Theorem icoreval 37669

Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7533	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2		breq1 5088	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑧))
3	2	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
4	3	rabbidv 3396	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝐵))
6	5	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
7	6	rabbidv 3396	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
9	8	icorempo 37667	. . 3 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		reex 11129	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	rabex 5280	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ V
12	4, 7, 9, 11	ovmpo 7527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
13	1, 12	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   class class class wbr 5085   × cxp 5629   ↾ cres 5633  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180  [,)cico 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ico 13304

This theorem is referenced by:  icoreelrnab  37670  icoreelrn  37677  relowlssretop  37679