HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnsubi 30127
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnsubi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11944 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnaddmuli 30126 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
41, 3mp3an1 1450 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
5 hvsubval 29097 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
65fveq2d 6721 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
72lnfnfi 30122 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6903 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
97ffvelrni 6903 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
10 mulm1 11273 . . . . . 6 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → (-1 · (𝑇𝐵)) = -(𝑇𝐵))
1110oveq2d 7229 . . . . 5 ((𝑇𝐵) ∈ ℂ → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
1211adantl 485 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)))
13 negsub 11126 . . . 4 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) + -(𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
1412, 13eqtr2d 2778 . . 3 (((𝑇𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
158, 9, 14syl2an 599 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (-1 · (𝑇𝐵))))
164, 6, 153eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  -cneg 11063  chba 29000   + cva 29001   · csm 29002   cmv 29006  LinFnclf 29035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-hilex 29080  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065  df-hvsub 29052  df-lnfn 29929
This theorem is referenced by:  lnfnconi  30136  riesz3i  30143
  Copyright terms: Public domain W3C validator