Theorem ho2times 31838

Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho2times	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Proof of Theorem ho2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12329	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (2 ·op 𝑇) = ((1 + 1) ·op 𝑇)
3		ax-1cn 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		hoadddir 31823	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
6	2, 5	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
7		hoadddi 31822	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
8	3, 7	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
10		hoaddcl 31777	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11	10	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
12		homullid 31819	. . 3 ⊢ ((𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2783	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321   ℋchba 30938   +_op chos 30957   ·_op chot 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-2 12329  df-hosum 31749  df-homul 31750

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  32164