Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreval 36873
Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7594 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2 breq1 5155 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
32anbi1d 629 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)))
43rabbidv 3438 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 breq2 5156 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝑧 < 𝐵))
65anbi2d 628 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑧𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)))
76rabbidv 3438 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
8 eqid 2728 . . . 4 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
98icorempo 36871 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 reex 11239 . . . 4 ℝ ∈ V
1110rabex 5338 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ V
124, 7, 9, 11ovmpo 7588 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
131, 12eqtr3d 2770 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430   class class class wbr 5152   × cxp 5680  cres 5684  (class class class)co 7426  cr 11147   < clt 11288  cle 11289  [,)cico 13368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-ico 13372
This theorem is referenced by:  icoreelrnab  36874  icoreelrn  36881  relowlssretop  36883
  Copyright terms: Public domain W3C validator