HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his2sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his2sub 30323
Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his2sub ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub
StepHypRef Expression
1 hvsubval 30247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21oveq1d 7419 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih 𝐶))
323adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih 𝐶))
4 neg1cn 12322 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 hvmulcl 30244 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
64, 5mpan 689 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
7 ax-his2 30314 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
86, 7syl3an2 1165 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
9 ax-his3 30315 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
104, 9mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
11 hicl 30311 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1211mulm1d 11662 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
1310, 12eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
1413oveq2d 7420 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
15143adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
168, 15eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
17 hicl 30311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
18173adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
19113adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
2018, 19negsubd 11573 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))
213, 16, 203eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  -cneg 11441  chba 30150   + cva 30151   · csm 30152   ·ih csp 30153   cmv 30156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hfvmul 30236  ax-hfi 30310  ax-his2 30314  ax-his3 30315
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30202
This theorem is referenced by:  his2sub2  30324  hi2eq  30336  pjhthlem1  30622  h1de2i  30784  pjdifnormii  30914  lnopeqi  31239  riesz3i  31293  leop2  31355  hmopidmpji  31383  pjssposi  31403  pjclem4  31430  pj3si  31438
  Copyright terms: Public domain W3C validator