Theorem shsel3 31519

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel3	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 31518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
3		shel 31415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		shel 31415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5		hvaddsubval 31237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
7	6	an4s 670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
8	7	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
9	2, 8	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
10		neg1cn 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulcl 31422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
12	10, 11	mp3an2 1471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
13	12	adantll 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
16	15	rspceeqv 3605	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
17	14, 16	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
18	9, 17	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
19	18	rexlimdva2 3166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
21		shel 31415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22		hvsubval 31220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
23	3, 21, 22	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
24	23	an4s 670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
25	24	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
26	20, 25	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
27		shmulcl 31422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
28	10, 27	mp3an2 1471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
29	28	adantll 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
30	29	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
31		oveq2 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
32	31	rspceeqv 3605	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
33	30, 32	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
34	26, 33	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
35	34	rexlimdva2 3166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
36	19, 35	impbid 214	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
37	36	rexbidva 3185	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
38	1, 37	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  1c1 11075  -cneg 11416   ℋchba 31123   +_ℎ cva 31124   ·_ℎ csm 31125   −_ℎ cmv 31129   S_ℋ csh 31132   +_ℋ cph 31135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-hilex 31203  ax-hfvadd 31204  ax-hvcom 31205  ax-hvass 31206  ax-hv0cl 31207  ax-hvaddid 31208  ax-hfvmul 31209  ax-hvmulid 31210  ax-hvmulass 31211  ax-hvdistr2 31213  ax-hvmul0 31214

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-sub 11417  df-neg 11418  df-grpo 30697  df-ablo 30749  df-hvsub 31175  df-sh 31411  df-shs 31512

This theorem is referenced by:  pjimai  32380