Theorem shsel3 31405

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel3	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 31404	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
3		shel 31301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		shel 31301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5		hvaddsubval 31123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
7	6	an4s 666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
8	7	anassrs 468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
9	2, 8	sylan9eqr 2796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
10		neg1cn 12136	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		shmulcl 31308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
12	10, 11	mp3an2 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
13	12	adantll 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (-1 ·ℎ 𝑧) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧)))
16	15	rspceeqv 3583	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
17	14, 16	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ (-1 ·ℎ 𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
18	9, 17	syldan 597	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
19	18	rexlimdva2 3142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦))
21		shel 31301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22		hvsubval 31106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
23	3, 21, 22	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
24	23	an4s 666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
25	24	anassrs 468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
26	20, 25	sylan9eqr 2796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
27		shmulcl 31308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
28	10, 27	mp3an2 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
29	28	adantll 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
30	29	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
31		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
32	31	rspceeqv 3583	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
33	30, 32	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
34	26, 33	syldan 597	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧))
35	34	rexlimdva2 3142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧)))
36	19, 35	impbid 213	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
37	36	rexbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))
38	1, 37	bitrd 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 −ℎ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  1c1 11031  -cneg 11370   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   ·_ℎ csm 31011   −_ℎ cmv 31015   S_ℋ csh 31018   +_ℋ cph 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-neg 11372  df-grpo 30583  df-ablo 30635  df-hvsub 31061  df-sh 31297  df-shs 31398

This theorem is referenced by:  pjimai  32266