HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj1i 31174
Description: Two ways to express "๐ด and ๐ต are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj1.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
Assertion
Ref Expression
cdj1i (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘ฃ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘ฃ)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 11554 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
2 rereccl 11807 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„)
31, 2syldan 592 . . . . . 6 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โ†’ (1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„)
43adantrr 716 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))))) โ†’ (1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„)
5 recgt0 11935 . . . . . 6 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โ†’ 0 < (1 / ๐‘ค))
65adantrr 716 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))))) โ†’ 0 < (1 / ๐‘ค))
7 1red 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8 1re 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
9 neg1cn 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 โˆˆ โ„‚
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
1110sheli 29955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
12 hvmulcl 29754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
139, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
14 normcl 29866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
17 readdcl 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
188, 16, 17sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2120sheli 29955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
22 hvsubcl 29758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2321, 11, 22syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 normcl 29866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
26 remulcl 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
2725, 26sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
2827anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
30 normge0 29867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
32 addge01 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†” 1 โ‰ค (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
338, 32mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โ†” 1 โ‰ค (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
3433biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3515, 31, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ 1 โ‰ค (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
37 shmulcl 29959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
3810, 9, 37mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
39 fveq2 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ) = (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
4039oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
41 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
4241fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
4342oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) = (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
4440, 43breq12d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฃ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))))
4544rspcv 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))))
4746imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
4847ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
49 oveq1 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
5049eqcoms 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
5150ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
52 hvsubval 29757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
5321, 11, 52syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
5453fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))))
5554oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
5655adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))))
5848, 51, 573brtr4d 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 + (normโ„Žโ€˜(-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))
597, 19, 29, 36, 58letrd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))
6059ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
6160adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
62 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
6323adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
6463, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
6562, 64, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
66 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 < ๐‘ค)
67 lediv1 11954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โ†” (1 / ๐‘ค) โ‰ค ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค)))
688, 67mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โ†” (1 / ๐‘ค) โ‰ค ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค)))
6965, 62, 66, 68syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โ†” (1 / ๐‘ค) โ‰ค ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค)))
7061, 69sylibd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1) โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค)))
7170imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค))
7225recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
7372adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
74 recn 11075 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
7574ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
7773, 75, 76divcan3d 11870 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) / ๐‘ค) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
7971, 78breqtrd 5130 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))
8079exp43 438 . . . . . . . . 9 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))))
8180com23 86 . . . . . . . 8 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))))
8281ralrimdv 3148 . . . . . . 7 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
8382ralimdva 3163 . . . . . 6 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ค) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
8483impr 456 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))
854, 6, 84jca32 517 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ))))) โ†’ ((1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„ โˆง (0 < (1 / ๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))))
8685ex 414 . . 3 (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)))) โ†’ ((1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„ โˆง (0 < (1 / ๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))))
87 breq2 5108 . . . . 5 (๐‘ฅ = (1 / ๐‘ค) โ†’ (0 < ๐‘ฅ โ†” 0 < (1 / ๐‘ค)))
88 breq1 5107 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (1 / ๐‘ค) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)) โ†” (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))
8988imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (1 / ๐‘ค) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
90892ralbidv 3211 . . . . 5 (๐‘ฅ = (1 / ๐‘ค) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
9187, 90anbi12d 632 . . . 4 (๐‘ฅ = (1 / ๐‘ค) โ†’ ((0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))) โ†” (0 < (1 / ๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))))
9291rspcev 3580 . . 3 (((1 / ๐‘ค) โˆˆ โ„ โˆง (0 < (1 / ๐‘ค) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ (1 / ๐‘ค) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
9386, 92syl6 35 . 2 (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง))))))
9493rexlimiv 3144 1 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ค โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค (๐‘ค ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฃ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ โˆ’โ„Ž ๐‘ง)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆ€wral 3063  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124  -cneg 11320   / cdiv 11746   โ„‹chba 29660   +โ„Ž cva 29661   ยทโ„Ž csm 29662  normโ„Žcno 29664   โˆ’โ„Ž cmv 29666   Sโ„‹ csh 29669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-hilex 29740  ax-hfvadd 29741  ax-hv0cl 29744  ax-hfvmul 29746  ax-hvmul0 29751  ax-hfi 29820  ax-his1 29823  ax-his3 29825  ax-his4 29826
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-hnorm 29709  df-hvsub 29712  df-sh 29948
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator