Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sepfsepc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sepfsepc 47034
Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sepfsepc.1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})))
Assertion
Ref Expression
sepfsepc (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,π‘š,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘š)

Proof of Theorem sepfsepc
StepHypRef Expression
1 sepfsepc.1 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})))
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 1re 11162 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0le0 12261 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
6 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
7 3ne0 12266 . . . . . . . . . 10 3 β‰  0
86, 7rereccli 11927 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℝ
9 1lt3 12333 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
10 recgt1i 12059 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) β†’ (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
116, 9, 10mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
1211simpri 487 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < 1
138, 4, 12ltleii 11285 . . . . . . . 8 (1 / 3) ≀ 1
14 iccss 13339 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (1 / 3) ≀ 1)) β†’ (0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1))
153, 4, 5, 13, 14mp4an 692 . . . . . . 7 (0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1)
16 i0oii 47026 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) ≀ 1 β†’ (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,)(1 / 3)) ∈ II
1811simpli 485 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 3)
198rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ*
20 elico2 13335 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) β†’ (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
213, 19, 20mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
2221biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) β†’ 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
2322snssd 4774 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) β†’ {0} βŠ† (0[,)(1 / 3)))
243, 5, 18, 23mp3an 1462 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (0[,)(1 / 3))
25 icossicc 13360 . . . . . . . . 9 (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3))
2624, 25pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))
27 sseq2 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ ({0} βŠ† 𝑔 ↔ {0} βŠ† (0[,)(1 / 3))))
28 sseq1 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ (𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3))))
2927, 28anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ (({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))))
3029rspcev 3584 . . . . . . . 8 (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))))
3117, 26, 30mp2an 691 . . . . . . 7 βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)))
32 iitop 24259 . . . . . . . 8 II ∈ Top
3324, 25sstri 3958 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (0[,](1 / 3))
3433, 15sstri 3958 . . . . . . . 8 {0} βŠ† (0[,]1)
35 iiuni 24260 . . . . . . . . 9 (0[,]1) = βˆͺ II
3635isnei 22470 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {0} βŠ† (0[,]1)) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))))))
3732, 34, 36mp2an 691 . . . . . . 7 ((0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)))))
3815, 31, 37mpbir2an 710 . . . . . 6 (0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0})
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}))
40 simprl 770 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}))
412, 39, 40cnneiima 47023 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))
42 halfge0 12377 . . . . . . . 8 0 ≀ (1 / 2)
43 1le1 11790 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
44 iccss 13339 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (1 / 2) ∧ 1 ≀ 1)) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1))
453, 4, 42, 43, 44mp4an 692 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1)
46 io1ii 47027 . . . . . . . . 9 (0 ≀ (1 / 2) β†’ ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
4742, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48 halflt1 12378 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
49 halfre 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
5049rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
51 elioc2 13334 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1)))
5250, 4, 51mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1))
5352biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1) β†’ 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
5453snssd 4774 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1) β†’ {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1))
554, 48, 43, 54mp3an 1462 . . . . . . . . 9 {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1)
56 iocssicc 13361 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1)
5755, 56pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))
58 sseq2 3975 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ ({1} βŠ† β„Ž ↔ {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1)))
59 sseq1 3974 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ (β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1)))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ (({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))))
6160rspcev 3584 . . . . . . . 8 ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)))
6247, 57, 61mp2an 691 . . . . . . 7 βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1))
6355, 56sstri 3958 . . . . . . . . 9 {1} βŠ† ((1 / 2)[,]1)
6463, 45sstri 3958 . . . . . . . 8 {1} βŠ† (0[,]1)
6535isnei 22470 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {1} βŠ† (0[,]1)) β†’ (((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)))))
6632, 64, 65mp2an 691 . . . . . . 7 (((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1))))
6745, 62, 66mpbir2an 710 . . . . . 6 ((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1})
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}))
69 simprr 772 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))
702, 68, 69cnneiima 47023 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡))
71 icccldii 47025 . . . . . 6 ((0 ≀ 0 ∧ (1 / 3) ≀ 1) β†’ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II))
725, 13, 71mp2an 691 . . . . 5 (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II)
73 cnclima 22635 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II)) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½))
742, 72, 73sylancl 587 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½))
75 icccldii 47025 . . . . . 6 ((0 ≀ (1 / 2) ∧ 1 ≀ 1) β†’ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II))
7642, 43, 75mp2an 691 . . . . 5 ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II)
77 cnclima 22635 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II)) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
782, 76, 77sylancl 587 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
79 eqid 2737 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8079, 35cnf 22613 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(0[,]1))
8180ffund 6677 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) β†’ Fun 𝑓)
822, 81syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ Fun 𝑓)
83 0xr 11209 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
84 1xr 11221 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
85 2lt3 12332 . . . . . . . 8 2 < 3
86 2re 12234 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87 2pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 2
88 3pos 12265 . . . . . . . . 9 0 < 3
8986, 6, 87, 88ltrecii 12078 . . . . . . . 8 (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
9085, 89mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < (1 / 2)
91 iccdisj2 47004 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…)
9283, 84, 90, 91mp3an 1462 . . . . . 6 ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…)
94 ssidd 3972 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) βŠ† (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))))
95 ssidd 3972 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) βŠ† (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)))
9682, 93, 94, 95predisj 46969 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)
97 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ (𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
98 ineq1 4170 . . . . . . 7 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ (𝑛 ∩ π‘š) = ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š))
9998eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ ((𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…))
10097, 993anbi13d 1439 . . . . 5 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ ((𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…)))
101 eleq1 2826 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
102 ineq2 4171 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))))
103102eqeq1d 2739 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ… ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…))
104101, 1033anbi23d 1440 . . . . 5 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)))
105100, 104rspc2ev 3595 . . . 4 (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
10641, 70, 74, 78, 96, 105syl113anc 1383 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
107106rexlimiva 3145 . 2 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
1081, 107syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  (,]cioc 13272  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  Topctop 22258  Clsdccld 22383  neicnei 22464   Cn ccn 22591  IIcii 24254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-ii 24256
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator