HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 31344
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 31343 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
2 id 22 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5 hvaddsubval 31062 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
76an4s 660 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
87anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
92, 8sylan9eqr 2797 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
10 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
11 shmulcl 31247 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1210, 11mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1312adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1413adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
15 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
1615rspceeqv 3645 . . . . . . 7 (((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1714, 16sylan 580 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
189, 17syldan 591 . . . . 5 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1918rexlimdva2 3155 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
20 id 22 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 𝑦))
21 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22 hvsubval 31045 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
233, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2423an4s 660 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2524anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2620, 25sylan9eqr 2797 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
27 shmulcl 31247 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
2810, 27mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
2928adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3029adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
31 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
3231rspceeqv 3645 . . . . . . 7 (((-1 · 𝑦) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3330, 32sylan 580 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3426, 33syldan 591 . . . . 5 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3534rexlimdva2 3155 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
3619, 35impbid 212 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
3736rexbidva 3175 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
381, 37bitrd 279 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954   S csh 30957   + cph 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-shs 31337
This theorem is referenced by:  pjimai  32205
  Copyright terms: Public domain W3C validator