Theorem icoreval 38244

Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑧))
3	2	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
4	3	rabbidv 3420	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝐵))
6	5	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
7	6	rabbidv 3420	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
9	8	icorempo 38242	. . 3 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		reex 11272	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	rabex 5300	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ V
12	4, 7, 9, 11	ovmpo 7572	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
13	1, 12	eqtr3d 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103   × cxp 5649   ↾ cres 5653  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13463

This theorem is used by:  icoreelrnab  38245  icoreelrn  38252  relowlssretop  38254