HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfnsubi 31554
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12330 . . 3 -1 ∈ β„‚
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 31553 . . 3 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
41, 3mp3an1 1448 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
5 hvsubval 30524 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) = (𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡)))
65fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))))
72lnfnfi 31549 . . . 4 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚)
97ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
10 mulm1 11659 . . . . . 6 ((π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅)) = -(π‘‡β€˜π΅))
1110oveq2d 7427 . . . . 5 ((π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚ β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))) = ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)))
1211adantl 482 . . . 4 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))) = ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)))
13 negsub 11512 . . . 4 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))
1412, 13eqtr2d 2773 . . 3 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
158, 9, 14syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
164, 6, 153eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   β„‹chba 30427   +β„Ž cva 30428   Β·β„Ž csm 30429   βˆ’β„Ž cmv 30433  LinFnclf 30462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-hilex 30507  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-hvsub 30479  df-lnfn 31356
This theorem is referenced by:  lnfnconi  31563  riesz3i  31570
  Copyright terms: Public domain W3C validator