Theorem iccdisj2 49695

Description: If the upper bound of one closed interval is less than the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccdisj2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem iccdisj2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
3		ltrelxr 11265	. . . . . 6 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5726	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
6	5	simprd 500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1	xrleidd 13172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐴)
8		iccssico 13440	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
9	1, 6, 7, 2, 8	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		df-ico 13373	. . . 4 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
12		df-icc 13374	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
13		xrlenlt 11269	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐶))
14	11, 12, 13	ixxdisj 13382	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
15	1, 6, 10, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
16	9, 15	ssdisjd 49606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  [,)cico 13369  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ico 13373  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  iccdisj  49696  sepfsepc  49726