Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreval 33538
 Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6947 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2 breq1 4789 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
32anbi1d 615 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)))
43rabbidv 3339 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 breq2 4790 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 𝐵))
65anbi2d 614 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)))
76rabbidv 3339 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
8 eqid 2771 . . . 4 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
98icorempt2 33536 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 reex 10229 . . . 4 ℝ ∈ V
1110rabex 4946 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ V
124, 7, 9, 11ovmpt2 6943 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
131, 12eqtr3d 2807 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065   class class class wbr 4786   × cxp 5247   ↾ cres 5251  (class class class)co 6793  ℝcr 10137   < clt 10276   ≤ cle 10277  [,)cico 12382 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ico 12386 This theorem is referenced by:  icoreelrnab  33539  icoreelrn  33546  relowlssretop  33548
 Copyright terms: Public domain W3C validator