Theorem hvsubcan 31722

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
3		hvsubval 31664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))))
6		neg1cn 12343	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 31661	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
9		hvmulcl 31661	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10	6, 9	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvaddcan 31718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ↔ ( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ↔ ( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶)))
13	8, 12	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ↔ ( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶)))
14		neg1ne0 12345	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
15	6, 14	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
16		hvmulcan 31720	. . . 4 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
17	15, 16	mp3an1 1478	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
18	17	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (( -1 ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	5, 13, 18	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   -cneg 11579   ℋchba 31567   +_ℎ cva 31568   ·_ℎ csm 31569   −_ℎ cmv 31573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvmulass 31655  ax-hvdistr1 31656  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-hvsub 31619

This theorem is used by:  hvsubcan2  31723