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Theorem superpos 29785
Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 29784 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})))
2 atom1d 29784 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧})))
3 reeanv 3292 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4 an4 646 . . . . . 6 (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5 neeq1 3030 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6 neeq2 3031 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
75, 6sylan9bb 505 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
87adantl 475 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9 hvaddcl 28441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
109adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
11 hvaddeq0 28498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0𝑦 = (-1 · 𝑧)))
12 sneq 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → {𝑦} = {(-1 · 𝑧)})
1312fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 · 𝑧)}))
14 neg1cn 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℂ
15 neg1ne0 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ≠ 0
16 spansncol 28999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 · 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
1918ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2019adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2111, 20sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2221necon3d 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0))
2322imp 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)
24 spansna 29781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 705 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
2928biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30 spansneleqi 29000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32 elspansn 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
3332adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
34 addcl 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3514, 34mpan2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3635ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37 hvmulcl 28442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3938adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42 hvsubadd 28506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4443biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 28445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4637, 45sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 28438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5049ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5150adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5251adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
54 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5554rspceeqv 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5636, 53, 55syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5756rexlimdva2 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
5833, 57sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
5931, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
60 elspansn 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6160adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6259, 61sylibrd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
6362adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64 spansneleq 29001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65 eqcom 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
6664, 65syl6ib 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6766adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6863, 67syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6929, 68sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7069necon3d 2989 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7170adantlrl 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7271adantrr 707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7372imp 397 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74 eqeq2 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
7574biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76 spansneleqi 29000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
779, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78 elspansn 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
7978adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8035ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81 hvmulcl 28442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8281ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8382adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
84 hvsubadd 28506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8583, 41, 40, 84syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
86 ax-hvcom 28430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8786adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8887eqeq1d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8985, 88bitr4d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
9089biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦)
91 hvsubval 28445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9281, 91sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
93 ax-hvdistr2 28438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9414, 93mp3an2 1522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9592, 94eqtr4d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9695ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9796adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9897adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9990, 98eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
100 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
101100rspceeqv 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
10280, 99, 101syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
103102rexlimdva2 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10479, 103sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10577, 104syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
106 elspansn 28997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
107106adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
108105, 107sylibrd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109108adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110 spansneleq 29001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111110adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112109, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
11375, 112sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114113necon3d 2989 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115114adantlrr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116115adantrl 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117116imp 397 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118 spanpr 29011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119118adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120 oveq12 6931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
121 df-pr 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122121fveq2i 6449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123 snssi 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124 snssi 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125 spanun 28976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
126123, 124, 125syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
127122, 126syl5eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
128 spansnch 28991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
129 spansnj 29078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((span‘{𝑦}) ∈ C𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
130128, 129sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
131127, 130eqtr2d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132120, 131sylan9eqr 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133119, 132sseqtr4d 3860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
134133adantlr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
135134adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
136 neeq1 3030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137 neeq1 3030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138 sseq1 3844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵)))
139136, 137, 1383anbi123d 1509 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))))
140139rspcev 3510 . . . . . . . . . 10 (((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
14127, 73, 117, 135, 140syl13anc 1440 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
142141ex 403 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1438, 142sylbid 232 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
144143expl 451 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
1454, 144syl5bi 234 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
146145rexlimivv 3218 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1473, 146sylbir 227 . . 3 ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1481, 2, 147syl2anb 591 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1491483impia 1106 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wrex 3090  cun 3789  wss 3791  {csn 4397  {cpr 4399  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  -cneg 10607  chba 28348   + cva 28349   · csm 28350  0c0v 28353   cmv 28354   C cch 28358   + cph 28360  spancspn 28361   chj 28362  HAtomscat 28394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-span 28740  df-chj 28741  df-pjh 28826  df-cv 29710  df-at 29769
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