Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreval 36036
Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7556 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2 breq1 5144 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
32anbi1d 630 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)))
43rabbidv 3439 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 breq2 5145 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 𝐵))
65anbi2d 629 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)))
76rabbidv 3439 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
8 eqid 2731 . . . 4 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
98icorempo 36034 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 reex 11183 . . . 4 ℝ ∈ V
1110rabex 5325 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ V
124, 7, 9, 11ovmpo 7551 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
131, 12eqtr3d 2773 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3431   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cres 5671  (class class class)co 7393  cr 11091   < clt 11230  cle 11231  [,)cico 13308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-ico 13312
This theorem is referenced by:  icoreelrnab  36037  icoreelrn  36044  relowlssretop  36046
  Copyright terms: Public domain W3C validator