Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreval 36234
Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7573 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2 breq1 5152 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
32anbi1d 631 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)))
43rabbidv 3441 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 breq2 5153 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 𝐵))
65anbi2d 630 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)))
76rabbidv 3441 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
8 eqid 2733 . . . 4 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
98icorempo 36232 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 reex 11201 . . . 4 ℝ ∈ V
1110rabex 5333 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ V
124, 7, 9, 11ovmpo 7568 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
131, 12eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149   × cxp 5675  cres 5679  (class class class)co 7409  cr 11109   < clt 11248  cle 11249  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  icoreelrnab  36235  icoreelrn  36242  relowlssretop  36244
  Copyright terms: Public domain W3C validator