Theorem lnopsubi 32633

Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopsubi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12345	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnopl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopaddmuli 32632	. . 3 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
4	1, 3	mp3an1 1478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
5		hvsubval 31675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
6	5	fveq2d 6920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))))
7	2	lnopfi 32628	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	7	ffvelcdmi 7115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
9	7	ffvelcdmi 7115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31675	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
12	4, 6, 11	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   -cneg 11581   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580   −_ℎ cmv 31584  LinOpclo 31606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-hvsub 31630  df-lnop 32500

This theorem is used by:  lnopsubmuli  32634  lnopmulsubi  32635  hoddii  32648  lnopeq0lem1  32664  lnophmlem2  32676  lnopconi  32693