Theorem icoreval 37554

Description: Value of the closed-below, open-above interval function on reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Proof of Theorem icoreval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7524	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
2		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑧))
3	2	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
4	3	rabbidv 3406	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		breq2 5102	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)))
7	6	rabbidv 3406	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
9	8	icorempo 37552	. . 3 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		reex 11117	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
11	10	rabex 5284	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ V
12	4, 7, 9, 11	ovmpo 7518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
13	1, 12	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098   × cxp 5622   ↾ cres 5626  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  icoreelrnab  37555  icoreelrn  37562  relowlssretop  37564