Theorem superpos 32177

Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
superpos	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atom1d 32176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})))
2		atom1d 32176	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})))
3		reeanv 3223	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4		an4 655	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5		neeq1 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6		neeq2 3001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
7	5, 6	sylan9bb 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9		hvaddcl 30835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
11		hvaddeq0 30892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)))
12		sneq 4639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → {𝑦} = {(-1 ·ℎ 𝑧)})
13	12	fveq2d 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}))
14		neg1cn 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		neg1ne0 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ≠ 0
16		spansncol 31391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
17	14, 15, 16	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 ·ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
18	13, 17	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
21	11, 20	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
22	21	necon3d 2958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ)
24		spansna 32173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ≠ 0ℎ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
25	10, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
26	25	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28		eqeq2 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
29	28	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30		spansneleqi 31392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32		elspansn 31389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
34		addcl 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
35	14, 34	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37		hvmulcl 30836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
39	38	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
40		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42		hvsubadd 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)))
44	43	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
45		hvsubval 30839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
46	37, 45	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
47		ax-hvdistr2 30832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
48	14, 47	mp3an2 1446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 ·ℎ 𝑦) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
49	46, 48	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
51	50	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑦) −ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
53	44, 52	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
54		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑦) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦))
55	54	rspceeqv 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
56	36, 53, 55	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦))
57	56	rexlimdva2 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
58	33, 57	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
59	31, 58	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
60		elspansn 31389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝑦)))
62	59, 61	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
64		spansneleq 31393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
65		eqcom 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
66	64, 65	imbitrdi 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
67	66	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
68	63, 67	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
69	29, 68	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
70	69	necon3d 2958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
71	70	adantlrl 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
72	71	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
73	72	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴)
74		eqeq2 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
75	74	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
76		spansneleqi 31392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
77	9, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
78		elspansn 31389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
80	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
81		hvmulcl 30836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
82	81	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
83	82	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
84		hvsubadd 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
85	83, 41, 40, 84	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
86		ax-hvcom 30824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
88	87	eqeq1d 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
89	85, 88	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)))
90	89	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = 𝑦)
91		hvsubval 30839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑣 ·ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
92	81, 91	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
93		ax-hvdistr2 30832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
94	14, 93	mp3an2 1446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 ·ℎ 𝑧) +ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
95	92, 94	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
96	95	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
97	96	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ((𝑣 ·ℎ 𝑧) −ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
99	90, 98	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
100		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 ·ℎ 𝑧) = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧))
101	100	rspceeqv 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
102	80, 99, 101	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧))
103	102	rexlimdva2 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑣 ·ℎ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
104	79, 103	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
105	77, 104	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
106		elspansn 31389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 ·ℎ 𝑧)))
108	105, 107	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
110		spansneleq 31393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
111	110	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
112	109, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
113	75, 112	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
114	113	necon3d 2958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
115	114	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
116	115	adantrl 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
117	116	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵)
118		spanpr 31403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
120		oveq12 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
121		df-pr 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
122	121	fveq2i 6900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
123		snssi 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
124		snssi 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
125		spanun 31368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
126	123, 124, 125	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
127	122, 126	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})))
128		spansnch 31383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
129		spansnj 31470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
130	128, 129	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) +ℋ (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})))
131	127, 130	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ℋ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
132	120, 131	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
133	119, 132	sseqtrrd 4021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
134	133	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
136		neeq1 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴))
137		neeq1 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵))
138		sseq1 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
139	136, 137, 138	3anbi123d 1433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
140	139	rspcev 3609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 +ℎ 𝑧)}) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
141	27, 73, 117, 135, 140	syl13anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
142	141	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
143	8, 142	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
144	143	expl 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
145	4, 144	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
146	145	rexlimivv 3196	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
147	3, 146	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
148	1, 2, 147	syl2anb 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
149	148	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4629  {cpr 4631  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  -cneg 11476   ℋchba 30742   +_ℎ cva 30743   ·_ℎ csm 30744  0_ℎc0v 30747   −_ℎ cmv 30748   C_ℋ cch 30752   +_ℋ cph 30754  spancspn 30755   ∨_ℋ chj 30756  HAtomscat 30788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908  ax-hcompl 31025

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-lm 23146  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-dip 30524  df-ssp 30545  df-ph 30636  df-cbn 30686  df-hnorm 30791  df-hba 30792  df-hvsub 30794  df-hlim 30795  df-hcau 30796  df-sh 31030  df-ch 31044  df-oc 31075  df-ch0 31076  df-shs 31131  df-span 31132  df-chj 31133  df-pjh 31218  df-cv 32102  df-at 32161

This theorem is referenced by:  chirredi  32217