Theorem ho2times 30181

Description: Two times a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 26-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho2times	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Proof of Theorem ho2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12036	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (2 ·op 𝑇) = ((1 + 1) ·op 𝑇)
3		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		hoadddir 30166	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1450	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((1 + 1) ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
6	2, 5	eqtrid 2790	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
7		hoadddi 30165	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
8	3, 7	mp3an1 1447	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
9	8	anidms 567	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = ((1 ·op 𝑇) +op (1 ·op 𝑇)))
10		hoaddcl 30120	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11	10	anidms 567	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
12		homulid2 30162	. . 3 ⊢ ((𝑇 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op (𝑇 +op 𝑇)) = (𝑇 +op 𝑇))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (2 ·op 𝑇) = (𝑇 +op 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874  2c2 12028   ℋchba 29281   +_op chos 29300   ·_op chot 29301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-2 12036  df-hosum 30092  df-homul 30093

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  30507