HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnsubi 30696
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))

Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12188 . . 3 -1 ∈ β„‚
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 30695 . . 3 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
41, 3mp3an1 1447 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
5 hvsubval 29666 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡) = (𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡)))
65fveq2d 6829 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = (π‘‡β€˜(𝐴 +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝐡))))
72lnfnfi 30691 . . . 4 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7016 . . 3 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚)
97ffvelcdmi 7016 . . 3 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
10 mulm1 11517 . . . . . 6 ((π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅)) = -(π‘‡β€˜π΅))
1110oveq2d 7353 . . . . 5 ((π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚ β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))) = ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)))
1211adantl 482 . . . 4 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))) = ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)))
13 negsub 11370 . . . 4 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) + -(π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))
1412, 13eqtr2d 2777 . . 3 (((π‘‡β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
158, 9, 14syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)) = ((π‘‡β€˜π΄) + (-1 Β· (π‘‡β€˜π΅))))
164, 6, 153eqtr4d 2786 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄) βˆ’ (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  β„‚cc 10970  1c1 10973   + caddc 10975   Β· cmul 10977   βˆ’ cmin 11306  -cneg 11307   β„‹chba 29569   +β„Ž cva 29570   Β·β„Ž csm 29571   βˆ’β„Ž cmv 29575  LinFnclf 29604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-hilex 29649  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-sub 11308  df-neg 11309  df-hvsub 29621  df-lnfn 30498
This theorem is referenced by:  lnfnconi  30705  riesz3i  30712
  Copyright terms: Public domain W3C validator