Theorem shsel3 31676

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel3	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 31675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
2		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
3		shel 31572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		shel 31572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5		hvaddsubval 31394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
7	6	an4s 672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
8	7	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
9	2, 8	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
10		neg1cn 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulcl 31579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
12	10, 11	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
13	12	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
16	15	rspceeqv 3604	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
17	14, 16	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
18	9, 17	syldan 602	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
19	18	rexlimdva2 3168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
20		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
21		shel 31572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22		hvsubval 31377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
23	3, 21, 22	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
24	23	an4s 672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
25	24	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
26	20, 25	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
27		shmulcl 31579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
28	10, 27	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
29	28	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
30	29	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
31		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
32	31	rspceeqv 3604	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
33	30, 32	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
34	26, 33	syldan 602	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
35	34	rexlimdva2 3168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
36	19, 35	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
37	36	rexbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
38	1, 37	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  1c1 11105  -cneg 11446   ℋchba 31280   +_ℎ cva 31281   ·_ℎ csm 31282   −_ℎ cmv 31286   S_ℋ csh 31289   +_ℋ cph 31292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvmulass 31368  ax-hvdistr2 31370  ax-hvmul0 31371

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30854  df-ablo 30906  df-hvsub 31332  df-sh 31568  df-shs 31669

This theorem is used by:  pjimai  32537