Theorem shsel3 29086

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel3	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 29085	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
3		shel 28982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		shel 28982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5		hvaddsubval 28804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
7	6	an4s 658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
8	7	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
9	2, 8	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
10		neg1cn 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulcl 28989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
12	10, 11	mp3an2 1445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
13	12	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
16	15	rspceeqv 3638	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
17	14, 16	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
18	9, 17	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
19	18	rexlimdva2 3287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
21		shel 28982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22		hvsubval 28787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
23	3, 21, 22	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
24	23	an4s 658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
25	24	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
26	20, 25	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
27		shmulcl 28989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
28	10, 27	mp3an2 1445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
29	28	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
30	29	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
31		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
32	31	rspceeqv 3638	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
33	30, 32	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
34	26, 33	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
35	34	rexlimdva2 3287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
36	19, 35	impbid 214	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
37	36	rexbidva 3296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
38	1, 37	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532  -cneg 10865   ℋchba 28690   +_ℎ cva 28691   ·_ℎ csm 28692   −_ℎ cmv 28696   S_ℋ csh 28699   +_ℋ cph 28702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-grpo 28264  df-ablo 28316  df-hvsub 28742  df-sh 28978  df-shs 29079

This theorem is referenced by:  pjimai  29947