Theorem hoaddcl 30116

Description: The sum of Hilbert space operators is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoaddcl	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hoaddcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6956	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
2	1	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		ffvelrn 6956	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
4	3	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 29370	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
7	6	fmpttd 6986	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
8		hosmval 30093	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
9	8	feq1d 6583	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
10	7, 9	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ℋchba 29277   +_ℎ cva 29278   +_op chos 29296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-map 8600  df-hosum 30088

This theorem is referenced by:  hoaddcli  30126  hoadd4  30142  hoadddi  30161  hoadddir  30162  hosub4  30171  hoaddsubass  30173  ho2times  30177  hmops  30378  adjadd  30451  opsqrlem6  30503