![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ho2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ho2times | โข (๐: โโถ โ โ (2 ยทop ๐) = (๐ +op ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12271 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1 | oveq1i 7415 | . . 3 โข (2 ยทop ๐) = ((1 + 1) ยทop ๐) |
3 | ax-1cn 11164 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | hoadddir 31044 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ โง ๐: โโถ โ) โ ((1 + 1) ยทop ๐) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) | |
5 | 3, 3, 4 | mp3an12 1451 | . . 3 โข (๐: โโถ โ โ ((1 + 1) ยทop ๐) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) |
6 | 2, 5 | eqtrid 2784 | . 2 โข (๐: โโถ โ โ (2 ยทop ๐) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) |
7 | hoadddi 31043 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (1 ยทop (๐ +op ๐)) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) | |
8 | 3, 7 | mp3an1 1448 | . . 3 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (1 ยทop (๐ +op ๐)) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) |
9 | 8 | anidms 567 | . 2 โข (๐: โโถ โ โ (1 ยทop (๐ +op ๐)) = ((1 ยทop ๐) +op (1 ยทop ๐))) |
10 | hoaddcl 30998 | . . . 4 โข ((๐: โโถ โ โง ๐: โโถ โ) โ (๐ +op ๐): โโถ โ) | |
11 | 10 | anidms 567 | . . 3 โข (๐: โโถ โ โ (๐ +op ๐): โโถ โ) |
12 | homullid 31040 | . . 3 โข ((๐ +op ๐): โโถ โ โ (1 ยทop (๐ +op ๐)) = (๐ +op ๐)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐: โโถ โ โ (1 ยทop (๐ +op ๐)) = (๐ +op ๐)) |
14 | 6, 9, 13 | 3eqtr2d 2778 | 1 โข (๐: โโถ โ โ (2 ยทop ๐) = (๐ +op ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1541 โ wcel 2106 โถwf 6536 (class class class)co 7405 โcc 11104 1c1 11107 + caddc 11109 2c2 12263 โchba 30159 +op chos 30178 ยทop chot 30179 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-1cn 11164 ax-addcl 11166 ax-hilex 30239 ax-hfvadd 30240 ax-hfvmul 30245 ax-hvmulid 30246 ax-hvdistr1 30248 ax-hvdistr2 30249 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-map 8818 df-2 12271 df-hosum 30970 df-homul 30971 |
This theorem is referenced by: opsqrlem6 31385 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |