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Theorem cdj1i 32452
Description: Two ways to express "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj1i (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝑣,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 11728 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ≠ 0)
2 rereccl 11985 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
31, 2syldan 591 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
43adantrr 717 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
5 recgt0 12113 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 0 < (1 / 𝑤))
65adantrr 717 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → 0 < (1 / 𝑤))
7 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
8 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
9 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℂ
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵S
1110sheli 31233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
12 hvmulcl 31032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
139, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
14 normcl 31144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
17 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
188, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
2120sheli 31233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
22 hvsubcl 31036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 11, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
24 normcl 31144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
26 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2827anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
30 normge0 31145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐵 → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
32 addge01 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
338, 32mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
3433biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧))) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3515, 31, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐵 → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3635ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
37 shmulcl 31237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3810, 9, 37mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm𝑣) = (norm‘(-1 · 𝑧)))
4039oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → ((norm𝑦) + (norm𝑣)) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
41 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑦 + 𝑣) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
4241fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm‘(𝑦 + 𝑣)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4440, 43breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ↔ ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4544rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4746imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4847ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
49 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (norm𝑦) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5049eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((norm𝑦) = 1 → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5150ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
52 hvsubval 31035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5321, 11, 52syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5453fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
5554oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5655adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5848, 51, 573brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
597, 19, 29, 36, 58letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
6059ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
6160adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
62 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
6323adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
6463, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
6562, 64, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
66 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 0 < 𝑤)
67 lediv1 12133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
688, 67mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
6965, 62, 66, 68syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7061, 69sylibd 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7170imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤))
7225recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
7372adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
74 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
7574ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
761ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ≠ 0)
7773, 75, 76divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7971, 78breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))
8079exp43 436 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8180com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → (𝑧𝐵 → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8281ralrimdv 3152 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8382ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8483impr 454 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
854, 6, 84jca32 515 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8685ex 412 . . 3 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))))
87 breq2 5147 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (1 / 𝑤)))
88 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)) ↔ (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
8988imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
90892ralbidv 3221 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9187, 90anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = (1 / 𝑤) → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))) ↔ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9291rspcev 3622 . . 3 (((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9386, 92syl6 35 . 2 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9493rexlimiv 3148 1 (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  normcno 30942   cmv 30944   S csh 30947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990  df-sh 31226
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