HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho2times Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ho2times 31581
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho2times (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Proof of Theorem ho2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12279 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7415 . . 3 (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 + 1) ยทop ๐‘‡)
3 ax-1cn 11170 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 hoadddir 31566 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
53, 3, 4mp3an12 1447 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
62, 5eqtrid 2778 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
7 hoadddi 31565 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
83, 7mp3an1 1444 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
98anidms 566 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = ((1 ยทop ๐‘‡) +op (1 ยทop ๐‘‡)))
10 hoaddcl 31520 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
1110anidms 566 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
12 homullid 31562 . . 3 ((๐‘‡ +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
1311, 12syl 17 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop (๐‘‡ +op ๐‘‡)) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
146, 9, 133eqtr2d 2772 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (2 ยทop ๐‘‡) = (๐‘‡ +op ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸถwf 6533  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  2c2 12271   โ„‹chba 30681   +op chos 30700   ยทop chot 30701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-2 12279  df-hosum 31492  df-homul 31493
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31907
  Copyright terms: Public domain W3C validator