HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 30431
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 30430 . 2 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)))
2 id 22 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3 shel 30327 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
4 shel 30327 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
5 hvaddsubval 30149 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
76an4s 658 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
87anassrs 468 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
92, 8sylan9eqr 2793 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
10 neg1cn 12308 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
11 shmulcl 30334 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1210, 11mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1312adantll 712 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1413adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
1615rspceeqv 3629 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
1714, 16sylan 580 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
189, 17syldan 591 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
1918rexlimdva2 3156 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
20 id 22 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
21 shel 30327 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
22 hvsubval 30132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
233, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2423an4s 658 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2524anassrs 468 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2620, 25sylan9eqr 2793 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
27 shmulcl 30334 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
2810, 27mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
2928adantll 712 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
3029adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
31 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
3231rspceeqv 3629 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3330, 32sylan 580 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3426, 33syldan 591 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3534rexlimdva2 3156 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)))
3619, 35impbid 211 . . 3 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
3736rexbidva 3175 . 2 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
381, 37bitrd 278 1 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3069  (class class class)co 7393  โ„‚cc 11090  1c1 11093  -cneg 11427   โ„‹chba 30035   +โ„Ž cva 30036   ยทโ„Ž csm 30037   โˆ’โ„Ž cmv 30041   Sโ„‹ csh 30044   +โ„‹ cph 30047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvmulass 30123  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428  df-neg 11429  df-grpo 29609  df-ablo 29661  df-hvsub 30087  df-sh 30323  df-shs 30424
This theorem is referenced by:  pjimai  31292
  Copyright terms: Public domain W3C validator