Theorem icoreelrn 35532

Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreelrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreelrn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoreval 35524	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)})
2		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		df-ico 13085	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
5	4	ixxf 13089	. . . . 5 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
6		ffun 6603	. . . . 5 ⊢ ([,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,))
7	5, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → Fun [,))
8		rexpssxrxp 11020	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	5	fdmi 6612	. . . . . 6 ⊢ dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
10	8, 9	sseqtrri 3958	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,))
12	2, 3, 7, 11	elovimad 7323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
13		icoreelrn.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
14	12, 13	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝐼)
15	1, 14	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589   “ cima 5592  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085

This theorem is referenced by:  relowlssretop  35534