Theorem superpos 29785

Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
superpos	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atom1d 29784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})))
2		atom1d 29784	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})))
3		reeanv 3292	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4		an4 646	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5		neeq1 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6		neeq2 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
7	5, 6	sylan9bb 505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
8	7	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9		hvaddcl 28441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
10	9	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
11		hvaddeq0 28498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)))
12		sneq 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → {𝑦} = {(-1 ·ℎ 𝑧)})
13	12	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}))
14		neg1cn 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		neg1ne0 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ≠ 0
16		spansncol 28999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
17	14, 15, 16	mp3an23 1526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
18	13, 17	sylan9eqr 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
19	18	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
20	19	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
21	11, 20	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
22	21	necon3d 2989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ))
23	22	imp 397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ)
24		spansna 29781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
25	10, 23, 24	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
26	25	adantlr 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
27	26	adantlr 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28		eqeq2 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
29	28	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30		spansneleqi 29000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32		elspansn 28997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
33	32	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
34		addcl 10354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
35	14, 34	mpan2 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37		hvmulcl 28442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
38	37	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
39	38	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
40		simpll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41		simplr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42		hvsubadd 28506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
44	43	biimpar 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
45		hvsubval 28445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
46	37, 45	sylancom 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
47		ax-hvdistr2 28438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
48	14, 47	mp3an2 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
49	46, 48	eqtr4d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
51	50	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
52	51	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
53	44, 52	eqtr3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
54		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
55	54	rspceeqv 3528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
56	36, 53, 55	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
57	56	rexlimdva2 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
58	33, 57	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
59	31, 58	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
60		elspansn 28997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
61	60	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
62	59, 61	sylibrd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
63	62	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64		spansneleq 29001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65		eqcom 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
66	64, 65	syl6ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
67	66	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
68	63, 67	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
69	29, 68	sylan9r 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
70	69	necon3d 2989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
71	70	adantlrl 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
72	71	adantrr 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
73	72	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74		eqeq2 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
75	74	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76		spansneleqi 29000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
77	9, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78		elspansn 28997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
79	78	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
80	35	ad2antlr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81		hvmulcl 28442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
82	81	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
83	82	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
84		hvsubadd 28506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
85	83, 41, 40, 84	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
86		ax-hvcom 28430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
87	86	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
88	87	eqeq1d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
89	85, 88	bitr4d 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
90	89	biimpar 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦)
91		hvsubval 28445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
92	81, 91	sylancom 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
93		ax-hvdistr2 28438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
94	14, 93	mp3an2 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
95	92, 94	eqtr4d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
96	95	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
97	96	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
98	97	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
99	90, 98	eqtr3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
100		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
101	100	rspceeqv 3528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
102	80, 99, 101	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
103	102	rexlimdva2 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
104	79, 103	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
105	77, 104	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
106		elspansn 28997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
107	106	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
108	105, 107	sylibrd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109	108	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110		spansneleq 29001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111	110	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112	109, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
113	75, 112	sylan9r 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114	113	necon3d 2989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115	114	adantlrr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116	115	adantrl 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117	116	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118		spanpr 29011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119	118	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120		oveq12 6931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
121		df-pr 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122	121	fveq2i 6449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123		snssi 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124		snssi 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125		spanun 28976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
126	123, 124, 125	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
127	122, 126	syl5eq 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
128		spansnch 28991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
129		spansnj 29078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
130	128, 129	sylan 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
131	127, 130	eqtr2d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132	120, 131	sylan9eqr 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133	119, 132	sseqtr4d 3860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
134	133	adantlr 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
135	134	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
136		neeq1 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137		neeq1 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138		sseq1 3844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
139	136, 137, 138	3anbi123d 1509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
140	139	rspcev 3510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
141	27, 73, 117, 135, 140	syl13anc 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
142	141	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
143	8, 142	sylbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
144	143	expl 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
145	4, 144	syl5bi 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
146	145	rexlimivv 3218	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
147	3, 146	sylbir 227	. . 3 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
148	1, 2, 147	syl2anb 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
149	148	3impia 1106	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  {csn 4397  {cpr 4399  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  -cneg 10607   ℋchba 28348   +_ℎ cva 28349   ·_ℎ csm 28350  0_ℎc0v 28353   −_ℎ cmv 28354   C_ℋ cch 28358   +_ℋ cph 28360  spancspn 28361   ∨_ℋ chj 28362  HAtomscat 28394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-span 28740  df-chj 28741  df-pjh 28826  df-cv 29710  df-at 29769

This theorem is referenced by:  chirredi  29825