HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopsubi 29388
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopsubi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnopsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11472 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 lnopl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
32lnopaddmuli 29387 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
41, 3mp3an1 1578 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
5 hvsubval 28428 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
65fveq2d 6437 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
72lnopfi 29383 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
87ffvelrni 6607 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
97ffvelrni 6607 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
10 hvsubval 28428 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
118, 9, 10syl2an 591 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
124, 6, 113eqtr4d 2871 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  1c1 10253  -cneg 10586  chba 28331   + cva 28332   · csm 28333   cmv 28337  LinOpclo 28359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hvass 28414  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvdistr2 28421  ax-hvmul0 28422
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-sub 10587  df-neg 10588  df-hvsub 28383  df-lnop 29255
This theorem is referenced by:  lnopsubmuli  29389  lnopmulsubi  29390  hoddii  29403  lnopeq0lem1  29419  lnophmlem2  29431  lnopconi  29448
  Copyright terms: Public domain W3C validator