HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnsubi 29481
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11500 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 29480 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
41, 3mp3an1 1521 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
5 hvsubval 28449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
65fveq2d 6452 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
72lnfnfi 29476 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6624 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
97ffvelrni 6624 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
10 mulm1 10818 . . . . . 6 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → (-1 · (𝑇𝐵)) = -(𝑇𝐵))
1110oveq2d 6940 . . . . 5 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
1211adantl 475 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
13 negsub 10673 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
1412, 13eqtr2d 2815 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
158, 9, 14syl2an 589 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
164, 6, 153eqtr4d 2824 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  cmin 10608  -cneg 10609  chba 28352   + cva 28353   · csm 28354   cmv 28358  LinFnclf 28387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-hilex 28432  ax-hv0cl 28436  ax-hvaddid 28437  ax-hfvmul 28438  ax-hvmulid 28439
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-neg 10611  df-hvsub 28404  df-lnfn 29283
This theorem is referenced by:  lnfnconi  29490  riesz3i  29497
  Copyright terms: Public domain W3C validator