HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ho2times 31848
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho2times (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Proof of Theorem ho2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12327 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7441 . . 3 (2 ·op 𝑇) = ((1 + 1) ·op 𝑇)
3 ax-1cn 11211 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 hoadddir 31833 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
53, 3, 4mp3an12 1450 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
62, 5eqtrid 2787 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
7 hoadddi 31832 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
83, 7mp3an1 1447 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
98anidms 566 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
10 hoaddcl 31787 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
1110anidms 566 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
12 homullid 31829 . . 3 ((𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
1311, 12syl 17 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
146, 9, 133eqtr2d 2781 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  chba 30948   +op chos 30967   ·op chot 30968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-2 12327  df-hosum 31759  df-homul 31760
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  32174
  Copyright terms: Public domain W3C validator