Theorem iccdisj2 46191

Description: If the upper bound of one closed interval is less than the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccdisj2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem iccdisj2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
3		ltrelxr 11036	. . . . . 6 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5652	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1	xrleidd 12886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐴)
8		iccssico 13151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
9	1, 6, 7, 2, 8	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
10		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		df-ico 13085	. . . 4 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
12		df-icc 13086	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
13		xrlenlt 11040	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐶))
14	11, 12, 13	ixxdisj 13094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
15	1, 6, 10, 14	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
16	9, 15	ssdisjd 46153	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  iccdisj  46192  sepfsepc  46221