Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreval 36741
Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7570 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2 breq1 5144 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
32anbi1d 629 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)))
43rabbidv 3434 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 breq2 5145 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 𝐵))
65anbi2d 628 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)))
76rabbidv 3434 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
8 eqid 2726 . . . 4 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
98icorempo 36739 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 reex 11203 . . . 4 ℝ ∈ V
1110rabex 5325 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ V
124, 7, 9, 11ovmpo 7564 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
131, 12eqtr3d 2768 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cres 5671  (class class class)co 7405  cr 11111   < clt 11252  cle 11253  [,)cico 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13336
This theorem is referenced by:  icoreelrnab  36742  icoreelrn  36749  relowlssretop  36751
  Copyright terms: Public domain W3C validator