Theorem lnfnsubi 32398

Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnsubi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12198	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnaddmuli 32397	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))))
4	1, 3	mp3an1 1477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))))
5		hvsubval 31368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
6	5	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
7	2	lnfnfi 32393	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelcdmi 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℂ)
9	7	ffvelcdmi 7078	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
10		mulm1 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐵) ∈ ℂ → (-1 · (𝑇‘𝐵)) = -(𝑇‘𝐵))
11	10	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐵) ∈ ℂ → ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) + -(𝑇‘𝐵)))
12	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) + -(𝑇‘𝐵)))
13		negsub 11501	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇‘𝐴) + -(𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵)))
14	12, 13	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))))
15	8, 9, 14	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) + (-1 · (𝑇‘𝐵))))
16	4, 6, 15	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) − (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273   −_ℎ cmv 31277  LinFnclf 31306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-hilex 31351  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-hvsub 31323  df-lnfn 32200

This theorem is referenced by:  lnfnconi  32407  riesz3i  32414