Theorem iccdisj2 48881

Description: If the upper bound of one closed interval is less than the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccdisj2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem iccdisj2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
3		ltrelxr 11176	. . . . . 6 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5684	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1	xrleidd 13054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐴)
8		iccssico 13321	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
9	1, 6, 7, 2, 8	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		df-ico 13254	. . . 4 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
12		df-icc 13255	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
13		xrlenlt 11180	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐶))
14	11, 12, 13	ixxdisj 13263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
15	1, 6, 10, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
16	9, 15	ssdisjd 48792	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  [,)cico 13250  [,]cicc 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ico 13254  df-icc 13255

This theorem is referenced by:  iccdisj  48882  sepfsepc  48912