Theorem icoreval 38040

Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2		breq1 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑧))
3	2	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
4	3	rabbidv 3426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		breq2 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝐵))
6	5	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
7	6	rabbidv 3426	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
9	8	icorempo 38038	. . 3 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		reex 11209	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	rabex 5314	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ V
12	4, 7, 9, 11	ovmpo 7583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
13	1, 12	eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   class class class wbr 5114   × cxp 5664   ↾ cres 5668  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   < clt 11261   ≤ cle 11262  [,)cico 13392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ico 13396

This theorem is used by:  icoreelrnab  38041  icoreelrn  38048  relowlssretop  38050