Theorem shsel3 29197

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel3	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 29196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
3		shel 29093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		shel 29093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5		hvaddsubval 28915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
7	6	an4s 659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
8	7	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
9	2, 8	sylan9eqr 2815	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
10		neg1cn 11788	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulcl 29100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
12	10, 11	mp3an2 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
13	12	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
16	15	rspceeqv 3556	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
17	14, 16	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
18	9, 17	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
19	18	rexlimdva2 3211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
21		shel 29093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22		hvsubval 28898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
23	3, 21, 22	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
24	23	an4s 659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
25	24	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
26	20, 25	sylan9eqr 2815	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
27		shmulcl 29100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
28	10, 27	mp3an2 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
29	28	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
30	29	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
31		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
32	31	rspceeqv 3556	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
33	30, 32	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
34	26, 33	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
35	34	rexlimdva2 3211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
36	19, 35	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
37	36	rexbidva 3220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
38	1, 37	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  1c1 10576  -cneg 10909   ℋchba 28801   +_ℎ cva 28802   ·_ℎ csm 28803   −_ℎ cmv 28807   S_ℋ csh 28810   +_ℋ cph 28813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-hilex 28881  ax-hfvadd 28882  ax-hvcom 28883  ax-hvass 28884  ax-hv0cl 28885  ax-hvaddid 28886  ax-hfvmul 28887  ax-hvmulid 28888  ax-hvmulass 28889  ax-hvdistr2 28891  ax-hvmul0 28892

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911  df-grpo 28375  df-ablo 28427  df-hvsub 28853  df-sh 29089  df-shs 29190

This theorem is referenced by:  pjimai  30058