Theorem his2sub 31605

Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his2sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31529	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶))
4		neg1cn 12252	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		hvmulcl 31526	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7		ax-his2 31596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
8	6, 7	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
9		ax-his3 31597	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
10	4, 9	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
11		hicl 31593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
13	10, 12	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶))
14	13	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
15	14	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
16	8, 15	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)))
17		hicl 31593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
19	11	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
20	18, 19	negsubd 11624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐶) + -(𝐵 ·ih 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))
21	3, 16, 20	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = ((𝐴 ·ih 𝐶) − (𝐵 ·ih 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11490  -cneg 11491   ℋchba 31432   +_ℎ cva 31433   ·_ℎ csm 31434   ·_ih csp 31435   −_ℎ cmv 31438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-hfvmul 31518  ax-hfi 31592  ax-his2 31596  ax-his3 31597

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31484

This theorem is used by:  his2sub2  31606  hi2eq  31618  pjhthlem1  31904  h1de2i  32066  pjdifnormii  32196  lnopeqi  32521  riesz3i  32575  leop2  32637  hmopidmpji  32665  pjssposi  32685  pjclem4  32712  pj3si  32720