Theorem lnopsubi 32456

Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopsubi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12228	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnopl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopaddmuli 32455	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
4	1, 3	mp3an1 1477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
5		hvsubval 31498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
6	5	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
7	2	lnopfi 32451	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
8	7	ffvelcdmi 7077	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
9	7	ffvelcdmi 7077	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
10		hvsubval 31498	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
12	4, 6, 11	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  1c1 11126  -cneg 11467   ℋchba 31401   +_ℎ cva 31402   ·_ℎ csm 31403   −_ℎ cmv 31407  LinOpclo 31429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-hvsub 31453  df-lnop 32323

This theorem is used by:  lnopsubmuli  32457  lnopmulsubi  32458  hoddii  32471  lnopeq0lem1  32487  lnophmlem2  32499  lnopconi  32516