HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2neg 29431
Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2neg (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆ’โ„Ž ๐ด) = (-1 ยทโ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem hv2neg
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29406 . . 3 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
2 hvsubval 29419 . . 3 ((0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (0โ„Ž โˆ’โ„Ž ๐ด) = (0โ„Ž +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
31, 2mpan 688 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆ’โ„Ž ๐ด) = (0โ„Ž +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
4 neg1cn 12129 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 hvmulcl 29416 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
64, 5mpan 688 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
7 hvaddid2 29426 . . 3 ((-1 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = (-1 ยทโ„Ž ๐ด))
86, 7syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = (-1 ยทโ„Ž ๐ด))
93, 8eqtrd 2776 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆ’โ„Ž ๐ด) = (-1 ยทโ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7303  โ„‚cc 10911  1c1 10914  -cneg 11248   โ„‹chba 29322   +โ„Ž cva 29323   ยทโ„Ž csm 29324  0โ„Žc0v 29327   โˆ’โ„Ž cmv 29328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-hvcom 29404  ax-hv0cl 29406  ax-hvaddid 29407  ax-hfvmul 29408
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-po 5510  df-so 5511  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-ltxr 11056  df-sub 11249  df-neg 11250  df-hvsub 29374
This theorem is referenced by:  hv2negi  29434  normneg  29547
  Copyright terms: Public domain W3C validator