Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sepfsepc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sepfsepc 48825
Description: If two sets are separated by a continuous function, then they are separated by closed neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sepfsepc.1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})))
Assertion
Ref Expression
sepfsepc (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐽,𝑚,𝑛   𝑆,𝑓,𝑛   𝑇,𝑓,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑚)

Proof of Theorem sepfsepc
StepHypRef Expression
1 sepfsepc.1 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})))
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
3 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0le0 12367 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
6 3re 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
7 3ne0 12372 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
86, 7rereccli 12032 . . . . . . . . 9 (1 / 3) ∈ ℝ
9 1lt3 12439 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
10 recgt1i 12165 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
116, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1)
1211simpri 485 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < 1
138, 4, 12ltleii 11384 . . . . . . . 8 (1 / 3) ≤ 1
14 iccss 13455 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1)) → (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1))
153, 4, 5, 13, 14mp4an 693 . . . . . . 7 (0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1)
16 i0oii 48817 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) ≤ 1 → (0[,)(1 / 3)) ∈ II)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,)(1 / 3)) ∈ II
1811simpli 483 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 3)
198rexri 11319 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ*
20 elico2 13451 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3))))
213, 19, 20mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,)(1 / 3)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)))
2221biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → 0 ∈ (0[,)(1 / 3)))
2322snssd 4809 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (1 / 3)) → {0} ⊆ (0[,)(1 / 3)))
243, 5, 18, 23mp3an 1463 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))
25 icossicc 13476 . . . . . . . . 9 (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))
2624, 25pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))
27 sseq2 4010 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → ({0} ⊆ 𝑔 ↔ {0} ⊆ (0[,)(1 / 3))))
28 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)) ↔ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3))))
2927, 28anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (0[,)(1 / 3)) → (({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))) ↔ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))))
3029rspcev 3622 . . . . . . . 8 (((0[,)(1 / 3)) ∈ II ∧ ({0} ⊆ (0[,)(1 / 3)) ∧ (0[,)(1 / 3)) ⊆ (0[,](1 / 3)))) → ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))
3117, 26, 30mp2an 692 . . . . . . 7 𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))
32 iitop 24906 . . . . . . . 8 II ∈ Top
3324, 25sstri 3993 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (0[,](1 / 3))
3433, 15sstri 3993 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (0[,]1)
35 iiuni 24907 . . . . . . . . 9 (0[,]1) = II
3635isnei 23111 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {0} ⊆ (0[,]1)) → ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3))))))
3732, 34, 36mp2an 692 . . . . . . 7 ((0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}) ↔ ((0[,](1 / 3)) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃𝑔 ∈ II ({0} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (0[,](1 / 3)))))
3815, 31, 37mpbir2an 711 . . . . . 6 (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0})
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (0[,](1 / 3)) ∈ ((nei‘II)‘{0}))
40 simprl 771 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}))
412, 39, 40cnneiima 48814 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
42 halfge0 12483 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
43 1le1 11891 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
44 iccss 13455 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
453, 4, 42, 43, 44mp4an 693 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
46 io1ii 48818 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → ((1 / 2)(,]1) ∈ II)
4742, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2)(,]1) ∈ II
48 halflt1 12484 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
49 halfre 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
5049rexri 11319 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
51 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
5250, 4, 51mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ((1 / 2)(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1))
5352biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → 1 ∈ ((1 / 2)(,]1))
5453snssd 4809 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ 1 ≤ 1) → {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1))
554, 48, 43, 54mp3an 1463 . . . . . . . . 9 {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)
56 iocssicc 13477 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)
5755, 56pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))
58 sseq2 4010 . . . . . . . . . 10 ( = ((1 / 2)(,]1) → ({1} ⊆ ↔ {1} ⊆ ((1 / 2)(,]1)))
59 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 ( = ((1 / 2)(,]1) → ( ⊆ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ( = ((1 / 2)(,]1) → (({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)) ↔ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
6160rspcev 3622 . . . . . . . 8 ((((1 / 2)(,]1) ∈ II ∧ ({1} ⊆ ((1 / 2)(,]1) ∧ ((1 / 2)(,]1) ⊆ ((1 / 2)[,]1))) → ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))
6247, 57, 61mp2an 692 . . . . . . 7 ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1))
6355, 56sstri 3993 . . . . . . . . 9 {1} ⊆ ((1 / 2)[,]1)
6463, 45sstri 3993 . . . . . . . 8 {1} ⊆ (0[,]1)
6535isnei 23111 . . . . . . . 8 ((II ∈ Top ∧ {1} ⊆ (0[,]1)) → (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1)))))
6632, 64, 65mp2an 692 . . . . . . 7 (((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}) ↔ (((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1) ∧ ∃ ∈ II ({1} ⊆ ⊆ ((1 / 2)[,]1))))
6745, 62, 66mpbir2an 711 . . . . . 6 ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1})
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((1 / 2)[,]1) ∈ ((nei‘II)‘{1}))
69 simprr 773 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))
702, 68, 69cnneiima 48814 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇))
71 icccldii 48816 . . . . . 6 ((0 ≤ 0 ∧ (1 / 3) ≤ 1) → (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II))
725, 13, 71mp2an 692 . . . . 5 (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)
73 cnclima 23276 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (0[,](1 / 3)) ∈ (Clsd‘II)) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
742, 72, 73sylancl 586 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽))
75 icccldii 48816 . . . . . 6 ((0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1) → ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II))
7642, 43, 75mp2an 692 . . . . 5 ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)
77 cnclima 23276 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ ((1 / 2)[,]1) ∈ (Clsd‘II)) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
782, 76, 77sylancl 586 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
79 eqid 2737 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
8079, 35cnf 23254 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → 𝑓: 𝐽⟶(0[,]1))
8180ffund 6740 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) → Fun 𝑓)
822, 81syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → Fun 𝑓)
83 0xr 11308 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
84 1xr 11320 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
85 2lt3 12438 . . . . . . . 8 2 < 3
86 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87 2pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 2
88 3pos 12371 . . . . . . . . 9 0 < 3
8986, 6, 87, 88ltrecii 12184 . . . . . . . 8 (2 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 2))
9085, 89mpbi 230 . . . . . . 7 (1 / 3) < (1 / 2)
91 iccdisj2 48795 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 3) < (1 / 2)) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
9283, 84, 90, 91mp3an 1463 . . . . . 6 ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((0[,](1 / 3)) ∩ ((1 / 2)[,]1)) = ∅)
94 ssidd 4007 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ⊆ (𝑓 “ (0[,](1 / 3))))
95 ssidd 4007 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ⊆ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)))
9682, 93, 94, 95predisj 48730 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)
97 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽)))
98 ineq1 4213 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → (𝑛𝑚) = ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚))
9998eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅))
10097, 993anbi13d 1440 . . . . 5 (𝑛 = (𝑓 “ (0[,](1 / 3))) → ((𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅)))
101 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽)))
102 ineq2 4214 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))))
103102eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅ ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅))
104101, 1033anbi23d 1441 . . . . 5 (𝑚 = (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) → (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ 𝑚) = ∅) ↔ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)))
105100, 104rspc2ev 3635 . . . 4 (((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((𝑓 “ (0[,](1 / 3))) ∩ (𝑓 “ ((1 / 2)[,]1))) = ∅)) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
10641, 70, 74, 78, 96, 105syl113anc 1384 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1}))) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
107106rexlimiva 3147 . 2 (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 ⊆ (𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑓 “ {1})) → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
1081, 107syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∃𝑚 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑇)(𝑛 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑚 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Topctop 22899  Clsdccld 23024  neicnei 23105   Cn ccn 23232  IIcii 24901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-ii 24903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator