HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho2times Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ho2times 31649
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho2times (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Proof of Theorem ho2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12313 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7436 . . 3 (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 + 1) ยทop ๐‘‡)
3 ax-1cn 11204 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 hoadddir 31634 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
53, 3, 4mp3an12 1447 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
62, 5eqtrid 2780 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
7 hoadddi 31633 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
83, 7mp3an1 1444 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
98anidms 565 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
10 hoaddcl 31588 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
1110anidms 565 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
12 homullid 31630 . . 3 ((๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
1311, 12syl 17 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
146, 9, 133eqtr2d 2774 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸถwf 6549  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  1c1 11147   + caddc 11149  2c2 12305   โ„‹chba 30749   +op chos 30768   ยทop chot 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-2 12313  df-hosum 31560  df-homul 31561
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31975
  Copyright terms: Public domain W3C validator