Theorem icoreelrn 37384

Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreelrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreelrn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoreval 37376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		df-ico 13373	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
5	4	ixxf 13377	. . . . 5 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
6		ffun 6714	. . . . 5 ⊢ ([,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,))
7	5, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → Fun [,))
8		rexpssxrxp 11285	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	5	fdmi 6722	. . . . . 6 ⊢ dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
10	8, 9	sseqtrri 4013	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,))
12	2, 3, 7, 11	elovimad 7460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
13		icoreelrn.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
14	12, 13	eleqtrrdi 2846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝐼)
15	1, 14	eqeltrrd 2836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5124   × cxp 5657  dom cdm 5659   “ cima 5662  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  [,)cico 13369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-ico 13373

This theorem is referenced by:  relowlssretop  37386