Theorem icoreval 37348

Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑧))
3	2	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
4	3	rabbidv 3416	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
7	6	rabbidv 3416	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
9	8	icorempo 37346	. . 3 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		reex 11166	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	rabex 5297	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ V
12	4, 7, 9, 11	ovmpo 7552	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
13	1, 12	eqtr3d 2767	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5110   × cxp 5639   ↾ cres 5643  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319

This theorem is referenced by:  icoreelrnab  37349  icoreelrn  37356  relowlssretop  37358