Theorem sepfsepc 49403

Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sepfsepc.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
sepfsepc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,𝑚,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑚)

Proof of Theorem sepfsepc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sepfsepc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})))
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0le0 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
6		3re 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
7		3ne0 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
8	6, 7	rereccli 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
9		1lt3 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
10		recgt1i 12053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
11	6, 9, 10	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
12	11	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < 1
13	8, 4, 12	ltleii 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ≤ 1
14		iccss 13367	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1)) → (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1))
15	3, 4, 5, 13, 14	mp4an 694	. . . . . . 7 ⊢ (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1)
16		i0oii 49395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) ≤ 1 → (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(1 / 3)) ∈ II
18	11	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 3)
19	8	rexri 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ*
20		elico2 13363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
21	3, 19, 20	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
22	21	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
23	22	snssd 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → {0} ⊆ (0[,)(1 / 3)))
24	3, 5, 18, 23	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))
25		icossicc 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))
26	24, 25	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))
27		sseq2 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → ({0} ⊆ 𝑔 ↔ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))))
28		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))))
29	27, 28	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))))
30	29	rspcev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))) → ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))
31	17, 26, 30	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))
32		iitop 24847	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ Top
33	24, 25	sstri 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (0[,](1 / 3))
34	33, 15	sstri 3931	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (0[,]1)
35		iiuni 24848	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
36	35	isnei 23068	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ Top ∧ {0} ⊆ (0[,]1)) → ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))))
37	32, 34, 36	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))))
38	15, 31, 37	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0})
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}))
40		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}))
41	2, 39, 40	cnneiima 49392	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
42		halfge0 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
43		1le1 11778	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
44		iccss 13367	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
45	3, 4, 42, 43, 44	mp4an 694	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
46		io1ii 49396	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) → ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
47	42, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48		halflt1 12394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
49		halfre 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
50	49	rexri 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
51		elioc2 13362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
52	50, 4, 51	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1))
53	52	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
54	53	snssd 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1))
55	4, 48, 43, 54	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)
56		iocssicc 13390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)
57	55, 56	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))
58		sseq2 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → ({1} ⊆ ℎ ↔ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)))
59		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → (ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
60	58, 59	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → (({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
61	60	rspcev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))) → ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
62	47, 57, 61	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1))
63	55, 56	sstri 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ⊆ ((1 / 2)[,]1)
64	63, 45	sstri 3931	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ⊆ (0[,]1)
65	35	isnei 23068	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ Top ∧ {1} ⊆ (0[,]1)) → (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))))
66	32, 64, 65	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
67	45, 62, 66	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1})
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}))
69		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))
70	2, 68, 69	cnneiima 49392	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇))
71		icccldii 49394	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1) → (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II))
72	5, 13, 71	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)
73		cnclima 23233	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
74	2, 72, 73	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
75		icccldii 49394	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1) → ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II))
76	42, 43, 75	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)
77		cnclima 23233	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
78	2, 76, 77	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
79		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
80	79, 35	cnf 23211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(0[,]1))
81	80	ffund 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → Fun 𝑓)
82	2, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → Fun 𝑓)
83		0xr 11192	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
84		1xr 11204	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
85		2lt3 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
86		2re 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
87		2pos 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
88		3pos 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
89	86, 6, 87, 88	ltrecii 12072	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
90	85, 89	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < (1 / 2)
91		iccdisj2 49372	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
92	83, 84, 90, 91	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
94		ssidd 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ⊆ (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))))
95		ssidd 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ⊆ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)))
96	82, 93, 94, 95	predisj 49286	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)
97		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽)))
98		ineq1 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∩ 𝑚) = ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚))
99	98	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅))
100	97, 99	3anbi13d 1441	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅)))
101		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽)))
102		ineq2 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))))
103	102	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅))
104	101, 103	3anbi23d 1442	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)))
105	100, 104	rspc2ev 3577	. . . 4 ⊢ (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
106	41, 70, 74, 78, 96, 105	syl113anc 1385	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
107	106	rexlimiva 3130	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
108	1, 107	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  (,]cioc 13299  [,)cico 13300  [,]cicc 13301  Topctop 22858  Clsdccld 22981  neicnei 23062   Cn ccn 23189  IIcii 24842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-nei 23063  df-cn 23192  df-ii 24844

This theorem is referenced by: (None)