Theorem hvsubcan 28487

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 28429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	3adant3 1168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
3		hvsubval 28429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
4	3	3adant2 1167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
5	2, 4	eqeq12d 2841	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
6		neg1cn 11473	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 28426	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 683	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
9		hvmulcl 28426	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10	6, 9	mpan 683	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvaddcan 28483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	syl3an3 1211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
13	8, 12	syl3an2 1209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
14		neg1ne0 11475	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
15	6, 14	pm3.2i 464	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
16		hvmulcan 28485	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
17	15, 16	mp3an1 1578	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
18	17	3adant1 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	5, 13, 18	3bitrd 297	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253  1c1 10254  -cneg 10587   ℋchba 28332   +_ℎ cva 28333   ·_ℎ csm 28334   −_ℎ cmv 28338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-hfvadd 28413  ax-hvcom 28414  ax-hvass 28415  ax-hv0cl 28416  ax-hvaddid 28417  ax-hfvmul 28418  ax-hvmulid 28419  ax-hvmulass 28420  ax-hvdistr1 28421  ax-hvdistr2 28422  ax-hvmul0 28423

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-hvsub 28384

This theorem is referenced by:  hvsubcan2  28488