Theorem iccdisj2 49824

Description: If the upper bound of one closed interval is less than the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccdisj2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem iccdisj2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
3		ltrelxr 11295	. . . . . 6 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	3	brel 5720	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
6	5	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1	xrleidd 13204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐴)
8		iccssico 13472	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
9	1, 6, 7, 2, 8	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐶))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
11		df-ico 13405	. . . 4 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
12		df-icc 13406	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
13		xrlenlt 11299	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐶))
14	11, 12, 13	ixxdisj 13414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
15	1, 6, 10, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)
16	9, 15	ssdisjd 49737	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐶[,]𝐷)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269  [,)cico 13401  [,]cicc 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-ico 13405  df-icc 13406

This theorem is used by:  iccdisj  49825  sepfsepc  49855