Theorem cntop1 23134

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23132	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390  Topctop 22787   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  cnco  23160  cnclima  23162  cnntri  23165  cnclsi  23166  cnss2  23171  cncnpi  23172  cncnp2  23175  cnrest  23179  cnrest2  23180  cnrest2r  23181  lmcn  23199  cnt0  23240  cnt1  23244  cnhaus  23248  kgen2cn  23453  txcnmpt  23518  uptx  23519  txcn  23520  xkoco1cn  23551  xkoco2cn  23552  xkococnlem  23553  cnmpt21f  23566  qtopss  23609  qtopomap  23612  qtopcmap  23613  hmeofval  23652  hmeof1o  23658  hmeores  23665  hmphen  23679  txhmeo  23697  htpyco2  24885  hauseqcn  33895  cnmbfm  34261  hausgraph  43201  rfcnpre1  45020  fcnre  45026  cnneiima  48909