Theorem sepfsepc 49739

Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sepfsepc.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
sepfsepc	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,𝑚,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑚, 𝑛)   𝑆(𝑚)

Proof of Theorem sepfsepc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sepfsepc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})))
2		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3		0re 11221	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11219	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0le0 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
6		3re 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
7		3ne0 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
8	6, 7	rereccli 11991	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
9		1lt3 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
10		recgt1i 12123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
11	6, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
12	11	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < 1
13	8, 4, 12	ltleii 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ≤ 1
14		iccss 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1)) → (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1))
15	3, 4, 5, 13, 14	mp4an 706	. . . . . . 7 ⊢ (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1)
16		i0oii 49731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) ≤ 1 → (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)(1 / 3)) ∈ II
18	11	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 3)
19	8	rexri 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ*
20		elico2 13448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
21	3, 19, 20	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
22	21	biimpri 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
23	22	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → {0} ⊆ (0[,)(1 / 3)))
24	3, 5, 18, 23	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))
25		icossicc 13474	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))
26	24, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))
27		sseq2 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → ({0} ⊆ 𝑔 ↔ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))))
28		sseq1 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))))
29	27, 28	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))))
30	29	rspcev 3583	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))) → ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))
31	17, 26, 30	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))
32		iitop 25068	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ Top
33	24, 25	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (0[,](1 / 3))
34	33, 15	sstri 3947	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (0[,]1)
35		iiuni 25069	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
36	35	isnei 23289	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ Top ∧ {0} ⊆ (0[,]1)) → ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))))
37	32, 34, 36	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))))
38	15, 31, 37	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0})
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}))
40		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}))
41	2, 39, 40	cnneiima 49728	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
42		halfge0 12471	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
43		1le1 11853	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
44		iccss 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
45	3, 4, 42, 43, 44	mp4an 706	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
46		io1ii 49732	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) → ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
47	42, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48		halflt1 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
49		halfre 12468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
50	49	rexri 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
51		elioc2 13447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
52	50, 4, 51	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1))
53	52	biimpri 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
54	53	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1))
55	4, 48, 43, 54	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)
56		iocssicc 13475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)
57	55, 56	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))
58		sseq2 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → ({1} ⊆ ℎ ↔ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)))
59		sseq1 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → (ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
60	58, 59	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((1 / 2)(,]1) → (({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
61	60	rspcev 3583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))) → ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
62	47, 57, 61	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1))
63	55, 56	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ⊆ ((1 / 2)[,]1)
64	63, 45	sstri 3947	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ⊆ (0[,]1)
65	35	isnei 23289	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ Top ∧ {1} ⊆ (0[,]1)) → (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))))
66	32, 64, 65	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ℎ ∈ II ({1} ⊆ ℎ ∧ ℎ ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
67	45, 62, 66	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1})
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}))
69		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))
70	2, 68, 69	cnneiima 49728	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇))
71		icccldii 49730	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1) → (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II))
72	5, 13, 71	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)
73		cnclima 23454	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
74	2, 72, 73	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
75		icccldii 49730	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1) → ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II))
76	42, 43, 75	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)
77		cnclima 23454	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
78	2, 76, 77	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
79		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
80	79, 35	cnf 23432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(0[,]1))
81	80	ffund 6714	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → Fun 𝑓)
82	2, 81	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → Fun 𝑓)
83		0xr 11267	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
84		1xr 11279	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
85		2lt3 12425	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
86		2re 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
87		2pos 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
88		3pos 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
89	86, 6, 87, 88	ltrecii 12142	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
90	85, 89	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < (1 / 2)
91		iccdisj2 49708	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
92	83, 84, 90, 91	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
94		ssidd 3961	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ⊆ (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))))
95		ssidd 3961	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ⊆ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)))
96	82, 93, 94, 95	predisj 49622	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)
97		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽)))
98		ineq1 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∩ 𝑚) = ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚))
99	98	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅))
100	97, 99	3anbi13d 1466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅)))
101		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽)))
102		ineq2 4167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))))
103	102	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅))
104	101, 103	3anbi23d 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)))
105	100, 104	rspc2ev 3596	. . . 4 ⊢ (((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((◡𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (◡𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
106	41, 70, 74, 78, 96, 105	syl113anc 1409	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1}))) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
107	106	rexlimiva 3160	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (◡𝑓 “ {1})) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))
108	1, 107	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛 ∩ 𝑚) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  (,]cioc 13384  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  Topctop 23079  Clsdccld 23202  neicnei 23283   Cn ccn 23410  IIcii 25063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-rest 17492  df-topgen 17513  df-ordt 17572  df-ps 18639  df-tsr 18640  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-top 23080  df-topon 23097  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-nei 23284  df-cn 23413  df-ii 25065

This theorem is used by: (None)