HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnsubi 31928
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12359 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 31927 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
41, 3mp3an1 1444 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
5 hvsubval 30898 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
65fveq2d 6900 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
72lnfnfi 31923 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelcdmi 7092 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
97ffvelcdmi 7092 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
10 mulm1 11687 . . . . . 6 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → (-1 · (𝑇𝐵)) = -(𝑇𝐵))
1110oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
1211adantl 480 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
13 negsub 11540 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
1412, 13eqtr2d 2766 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
158, 9, 14syl2an 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
164, 6, 153eqtr4d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477  chba 30801   + cva 30802   · csm 30803   cmv 30807  LinFnclf 30836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hilex 30881  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478  df-neg 11479  df-hvsub 30853  df-lnfn 31730
This theorem is referenced by:  lnfnconi  31937  riesz3i  31944
  Copyright terms: Public domain W3C validator