Theorem superpos 32340

Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
superpos	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atom1d 32339	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})))
2		atom1d 32339	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})))
3		reeanv 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4		an4 656	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5		neeq1 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6		neeq2 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
7	5, 6	sylan9bb 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9		hvaddcl 30998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
11		hvaddeq0 31055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)))
12		sneq 4616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → {𝑦} = {(-1 ·ℎ 𝑧)})
13	12	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}))
14		neg1cn 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		neg1ne0 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ≠ 0
16		spansncol 31554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
17	14, 15, 16	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
18	13, 17	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
21	11, 20	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
22	21	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ)
24		spansna 32336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
25	10, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
27	26	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
29	28	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30		spansneleqi 31555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32		elspansn 31552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
34		addcl 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
35	14, 34	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37		hvmulcl 30999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
40		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42		hvsubadd 31063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
44	43	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
45		hvsubval 31002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
46	37, 45	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
47		ax-hvdistr2 30995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
48	14, 47	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
49	46, 48	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
51	50	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
53	44, 52	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
54		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
55	54	rspceeqv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
56	36, 53, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
57	56	rexlimdva2 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
58	33, 57	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
59	31, 58	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
60		elspansn 31552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
62	59, 61	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64		spansneleq 31556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
66	64, 65	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
67	66	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
68	63, 67	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
69	29, 68	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
70	69	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
71	70	adantlrl 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
72	71	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
73	72	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
75	74	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76		spansneleqi 31555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
77	9, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78		elspansn 31552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
80	35	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81		hvmulcl 30999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
82	81	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
83	82	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
84		hvsubadd 31063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
85	83, 41, 40, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
86		ax-hvcom 30987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
88	87	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
89	85, 88	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
90	89	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦)
91		hvsubval 31002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
92	81, 91	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
93		ax-hvdistr2 30995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
94	14, 93	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
95	92, 94	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
96	95	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
97	96	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
99	90, 98	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
100		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
101	100	rspceeqv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
102	80, 99, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
103	102	rexlimdva2 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
104	79, 103	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
105	77, 104	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
106		elspansn 31552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
108	105, 107	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110		spansneleq 31556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111	110	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112	109, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
113	75, 112	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114	113	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115	114	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116	115	adantrl 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117	116	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118		spanpr 31566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120		oveq12 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
121		df-pr 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122	121	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123		snssi 4789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124		snssi 4789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125		spanun 31531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
126	123, 124, 125	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
127	122, 126	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
128		spansnch 31546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
129		spansnj 31633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
130	128, 129	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
131	127, 130	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132	120, 131	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133	119, 132	sseqtrrd 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
134	133	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
136		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138		sseq1 3989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
139	136, 137, 138	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
140	139	rspcev 3606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
141	27, 73, 117, 135, 140	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
142	141	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
143	8, 142	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
144	143	expl 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
145	4, 144	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
146	145	rexlimivv 3187	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
147	3, 146	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
148	1, 2, 147	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
149	148	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  -cneg 11472   ℋchba 30905   +_ℎ cva 30906   ·_ℎ csm 30907  0_ℎc0v 30910   −_ℎ cmv 30911   C_ℋ cch 30915   +_ℋ cph 30917  spancspn 30918   ∨_ℋ chj 30919  HAtomscat 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214  ax-hilex 30985  ax-hfvadd 30986  ax-hvcom 30987  ax-hvass 30988  ax-hv0cl 30989  ax-hvaddid 30990  ax-hfvmul 30991  ax-hvmulid 30992  ax-hvmulass 30993  ax-hvdistr1 30994  ax-hvdistr2 30995  ax-hvmul0 30996  ax-hfi 31065  ax-his1 31068  ax-his2 31069  ax-his3 31070  ax-his4 31071  ax-hcompl 31188

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-lm 23172  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25212  df-cau 25213  df-cmet 25214  df-grpo 30479  df-gid 30480  df-ginv 30481  df-gdiv 30482  df-ablo 30531  df-vc 30545  df-nv 30578  df-va 30581  df-ba 30582  df-sm 30583  df-0v 30584  df-vs 30585  df-nmcv 30586  df-ims 30587  df-dip 30687  df-ssp 30708  df-ph 30799  df-cbn 30849  df-hnorm 30954  df-hba 30955  df-hvsub 30957  df-hlim 30958  df-hcau 30959  df-sh 31193  df-ch 31207  df-oc 31238  df-ch0 31239  df-shs 31294  df-span 31295  df-chj 31296  df-pjh 31381  df-cv 32265  df-at 32324

This theorem is referenced by:  chirredi  32380