Theorem superpos 32447

Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
superpos	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atom1d 32446	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})))
2		atom1d 32446	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})))
3		reeanv 3213	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4		an4 663	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5		neeq1 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6		neeq2 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
7	5, 6	sylan9bb 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
8	7	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9		hvaddcl 31105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
10	9	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
11		hvaddeq0 31162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)))
12		sneq 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → {𝑦} = {(-1 ·ℎ 𝑧)})
13	12	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}))
14		neg1cn 12139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		neg1ne0 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ≠ 0
16		spansncol 31661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
17	14, 15, 16	mp3an23 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
18	13, 17	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
19	18	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
20	19	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
21	11, 20	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
22	21	necon3d 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ))
23	22	imp 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ)
24		spansna 32443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
25	10, 23, 24	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
26	25	adantlr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
27	26	adantlr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28		eqeq2 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
29	28	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30		spansneleqi 31662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32		elspansn 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
33	32	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
34		addcl 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
35	14, 34	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37		hvmulcl 31106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
38	37	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
39	38	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
40		simpll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42		hvsubadd 31170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
44	43	biimpar 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
45		hvsubval 31109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
46	37, 45	sylancom 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
47		ax-hvdistr2 31102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
48	14, 47	mp3an2 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
49	46, 48	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
51	50	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
52	51	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
53	44, 52	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
54		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
55	54	rspceeqv 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
56	36, 53, 55	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
57	56	rexlimdva2 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
58	33, 57	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
59	31, 58	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
60		elspansn 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
61	60	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
62	59, 61	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
63	62	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64		spansneleq 31663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65		eqcom 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
66	64, 65	imbitrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
67	66	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
68	63, 67	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
69	29, 68	sylan9r 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
70	69	necon3d 2957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
71	70	adantlrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
72	71	adantrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
73	72	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74		eqeq2 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
75	74	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76		spansneleqi 31662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
77	9, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78		elspansn 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
79	78	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
80	35	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81		hvmulcl 31106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
82	81	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
83	82	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
84		hvsubadd 31170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
85	83, 41, 40, 84	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
86		ax-hvcom 31094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
87	86	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
88	87	eqeq1d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
89	85, 88	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
90	89	biimpar 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦)
91		hvsubval 31109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
92	81, 91	sylancom 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
93		ax-hvdistr2 31102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
94	14, 93	mp3an2 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
95	92, 94	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
96	95	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
97	96	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
98	97	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
99	90, 98	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
100		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
101	100	rspceeqv 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
102	80, 99, 101	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
103	102	rexlimdva2 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
104	79, 103	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
105	77, 104	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
106		elspansn 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
107	106	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
108	105, 107	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109	108	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110		spansneleq 31663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111	110	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112	109, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
113	75, 112	sylan9r 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114	113	necon3d 2957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115	114	adantlrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116	115	adantrl 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117	116	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118		spanpr 31673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119	118	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120		oveq12 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
121		df-pr 4561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122	121	fveq2i 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123		snssi 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124		snssi 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125		spanun 31638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
126	123, 124, 125	syl2an 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
127	122, 126	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
128		spansnch 31653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
129		spansnj 31740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
130	128, 129	sylan 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
131	127, 130	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132	120, 131	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133	119, 132	sseqtrrd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
134	133	adantlr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
135	134	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
136		neeq1 2998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137		neeq1 2998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
139	136, 137, 138	3anbi123d 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
140	139	rspcev 3562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
141	27, 73, 117, 135, 140	syl13anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
142	141	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
143	8, 142	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
144	143	expl 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
145	4, 144	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
146	145	rexlimivv 3183	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
147	3, 146	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
148	1, 2, 147	syl2anb 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
149	148	3impia 1124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  -cneg 11373   ℋchba 31012   +_ℎ cva 31013   ·_ℎ csm 31014  0_ℎc0v 31017   −_ℎ cmv 31018   C_ℋ cch 31022   +_ℋ cph 31024  spancspn 31025   ∨_ℋ chj 31026  HAtomscat 31058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31092  ax-hfvadd 31093  ax-hvcom 31094  ax-hvass 31095  ax-hv0cl 31096  ax-hvaddid 31097  ax-hfvmul 31098  ax-hvmulid 31099  ax-hvmulass 31100  ax-hvdistr1 31101  ax-hvdistr2 31102  ax-hvmul0 31103  ax-hfi 31172  ax-his1 31175  ax-his2 31176  ax-his3 31177  ax-his4 31178  ax-hcompl 31295

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-lm 23216  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-gdiv 30589  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-vs 30692  df-nmcv 30693  df-ims 30694  df-dip 30794  df-ssp 30815  df-ph 30906  df-cbn 30956  df-hnorm 31061  df-hba 31062  df-hvsub 31064  df-hlim 31065  df-hcau 31066  df-sh 31300  df-ch 31314  df-oc 31345  df-ch0 31346  df-shs 31401  df-span 31402  df-chj 31403  df-pjh 31488  df-cv 32372  df-at 32431

This theorem is referenced by:  chirredi  32487