Theorem his2sub 31694

Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his2sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
4		neg1cn 12305	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		hvmulcl 31615	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7		ax-his2 31685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
8	6, 7	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
9		ax-his3 31686	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ( -1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
10	4, 9	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ( -1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
11		hicl 31682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ( -1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
13	10, 12	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
14	13	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
15	14	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + (( -1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
16	8, 15	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
17		hicl 31682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
19	11	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
20	18, 19	negsubd 11675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))
21	3, 16, 20	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   ·_ih csp 31524   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hfvmul 31607  ax-hfi 31681  ax-his2 31685  ax-his3 31686

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  his2sub2  31695  hi2eq  31707  pjhthlem1  31993  h1de2i  32155  pjdifnormii  32285  lnopeqi  32610  riesz3i  32664  leop2  32726  hmopidmpji  32754  pjssposi  32774  pjclem4  32801  pj3si  32809