Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sepfsepc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sepfsepc 48723
Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sepfsepc.1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})))
Assertion
Ref Expression
sepfsepc (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,𝑚,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑚)

Proof of Theorem sepfsepc
StepHypRef Expression
1 sepfsepc.1 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})))
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3 0re 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 1re 11258 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0le0 12364 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
6 3re 12343 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
7 3ne0 12369 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
86, 7rereccli 12029 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℝ
9 1lt3 12436 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
10 recgt1i 12162 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
116, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
1211simpri 485 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < 1
138, 4, 12ltleii 11381 . . . . . . . 8 (1 / 3) ≤ 1
14 iccss 13451 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1)) → (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1))
153, 4, 5, 13, 14mp4an 693 . . . . . . 7 (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1)
16 i0oii 48715 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) ≤ 1 → (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,)(1 / 3)) ∈ II
1811simpli 483 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 3)
198rexri 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ*
20 elico2 13447 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
213, 19, 20mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
2221biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
2322snssd 4813 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → {0} ⊆ (0[,)(1 / 3)))
243, 5, 18, 23mp3an 1460 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))
25 icossicc 13472 . . . . . . . . 9 (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))
2624, 25pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))
27 sseq2 4021 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → ({0} ⊆ 𝑔 ↔ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))))
28 sseq1 4020 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))))
2927, 28anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))))
3029rspcev 3621 . . . . . . . 8 (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))) → ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))
3117, 26, 30mp2an 692 . . . . . . 7 𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))
32 iitop 24919 . . . . . . . 8 II ∈ Top
3324, 25sstri 4004 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (0[,](1 / 3))
3433, 15sstri 4004 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (0[,]1)
35 iiuni 24920 . . . . . . . . 9 (0[,]1) = II
3635isnei 23126 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {0} ⊆ (0[,]1)) → ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))))
3732, 34, 36mp2an 692 . . . . . . 7 ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))))
3815, 31, 37mpbir2an 711 . . . . . 6 (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0})
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}))
40 simprl 771 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}))
412, 39, 40cnneiima 48712 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
42 halfge0 12480 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
43 1le1 11888 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
44 iccss 13451 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
453, 4, 42, 43, 44mp4an 693 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
46 io1ii 48716 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
4742, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48 halflt1 12481 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
49 halfre 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
5049rexri 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
51 elioc2 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
5250, 4, 51mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1))
5352biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
5453snssd 4813 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1))
554, 48, 43, 54mp3an 1460 . . . . . . . . 9 {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)
56 iocssicc 13473 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)
5755, 56pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))
58 sseq2 4021 . . . . . . . . . 10 ( = ((1 / 2)(,]1) → ({1} ⊆ ↔ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)))
59 sseq1 4020 . . . . . . . . . 10 ( = ((1 / 2)(,]1) → ( ⊆ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ( = ((1 / 2)(,]1) → (({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
6160rspcev 3621 . . . . . . . 8 ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))) → ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
6247, 57, 61mp2an 692 . . . . . . 7 ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1))
6355, 56sstri 4004 . . . . . . . . 9 {1} ⊆ ((1 / 2)[,]1)
6463, 45sstri 4004 . . . . . . . 8 {1} ⊆ (0[,]1)
6535isnei 23126 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {1} ⊆ (0[,]1)) → (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))))
6632, 64, 65mp2an 692 . . . . . . 7 (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
6745, 62, 66mpbir2an 711 . . . . . 6 ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1})
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}))
69 simprr 773 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))
702, 68, 69cnneiima 48712 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇))
71 icccldii 48714 . . . . . 6 ((0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1) → (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II))
725, 13, 71mp2an 692 . . . . 5 (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)
73 cnclima 23291 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
742, 72, 73sylancl 586 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
75 icccldii 48714 . . . . . 6 ((0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1) → ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II))
7642, 43, 75mp2an 692 . . . . 5 ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)
77 cnclima 23291 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
782, 76, 77sylancl 586 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
79 eqid 2734 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
8079, 35cnf 23269 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → 𝑓: 𝐽⟶(0[,]1))
8180ffund 6740 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → Fun 𝑓)
822, 81syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → Fun 𝑓)
83 0xr 11305 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
84 1xr 11317 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
85 2lt3 12435 . . . . . . . 8 2 < 3
86 2re 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87 2pos 12366 . . . . . . . . 9 0 < 2
88 3pos 12368 . . . . . . . . 9 0 < 3
8986, 6, 87, 88ltrecii 12181 . . . . . . . 8 (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
9085, 89mpbi 230 . . . . . . 7 (1 / 3) < (1 / 2)
91 iccdisj2 48693 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
9283, 84, 90, 91mp3an 1460 . . . . . 6 ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
94 ssidd 4018 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ⊆ (𝑓 “ (0[,](1 / 3))))
95 ssidd 4018 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ⊆ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)))
9682, 93, 94, 95predisj 48658 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)
97 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽)))
98 ineq1 4220 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛𝑚) = ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚))
9998eqeq1d 2736 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅))
10097, 993anbi13d 1437 . . . . 5 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅)))
101 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽)))
102 ineq2 4221 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))))
103102eqeq1d 2736 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅))
104101, 1033anbi23d 1438 . . . . 5 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)))
105100, 104rspc2ev 3634 . . . 4 (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
10641, 70, 74, 78, 96, 105syl113anc 1381 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
107106rexlimiva 3144 . 2 (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
1081, 107syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cima 5691  Fun wfun 6556  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  2c2 12318  3c3 12319  (,]cioc 13384  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  Topctop 22914  Clsdccld 23039  neicnei 23120   Cn ccn 23247  IIcii 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-nei 23121  df-cn 23250  df-ii 24916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator