Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrn 36698
Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrn.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐡)} ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoreval 36690 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,)𝐡) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐡)})
2 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 df-ico 13326 . . . . . 6 [,) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
54ixxf 13330 . . . . 5 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
6 ffun 6710 . . . . 5 ([,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,))
75, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ Fun [,))
8 rexpssxrxp 11255 . . . . . 6 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
95fdmi 6719 . . . . . 6 dom [,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
108, 9sseqtrri 4011 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† dom [,)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† dom [,))
122, 3, 7, 11elovimad 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)))
13 icoreelrn.1 . . 3 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
1412, 13eleqtrrdi 2836 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ 𝐼)
151, 14eqeltrrd 2826 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐡)} ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4594   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666   β€œ cima 5669  Fun wfun 6527  βŸΆwf 6529  (class class class)co 7401  β„cr 11104  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  [,)cico 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326
This theorem is referenced by:  relowlssretop  36700
  Copyright terms: Public domain W3C validator