Theorem hoaddcl 29189

Description: The sum of Hilbert space operators is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoaddcl	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hoaddcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6621	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
2	1	adantlr 705	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		ffvelrn 6621	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
4	3	adantll 704	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 28441	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
7	6	fmpttd 6649	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
8		hosmval 29166	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
9	8	feq1d 6276	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
10	7, 9	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ℋchba 28348   +_ℎ cva 28349   +_op chos 28367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-map 8142  df-hosum 29161

This theorem is referenced by:  hoaddcli  29199  hoadd4  29215  hoadddi  29234  hoadddir  29235  hosub4  29244  hoaddsubass  29246  ho2times  29250  hmops  29451  adjadd  29524  opsqrlem6  29576