HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan 30113
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcan ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))

Proof of Theorem hvsubcan
StepHypRef Expression
1 hvsubval 30055 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
213adant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
3 hvsubval 30055 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
433adant2 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
52, 4eqeq12d 2747 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) โ†” (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ))))
6 neg1cn 12291 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
7 hvmulcl 30052 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
86, 7mpan 688 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
9 hvmulcl 30052 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
106, 9mpan 688 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
11 hvaddcan 30109 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†” (-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
1210, 11syl3an3 1165 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†” (-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
138, 12syl3an2 1164 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†” (-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
14 neg1ne0 12293 . . . . 5 -1 โ‰  0
156, 14pm3.2i 471 . . . 4 (-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0)
16 hvmulcan 30111 . . . 4 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
1715, 16mp3an1 1448 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
18173adant1 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
195, 13, 183bitrd 304 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  -cneg 11410   โ„‹chba 29958   +โ„Ž cva 29959   ยทโ„Ž csm 29960   โˆ’โ„Ž cmv 29964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hfvadd 30039  ax-hvcom 30040  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvmulass 30046  ax-hvdistr1 30047  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-hvsub 30010
This theorem is referenced by:  hvsubcan2  30114
  Copyright terms: Public domain W3C validator