![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hvsubcan | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hvsubcan | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โโ ๐ต) = (๐ด โโ ๐ถ) โ ๐ต = ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hvsubval 30055 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โโ ๐ต) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต))) | |
2 | 1 | 3adant3 1132 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด โโ ๐ต) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต))) |
3 | hvsubval 30055 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด โโ ๐ถ) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ))) | |
4 | 3 | 3adant2 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด โโ ๐ถ) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ))) |
5 | 2, 4 | eqeq12d 2747 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โโ ๐ต) = (๐ด โโ ๐ถ) โ (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ)))) |
6 | neg1cn 12291 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
7 | hvmulcl 30052 | . . . 4 โข ((-1 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-1 ยทโ ๐ต) โ โ) | |
8 | 6, 7 | mpan 688 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (-1 ยทโ ๐ต) โ โ) |
9 | hvmulcl 30052 | . . . . 5 โข ((-1 โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (-1 ยทโ ๐ถ) โ โ) | |
10 | 6, 9 | mpan 688 | . . . 4 โข (๐ถ โ โ โ (-1 ยทโ ๐ถ) โ โ) |
11 | hvaddcan 30109 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (-1 ยทโ ๐ต) โ โ โง (-1 ยทโ ๐ถ) โ โ) โ ((๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ)) โ (-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ))) | |
12 | 10, 11 | syl3an3 1165 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (-1 ยทโ ๐ต) โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ)) โ (-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ))) |
13 | 8, 12 | syl3an2 1164 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ถ)) โ (-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ))) |
14 | neg1ne0 12293 | . . . . 5 โข -1 โ 0 | |
15 | 6, 14 | pm3.2i 471 | . . . 4 โข (-1 โ โ โง -1 โ 0) |
16 | hvmulcan 30111 | . . . 4 โข (((-1 โ โ โง -1 โ 0) โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ) โ ๐ต = ๐ถ)) | |
17 | 15, 16 | mp3an1 1448 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ) โ ๐ต = ๐ถ)) |
18 | 17 | 3adant1 1130 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((-1 ยทโ ๐ต) = (-1 ยทโ ๐ถ) โ ๐ต = ๐ถ)) |
19 | 5, 13, 18 | 3bitrd 304 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โโ ๐ต) = (๐ด โโ ๐ถ) โ ๐ต = ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2939 (class class class)co 7377 โcc 11073 0cc0 11075 1c1 11076 -cneg 11410 โchba 29958 +โ cva 29959 ยทโ csm 29960 โโ cmv 29964 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-sep 5276 ax-nul 5283 ax-pow 5340 ax-pr 5404 ax-un 7692 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-hfvadd 30039 ax-hvcom 30040 ax-hvass 30041 ax-hv0cl 30042 ax-hvaddid 30043 ax-hfvmul 30044 ax-hvmulid 30045 ax-hvmulass 30046 ax-hvdistr1 30047 ax-hvdistr2 30048 ax-hvmul0 30049 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3419 df-v 3461 df-sbc 3758 df-csb 3874 df-dif 3931 df-un 3933 df-in 3935 df-ss 3945 df-nul 4303 df-if 4507 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4886 df-iun 4976 df-br 5126 df-opab 5188 df-mpt 5209 df-id 5551 df-po 5565 df-so 5566 df-xp 5659 df-rel 5660 df-cnv 5661 df-co 5662 df-dm 5663 df-rn 5664 df-res 5665 df-ima 5666 df-iota 6468 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7333 df-ov 7380 df-oprab 7381 df-mpo 7382 df-er 8670 df-en 8906 df-dom 8907 df-sdom 8908 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11411 df-neg 11412 df-div 11837 df-hvsub 30010 |
This theorem is referenced by: hvsubcan2 30114 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |