Theorem hv2neg 28803

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hv2neg	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (-1 ·ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hv2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28778	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		hvsubval 28791	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
4		neg1cn 11745	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		hvmulcl 28788	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
6	4, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
7		hvaddid2 28798	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (-1 ·ℎ 𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2855	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (-1 ·ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  1c1 10531  -cneg 10864   ℋchba 28694   +_ℎ cva 28695   ·_ℎ csm 28696  0_ℎc0v 28699   −_ℎ cmv 28700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-hvcom 28776  ax-hv0cl 28778  ax-hvaddid 28779  ax-hfvmul 28780

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-hvsub 28746

This theorem is referenced by:  hv2negi  28806  normneg  28919