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Theorem superpos 31585
Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐡 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐡, that is the superposition of 𝐴 and 𝐡. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 31584 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})))
2 atom1d 31584 . . 3 (𝐡 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})))
3 reeanv 3227 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))))
4 an4 655 . . . . . 6 (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ↔ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))))
5 neeq1 3004 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  𝐡))
6 neeq2 3005 . . . . . . . . . 10 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
75, 6sylan9bb 511 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})))
9 hvaddcl 30243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
11 hvaddeq0 30300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = 0β„Ž ↔ 𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
12 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ {𝑦} = {(-1 Β·β„Ž 𝑧)})
1312fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}))
14 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ β„‚
15 neg1ne0 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 β‰  0
16 spansncol 30799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) β†’ (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{(-1 Β·β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧}))
1918ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 = (-1 Β·β„Ž 𝑧) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2111, 20sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
2221necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž))
2322imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž)
24 spansna 31581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦})))
2928biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦})))
30 spansneleqi 30800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
32 elspansn 30797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
34 addcl 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
3514, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ β„‚ β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
37 hvmulcl 30244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
3837ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
40 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
42 hvsubadd 30308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)))
4443biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 30247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4637, 45sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 30240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5049ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ 𝑧 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
54 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = (𝑣 + -1) β†’ (𝑀 Β·β„Ž 𝑦) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦))
5554rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦))
5636, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦))
5756rexlimdva2 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑦) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
5833, 57sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
5931, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
60 elspansn 30797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑧 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑦)))
6259, 61sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦})))
64 spansneleq 30801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝑦})))
65 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝑦}) ↔ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧}))
6664, 65syl6ib 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6863, 67syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
6929, 68sylan9r 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
7069necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7170adantlrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7271adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
7372imp 408 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴)
74 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧})))
7574biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧})))
76 spansneleqi 30800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
779, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
78 elspansn 30797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
7978adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8035ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑣 + -1) ∈ β„‚)
81 hvmulcl 30244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
8281ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
8382adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
84 hvsubadd 30308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8583, 41, 40, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
86 ax-hvcom 30232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑧 +β„Ž 𝑦))
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑧 +β„Ž 𝑦))
8887eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑦) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
8985, 88bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)))
9089biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑦)
91 hvsubval 30247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9281, 91sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
93 ax-hvdistr2 30240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9414, 93mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑧)))
9592, 94eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9695ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9897adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ ((𝑣 Β·β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
9990, 98eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ 𝑦 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
100 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = (𝑣 + -1) β†’ (𝑀 Β·β„Ž 𝑧) = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧))
101100rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) Β·β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧))
10280, 99, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑣 ∈ β„‚) ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧))
103102rexlimdva2 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ β„‚ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑣 Β·β„Ž 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
10479, 103sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
10577, 104syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
106 elspansn 30797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
107106adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„‚ 𝑦 = (𝑀 Β·β„Ž 𝑧)))
108105, 107sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧})))
110 spansneleq 30801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
111110adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
112109, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
11375, 112sylan9r 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) = 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{𝑧})))
114113necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
115114adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
116115adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
117116imp 408 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡)
118 spanpr 30811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
120 oveq12 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
121 df-pr 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} βˆͺ {𝑧})
122121fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}) = (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧}))
123 snssi 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ {𝑦} βŠ† β„‹)
124 snssi 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ {𝑧} βŠ† β„‹)
125 spanun 30776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} βŠ† β„‹ ∧ {𝑧} βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
126123, 124, 125syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜({𝑦} βˆͺ {𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
127122, 126eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}) = ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
128 spansnch 30791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ )
129 spansnj 30878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
130128, 129sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) +β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})))
131127, 130eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑧})) = (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
132120, 131sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) = (spanβ€˜{𝑦, 𝑧}))
133119, 132sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
134133adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
135134adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
136 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴))
137 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ β‰  𝐡 ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡))
138 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
139136, 137, 1383anbi123d 1437 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β†’ ((π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
140139rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐴 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) β‰  𝐡 ∧ (spanβ€˜{(𝑦 +β„Ž 𝑧)}) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
14127, 73, 117, 135, 140syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) ∧ (spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
142141ex 414 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ ((spanβ€˜{𝑦}) β‰  (spanβ€˜{𝑧}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1438, 142sylbid 239 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) ∧ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž)) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
144143expl 459 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) ∧ (𝐴 = (spanβ€˜{𝑦}) ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))))
1454, 144biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))))
146145rexlimivv 3200 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ ((𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1473, 146sylbir 234 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (𝑦 β‰  0β„Ž ∧ 𝐴 = (spanβ€˜{𝑦})) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ β„‹ (𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{𝑧}))) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1481, 2, 147syl2anb 599 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1491483impia 1118 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐡 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ HAtoms (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  -cneg 11441   β„‹chba 30150   +β„Ž cva 30151   Β·β„Ž csm 30152  0β„Žc0v 30155   βˆ’β„Ž cmv 30156   Cβ„‹ cch 30160   +β„‹ cph 30162  spancspn 30163   βˆ¨β„‹ chj 30164  HAtomscat 30196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-span 30540  df-chj 30541  df-pjh 30626  df-cv 31510  df-at 31569
This theorem is referenced by:  chirredi  31625
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