2r  22675  lmcn  22693  cnt0  22734  cnt1  22738  cnhaus  22742  kgen2cn  22947  txcnmpt  23012  uptx  23013  txcn  23014  xkoco1cn  23045  xkoco2cn  23046  xkococnlem  23047  cnmpt21f  23060  qtopss  23103  qtopomap  23106  qtopcmap  23107  hmeofval  23146  hmeof1o  23152  hmeores  23159  hmphen  23173  txhmeo  23191  htpyco2  24379  hauseqcn  32568  cnmbfm  32952  hausgraph  41597  rfcnpre1  43346  fcnre  43352  cnneiima  47069