Theorem cntop1 23505

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  ⟶wf 6524  (class class class)co 7409  Topctop 23158   Cn ccn 23489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-top 23159  df-topon 23176  df-cn 23492

This theorem is used by:  cnco  23531  cnclima  23533  cnntri  23536  cnclsi  23537  cnss2  23542  cncnpi  23543  cncnp2  23546  cnrest  23550  cnrest2  23551  cnrest2r  23552  lmcn  23570  cnt0  23611  cnt1  23615  cnhaus  23619  kgen2cn  23825  txcnmpt  23890  uptx  23891  txcn  23892  xkoco1cn  23923  xkoco2cn  23924  xkococnlem  23925  cnmpt21f  23938  qtopss  23981  qtopomap  23984  qtopcmap  23985  hmeofval  24024  hmeof1o  24030  hmeores  24037  hmphen  24051  txhmeo  24069  htpyco2  25247  hauseqcn  34449  cnmbfm  34815  hausgraph  44144  rfcnpre1  45951  fcnre  45957  cnneiima  49941