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Theorem cdj1i 32462
Description: Two ways to express "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj1i (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝑣,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 11726 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ≠ 0)
2 rereccl 11983 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
31, 2syldan 591 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
43adantrr 717 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
5 recgt0 12111 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 0 < (1 / 𝑤))
65adantrr 717 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → 0 < (1 / 𝑤))
7 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
8 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
9 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℂ
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵S
1110sheli 31243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
12 hvmulcl 31042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
139, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
14 normcl 31154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
17 readdcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
188, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
2120sheli 31243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
22 hvsubcl 31046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 11, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
24 normcl 31154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
26 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2827anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
30 normge0 31155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐵 → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
32 addge01 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
338, 32mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
3433biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧))) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3515, 31, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐵 → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3635ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
37 shmulcl 31247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3810, 9, 37mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm𝑣) = (norm‘(-1 · 𝑧)))
4039oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → ((norm𝑦) + (norm𝑣)) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
41 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑦 + 𝑣) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
4241fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm‘(𝑦 + 𝑣)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4440, 43breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ↔ ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4544rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4746imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4847ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
49 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (norm𝑦) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5049eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((norm𝑦) = 1 → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5150ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
52 hvsubval 31045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5321, 11, 52syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5453fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
5554oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5655adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5848, 51, 573brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
597, 19, 29, 36, 58letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
6059ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
6160adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
62 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
6323adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
6463, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
6562, 64, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
66 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 0 < 𝑤)
67 lediv1 12131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
688, 67mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
6965, 62, 66, 68syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7061, 69sylibd 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7170imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤))
7225recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
7372adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
74 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
7574ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
761ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ≠ 0)
7773, 75, 76divcan3d 12046 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7971, 78breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))
8079exp43 436 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8180com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → (𝑧𝐵 → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8281ralrimdv 3150 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8382ralimdva 3165 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8483impr 454 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
854, 6, 84jca32 515 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8685ex 412 . . 3 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))))
87 breq2 5152 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (1 / 𝑤)))
88 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)) ↔ (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
8988imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
90892ralbidv 3219 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9187, 90anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = (1 / 𝑤) → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))) ↔ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9291rspcev 3622 . . 3 (((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9386, 92syl6 35 . 2 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9493rexlimiv 3146 1 (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491   / cdiv 11918  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950  normcno 30952   cmv 30954   S csh 30957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-sh 31236
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