Theorem his2sub 31297

Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his2sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
3	2	3adant3 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
4		neg1cn 12182	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		hvmulcl 31218	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	4, 5	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7		ax-his2 31288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
8	6, 7	syl3an2 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
9		ax-his3 31289	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
10	4, 9	mp3an1 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
11		hicl 31285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
13	10, 12	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
14	13	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
15	14	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
16	8, 15	eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
17		hicl 31285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	3adant2 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
19	11	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
20	18, 19	negsubd 11550	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))
21	3, 16, 20	3eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11416  -cneg 11417   ℋchba 31124   +_ℎ cva 31125   ·_ℎ csm 31126   ·_ih csp 31127   −_ℎ cmv 31130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hfvmul 31210  ax-hfi 31284  ax-his2 31288  ax-his3 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419  df-hvsub 31176

This theorem is referenced by:  his2sub2  31298  hi2eq  31310  pjhthlem1  31596  h1de2i  31758  pjdifnormii  31888  lnopeqi  32213  riesz3i  32267  leop2  32329  hmopidmpji  32357  pjssposi  32377  pjclem4  32404  pj3si  32412