HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho2times Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ho2times 31059
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho2times (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Proof of Theorem ho2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12271 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7415 . . 3 (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 + 1) ยทop ๐‘‡)
3 ax-1cn 11164 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 hoadddir 31044 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
53, 3, 4mp3an12 1451 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
62, 5eqtrid 2784 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
7 hoadddi 31043 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
83, 7mp3an1 1448 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
98anidms 567 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
10 hoaddcl 30998 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
1110anidms 567 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
12 homullid 31040 . . 3 ((๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
1311, 12syl 17 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
146, 9, 133eqtr2d 2778 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸถwf 6536  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109  2c2 12263   โ„‹chba 30159   +op chos 30178   ยทop chot 30179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-2 12271  df-hosum 30970  df-homul 30971
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator