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Theorem superpos 31645
Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐡 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐡, that is the superposition of 𝐴 and 𝐡. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 31644 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})))
2 atom1d 31644 . . 3 (𝐡 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})))
3 reeanv 3226 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))))
4 an4 654 . . . . . 6 (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ↔ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))))
5 neeq1 3003 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  𝐡))
6 neeq2 3004 . . . . . . . . . 10 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
75, 6sylan9bb 510 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
9 hvaddcl 30303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
11 hvaddeq0 30360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = 0β„Ž ↔ 𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
12 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ {𝑦} = {(-1 Β·β„Ž 𝑧)})
1312fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}))
14 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ β„‚
15 neg1ne0 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 β‰  0
16 spansncol 30859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) β†’ (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1918ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2111, 20sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2221necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž))
2322imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž)
24 spansna 31641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦})))
2928biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦})))
30 spansneleqi 30860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
32 elspansn 30857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
34 addcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
3514, 34mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ β„‚ β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
37 hvmulcl 30304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
3837ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
3938adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
40 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
41 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
42 hvsubadd 30368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
4443biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 30307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4637, 45sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 30300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5049ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ 𝑧 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
54 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = (𝑣 + -1) β†’ (𝑀 Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5554rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦))
5636, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦))
5756rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
5833, 57sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
5931, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
60 elspansn 30857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
6259, 61sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
64 spansneleq 30861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝑦})))
65 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝑦}) ↔ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧}))
6664, 65imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6766adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6863, 67syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6929, 68sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
7069necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7170adantlrl 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7271adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7372imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴)
74 eqeq2 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧})))
7574biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧})))
76 spansneleqi 30860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
779, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
78 elspansn 30857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8035ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
81 hvmulcl 30304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
8281ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
8382adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
84 hvsubadd 30368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8583, 41, 40, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
86 ax-hvcom 30292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑧 +β„Ž 𝑦))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑧 +β„Ž 𝑦))
8887eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8985, 88bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
9089biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦)
91 hvsubval 30307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9281, 91sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
93 ax-hvdistr2 30300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9414, 93mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9592, 94eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9695ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9796adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9990, 98eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ 𝑦 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
100 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = (𝑣 + -1) β†’ (𝑀 Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
101100rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧))
10280, 99, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧))
103102rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
10479, 103sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
10577, 104syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
106 elspansn 30857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
107106adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
108105, 107sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
110 spansneleq 30861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
111110adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
112109, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
11375, 112sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
114113necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
115114adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
116115adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
117116imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡)
118 spanpr 30871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
120 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
121 df-pr 4631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} βˆͺ {𝑧})
122121fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}) = (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧}))
123 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ {𝑦} βŠ† β„‹)
124 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ {𝑧} βŠ† β„‹)
125 spanun 30836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} βŠ† β„‹ ∧ {𝑧} βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
126123, 124, 125syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
127122, 126eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
128 spansnch 30851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ )
129 spansnj 30938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
130128, 129sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
131127, 130eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
132120, 131sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) = (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
133119, 132sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
134133adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
135134adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
136 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
137 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
138 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
139136, 137, 1383anbi123d 1436 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ ((π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
140139rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
14127, 73, 117, 135, 140syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
142141ex 413 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1438, 142sylbid 239 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
144143expl 458 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))))
1454, 144biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))))
146145rexlimivv 3199 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1473, 146sylbir 234 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1481, 2, 147syl2anb 598 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1491483impia 1117 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  -cneg 11447   β„‹chba 30210   +β„Ž cva 30211   Β·β„Ž csm 30212  0β„Žc0v 30215   βˆ’β„Ž cmv 30216   Cβ„‹ cch 30220   +β„‹ cph 30222  spancspn 30223   βˆ¨β„‹ chj 30224  HAtomscat 30256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-span 30600  df-chj 30601  df-pjh 30686  df-cv 31570  df-at 31629
This theorem is referenced by:  chirredi  31685
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