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Theorem cdj1i 30216
Description: Two ways to express "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj1i (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝑣,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑣)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 11094 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ≠ 0)
2 rereccl 11347 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
31, 2syldan 594 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
43adantrr 716 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ)
5 recgt0 11475 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → 0 < (1 / 𝑤))
65adantrr 716 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → 0 < (1 / 𝑤))
7 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ∈ ℝ)
8 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
9 neg1cn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℂ
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵S
1110sheli 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
12 hvmulcl 28796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
139, 11, 12sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ ℋ)
14 normcl 28908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
1615adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ)
17 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
188, 16, 17sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ∈ ℝ)
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
2120sheli 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
22 hvsubcl 28800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 11, 22syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
24 normcl 28908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
26 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2827anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
30 normge0 28909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 · 𝑧) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐵 → 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)))
32 addge01 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
338, 32mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ → (0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧)) ↔ 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧)))))
3433biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((norm‘(-1 · 𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(-1 · 𝑧))) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3515, 31, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐵 → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))))
37 shmulcl 29001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3810, 9, 37mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm𝑣) = (norm‘(-1 · 𝑧)))
4039oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → ((norm𝑦) + (norm𝑣)) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
41 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑦 + 𝑣) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
4241fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (norm‘(𝑦 + 𝑣)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
4342oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4440, 43breq12d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (-1 · 𝑧) → (((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ↔ ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4544rspcv 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))))
4746imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
4847ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
49 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 = (norm𝑦) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5049eqcoms 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((norm𝑦) = 1 → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
5150ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) = ((norm𝑦) + (norm‘(-1 · 𝑧))))
52 hvsubval 28799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5321, 11, 52syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 + (-1 · 𝑧)))
5453fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) = (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧))))
5554oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5655adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5756adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) = (𝑤 · (norm‘(𝑦 + (-1 · 𝑧)))))
5848, 51, 573brtr4d 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 + (norm‘(-1 · 𝑧))) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
597, 19, 29, 36, 58letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))))
6059ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
6160adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧)))))
62 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
6323adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
6463, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℝ)
6562, 64, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ)
66 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 0 < 𝑤)
67 lediv1 11494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
688, 67mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤)) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
6965, 62, 66, 68syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (1 ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7061, 69sylibd 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤)))
7170imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤))
7225recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
7372adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (norm‘(𝑦 𝑧)) ∈ ℂ)
74 recn 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
7574ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑤 ≠ 0)
7773, 75, 76divcan3d 11410 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7877adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → ((𝑤 · (norm‘(𝑦 𝑧))) / 𝑤) = (norm‘(𝑦 𝑧)))
7971, 78breqtrd 5056 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) ∧ (norm𝑦) = 1)) → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))
8079exp43 440 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8180com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → (𝑧𝐵 → ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8281ralrimdv 3153 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8382ralimdva 3144 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
8483impr 458 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
854, 6, 84jca32 519 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣))))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
8685ex 416 . . 3 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))))
87 breq2 5034 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (1 / 𝑤)))
88 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)) ↔ (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))
8988imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
90892ralbidv 3164 . . . . 5 (𝑥 = (1 / 𝑤) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9187, 90anbi12d 633 . . . 4 (𝑥 = (1 / 𝑤) → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))) ↔ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9291rspcev 3571 . . 3 (((1 / 𝑤) ∈ ℝ ∧ (0 < (1 / 𝑤) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → (1 / 𝑤) ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
9386, 92syl6 35 . 2 (𝑤 ∈ ℝ → ((0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧))))))
9493rexlimiv 3239 1 (∃𝑤 ∈ ℝ (0 < 𝑤 ∧ ∀𝑦𝐴𝑣𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑣)) ≤ (𝑤 · (norm‘(𝑦 + 𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) = 1 → 𝑥 ≤ (norm‘(𝑦 𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  chba 28702   + cva 28703   · csm 28704  normcno 28706   cmv 28708   S csh 28711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hv0cl 28786  ax-hfvmul 28788  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his3 28867  ax-his4 28868
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-hnorm 28751  df-hvsub 28754  df-sh 28990
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