Theorem lnopsubi 32588

Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopsubi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12315	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnopl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopaddmuli 32587	. . 3 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
4	1, 3	mp3an1 1477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
5		hvsubval 31630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
6	5	fveq2d 6897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))))
7	2	lnopfi 32583	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	7	ffvelcdmi 7091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
9	7	ffvelcdmi 7091	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31630	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
12	4, 6, 11	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  1c1 11211   -cneg 11552   ℋchba 31533   +_ℎ cva 31534   ·_ℎ csm 31535   −_ℎ cmv 31539  LinOpclo 31561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hvass 31616  ax-hv0cl 31617  ax-hvaddid 31618  ax-hfvmul 31619  ax-hvmulid 31620  ax-hvdistr2 31623  ax-hvmul0 31624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-neg 11554  df-hvsub 31585  df-lnop 32455

This theorem is used by:  lnopsubmuli  32589  lnopmulsubi  32590  hoddii  32603  lnopeq0lem1  32619  lnophmlem2  32631  lnopconi  32648