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Theorem superpos 30126
 Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 30125 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})))
2 atom1d 30125 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧})))
3 reeanv 3358 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4 an4 655 . . . . . 6 (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5 neeq1 3075 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6 neeq2 3076 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
75, 6sylan9bb 513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
87adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9 hvaddcl 28784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
109adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
11 hvaddeq0 28841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0𝑦 = (-1 · 𝑧)))
12 sneq 4558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → {𝑦} = {(-1 · 𝑧)})
1312fveq2d 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 · 𝑧)}))
14 neg1cn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℂ
15 neg1ne0 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ≠ 0
16 spansncol 29340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 · 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
1918ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2019adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2111, 20sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2221necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0))
2322imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)
24 spansna 30122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
2928biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30 spansneleqi 29341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32 elspansn 29338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
34 addcl 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3514, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37 hvmulcl 28785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42 hvsubadd 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4443biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 28788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4637, 45sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 28781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5049ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5251adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
54 oveq1 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5554rspceeqv 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5636, 53, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5756rexlimdva2 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
5833, 57sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
5931, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
60 elspansn 29338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6259, 61sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64 spansneleq 29342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65 eqcom 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
6664, 65syl6ib 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6863, 67syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6929, 68sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7069necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7170adantlrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7271adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7372imp 410 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74 eqeq2 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
7574biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76 spansneleqi 29341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
779, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78 elspansn 29338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
7978adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8035ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81 hvmulcl 28785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8281ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8382adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
84 hvsubadd 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8583, 41, 40, 84syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
86 ax-hvcom 28773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8786adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8887eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8985, 88bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
9089biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦)
91 hvsubval 28788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9281, 91sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
93 ax-hvdistr2 28781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9414, 93mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9592, 94eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9695ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9897adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9990, 98eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
100 oveq1 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
101100rspceeqv 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
10280, 99, 101syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
103102rexlimdva2 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10479, 103sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10577, 104syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
106 elspansn 29338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
107106adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
108105, 107sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109108adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110 spansneleq 29342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111110adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112109, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
11375, 112sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114113necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115114adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116115adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117116imp 410 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118 spanpr 29352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119118adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120 oveq12 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
121 df-pr 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122121fveq2i 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123 snssi 4722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124 snssi 4722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125 spanun 29317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
126123, 124, 125syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
127122, 126syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
128 spansnch 29332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
129 spansnj 29419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((span‘{𝑦}) ∈ C𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
130128, 129sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
131127, 130eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132120, 131sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133119, 132sseqtrrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
134133adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
135134adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
136 neeq1 3075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137 neeq1 3075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138 sseq1 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵)))
139136, 137, 1383anbi123d 1433 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))))
140139rspcev 3608 . . . . . . . . . 10 (((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
14127, 73, 117, 135, 140syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
142141ex 416 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1438, 142sylbid 243 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
144143expl 461 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
1454, 144syl5bi 245 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
146145rexlimivv 3284 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1473, 146sylbir 238 . . 3 ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1481, 2, 147syl2anb 600 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1491483impia 1114 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∃wrex 3133   ∪ cun 3916   ⊆ wss 3918  {csn 4548  {cpr 4550  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525  -cneg 10856   ℋchba 28691   +ℎ cva 28692   ·ℎ csm 28693  0ℎc0v 28696   −ℎ cmv 28697   Cℋ cch 28701   +ℋ cph 28703  spancspn 28704   ∨ℋ chj 28705  HAtomscat 28737 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602  ax-hilex 28771  ax-hfvadd 28772  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hv0cl 28775  ax-hvaddid 28776  ax-hfvmul 28777  ax-hvmulid 28778  ax-hvmulass 28779  ax-hvdistr1 28780  ax-hvdistr2 28781  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his2 28855  ax-his3 28856  ax-his4 28857  ax-hcompl 28974 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-lm 21823  df-haus 21909  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cfil 23848  df-cau 23849  df-cmet 23850  df-grpo 28265  df-gid 28266  df-ginv 28267  df-gdiv 28268  df-ablo 28317  df-vc 28331  df-nv 28364  df-va 28367  df-ba 28368  df-sm 28369  df-0v 28370  df-vs 28371  df-nmcv 28372  df-ims 28373  df-dip 28473  df-ssp 28494  df-ph 28585  df-cbn 28635  df-hnorm 28740  df-hba 28741  df-hvsub 28743  df-hlim 28744  df-hcau 28745  df-sh 28979  df-ch 28993  df-oc 29024  df-ch0 29025  df-shs 29080  df-span 29081  df-chj 29082  df-pjh 29167  df-cv 30051  df-at 30110 This theorem is referenced by:  chirredi  30166
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