Theorem ho2times 29596

Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho2times	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Proof of Theorem ho2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11701	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7166	. . 3 ⊢ (2 ·op 𝑇) = ((1 + 1) ·op 𝑇)
3		ax-1cn 10595	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		hoadddir 29581	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1447	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
6	2, 5	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
7		hoadddi 29580	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
8	3, 7	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
9	8	anidms 569	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
10		hoaddcl 29535	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11	10	anidms 569	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
12		homulid2 29577	. . 3 ⊢ ((𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2862	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6351  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  1c1 10538   + caddc 10540  2c2 11693   ℋchba 28696   +_op chos 28715   ·_op chot 28716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulid 28783  ax-hvdistr1 28785  ax-hvdistr2 28786

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408  df-2 11701  df-hosum 29507  df-homul 29508

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29922