HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 30568
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 30567 . 2 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)))
2 id 22 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3 shel 30464 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
4 shel 30464 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
5 hvaddsubval 30286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
63, 4, 5syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
76an4s 659 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
87anassrs 469 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
92, 8sylan9eqr 2795 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
10 neg1cn 12326 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
11 shmulcl 30471 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1210, 11mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1312adantll 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1413adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง)))
1615rspceeqv 3634 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
1714, 16sylan 581 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
189, 17syldan 592 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
1918rexlimdva2 3158 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
20 id 22 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ))
21 shel 30464 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
22 hvsubval 30269 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
233, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2423an4s 659 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2524anassrs 469 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2620, 25sylan9eqr 2795 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
27 shmulcl 30471 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
2810, 27mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
2928adantll 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
3029adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
31 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
3231rspceeqv 3634 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3330, 32sylan 581 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3426, 33syldan 592 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง))
3534rexlimdva2 3158 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง)))
3619, 35impbid 211 . . 3 (((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
3736rexbidva 3177 . 2 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
381, 37bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ Sโ„‹ ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ = (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111  -cneg 11445   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   โˆ’โ„Ž cmv 30178   Sโ„‹ csh 30181   +โ„‹ cph 30184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29746  df-ablo 29798  df-hvsub 30224  df-sh 30460  df-shs 30561
This theorem is referenced by:  pjimai  31429
  Copyright terms: Public domain W3C validator