Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 29197
 Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 29196 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
2 id 22 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3 shel 29093 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 shel 29093 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5 hvaddsubval 28915 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
63, 4, 5syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
76an4s 659 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
87anassrs 471 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
92, 8sylan9eqr 2815 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
10 neg1cn 11788 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
11 shmulcl 29100 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1210, 11mp3an2 1446 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1312adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1413adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
15 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
1615rspceeqv 3556 . . . . . . 7 (((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1714, 16sylan 583 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
189, 17syldan 594 . . . . 5 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1918rexlimdva2 3211 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
20 id 22 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 𝑦))
21 shel 29093 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
22 hvsubval 28898 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
233, 21, 22syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2423an4s 659 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2524anassrs 471 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2620, 25sylan9eqr 2815 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
27 shmulcl 29100 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
2810, 27mp3an2 1446 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
2928adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3029adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
31 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
3231rspceeqv 3556 . . . . . . 7 (((-1 · 𝑦) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3330, 32sylan 583 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3426, 33syldan 594 . . . . 5 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3534rexlimdva2 3211 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
3619, 35impbid 215 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
3736rexbidva 3220 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
381, 37bitrd 282 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  1c1 10576  -cneg 10909   ℋchba 28801   +ℎ cva 28802   ·ℎ csm 28803   −ℎ cmv 28807   Sℋ csh 28810   +ℋ cph 28813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-hilex 28881  ax-hfvadd 28882  ax-hvcom 28883  ax-hvass 28884  ax-hv0cl 28885  ax-hvaddid 28886  ax-hfvmul 28887  ax-hvmulid 28888  ax-hvmulass 28889  ax-hvdistr2 28891  ax-hvmul0 28892 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-sub 10910  df-neg 10911  df-grpo 28375  df-ablo 28427  df-hvsub 28853  df-sh 29089  df-shs 29190 This theorem is referenced by:  pjimai  30058
 Copyright terms: Public domain W3C validator