Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sepfsepc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sepfsepc 47647
Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sepfsepc.1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})))
Assertion
Ref Expression
sepfsepc (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,π‘š,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘š)
Proof of Theorem sepfsepc
StepHypRef Expression
1 sepfsepc.1 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})))
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0le0 12317 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
6 3re 12296 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
7 3ne0 12322 . . . . . . . . . 10 3 β‰  0
86, 7rereccli 11983 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℝ
9 1lt3 12389 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
10 recgt1i 12115 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) β†’ (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
116, 9, 10mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
1211simpri 484 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < 1
138, 4, 12ltleii 11341 . . . . . . . 8 (1 / 3) ≀ 1
14 iccss 13396 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (1 / 3) ≀ 1)) β†’ (0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1))
153, 4, 5, 13, 14mp4an 689 . . . . . . 7 (0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1)
16 i0oii 47639 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) ≀ 1 β†’ (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,)(1 / 3)) ∈ II
1811simpli 482 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 3)
198rexri 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ*
20 elico2 13392 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) β†’ (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
213, 19, 20mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
2221biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) β†’ 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
2322snssd 4811 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) β†’ {0} βŠ† (0[,)(1 / 3)))
243, 5, 18, 23mp3an 1459 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (0[,)(1 / 3))
25 icossicc 13417 . . . . . . . . 9 (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3))
2624, 25pm3.2i 469 . . . . . . . 8 ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))
27 sseq2 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ ({0} βŠ† 𝑔 ↔ {0} βŠ† (0[,)(1 / 3))))
28 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ (𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3))))
2927, 28anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) β†’ (({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))))
3029rspcev 3611 . . . . . . . 8 (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} βŠ† (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) βŠ† (0[,](1 / 3)))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))))
3117, 26, 30mp2an 688 . . . . . . 7 βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)))
32 iitop 24620 . . . . . . . 8 II ∈ Top
3324, 25sstri 3990 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (0[,](1 / 3))
3433, 15sstri 3990 . . . . . . . 8 {0} βŠ† (0[,]1)
35 iiuni 24621 . . . . . . . . 9 (0[,]1) = βˆͺ II
3635isnei 22827 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {0} βŠ† (0[,]1)) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3))))))
3732, 34, 36mp2an 688 . . . . . . 7 ((0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘” ∈ II ({0} βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† (0[,](1 / 3)))))
3815, 31, 37mpbir2an 707 . . . . . 6 (0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0})
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (0[,](1 / 3)) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{0}))
40 simprl 767 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}))
412, 39, 40cnneiima 47636 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))
42 halfge0 12433 . . . . . . . 8 0 ≀ (1 / 2)
43 1le1 11846 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
44 iccss 13396 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (1 / 2) ∧ 1 ≀ 1)) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1))
453, 4, 42, 43, 44mp4an 689 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1)
46 io1ii 47640 . . . . . . . . 9 (0 ≀ (1 / 2) β†’ ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
4742, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48 halflt1 12434 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
49 halfre 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
5049rexri 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
51 elioc2 13391 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1)))
5250, 4, 51mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1))
5352biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1) β†’ 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
5453snssd 4811 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≀ 1) β†’ {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1))
554, 48, 43, 54mp3an 1459 . . . . . . . . 9 {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1)
56 iocssicc 13418 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1)
5755, 56pm3.2i 469 . . . . . . . 8 ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))
58 sseq2 4007 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ ({1} βŠ† β„Ž ↔ {1} βŠ† ((1 / 2)(,]1)))
59 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ (β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1)))
6058, 59anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (β„Ž = ((1 / 2)(,]1) β†’ (({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))))
6160rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} βŠ† ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) βŠ† ((1 / 2)[,]1))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)))
6247, 57, 61mp2an 688 . . . . . . 7 βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1))
6355, 56sstri 3990 . . . . . . . . 9 {1} βŠ† ((1 / 2)[,]1)
6463, 45sstri 3990 . . . . . . . 8 {1} βŠ† (0[,]1)
6535isnei 22827 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {1} βŠ† (0[,]1)) β†’ (((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1)))))
6632, 64, 65mp2an 688 . . . . . . 7 (((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) βŠ† (0[,]1) ∧ βˆƒβ„Ž ∈ II ({1} βŠ† β„Ž ∧ β„Ž βŠ† ((1 / 2)[,]1))))
6745, 62, 66mpbir2an 707 . . . . . 6 ((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1})
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((1 / 2)[,]1) ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{1}))
69 simprr 769 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))
702, 68, 69cnneiima 47636 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡))
71 icccldii 47638 . . . . . 6 ((0 ≀ 0 ∧ (1 / 3) ≀ 1) β†’ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II))
725, 13, 71mp2an 688 . . . . 5 (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II)
73 cnclima 22992 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsdβ€˜II)) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½))
742, 72, 73sylancl 584 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½))
75 icccldii 47638 . . . . . 6 ((0 ≀ (1 / 2) ∧ 1 ≀ 1) β†’ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II))
7642, 43, 75mp2an 688 . . . . 5 ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II)
77 cnclima 22992 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsdβ€˜II)) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
782, 76, 77sylancl 584 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
79 eqid 2730 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8079, 35cnf 22970 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(0[,]1))
8180ffund 6720 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) β†’ Fun 𝑓)
822, 81syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ Fun 𝑓)
83 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
84 1xr 11277 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
85 2lt3 12388 . . . . . . . 8 2 < 3
86 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
88 3pos 12321 . . . . . . . . 9 0 < 3
8986, 6, 87, 88ltrecii 12134 . . . . . . . 8 (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
9085, 89mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < (1 / 2)
91 iccdisj2 47617 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…)
9283, 84, 90, 91mp3an 1459 . . . . . 6 ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = βˆ…)
94 ssidd 4004 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) βŠ† (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))))
95 ssidd 4004 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) βŠ† (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)))
9682, 93, 94, 95predisj 47582 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)
97 eleq1 2819 . . . . . 6 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ (𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
98 ineq1 4204 . . . . . . 7 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ (𝑛 ∩ π‘š) = ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š))
9998eqeq1d 2732 . . . . . 6 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ ((𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…))
10097, 993anbi13d 1436 . . . . 5 (𝑛 = (◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) β†’ ((𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…)))
101 eleq1 2819 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
102 ineq2 4205 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))))
103102eqeq1d 2732 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ… ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…))
104101, 1033anbi23d 1437 . . . . 5 (π‘š = (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) β†’ (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)))
105100, 104rspc2ev 3623 . . . 4 (((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ ((◑𝑓 β€œ (0[,](1 / 3))) ∩ (◑𝑓 β€œ ((1 / 2)[,]1))) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
10641, 70, 74, 78, 96, 105syl113anc 1380 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1}))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
107106rexlimiva 3145 . 2 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 βŠ† (◑𝑓 β€œ {0}) ∧ 𝑇 βŠ† (◑𝑓 β€œ {1})) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
1081, 107syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‡)(𝑛 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ π‘š ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  (,]cioc 13329  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  Topctop 22615  Clsdccld 22740  neicnei 22821   Cn ccn 22948  IIcii 24615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-cn 22951  df-ii 24617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator