Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrn 34530
Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoreval 34522 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
2 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 df-ico 12739 . . . . . 6 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
54ixxf 12743 . . . . 5 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
6 ffun 6516 . . . . 5 ([,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,))
75, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → Fun [,))
8 rexpssxrxp 10680 . . . . . 6 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
95fdmi 6523 . . . . . 6 dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
108, 9sseqtrri 4008 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,))
122, 3, 7, 11elovimad 7198 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
13 icoreelrn.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
1412, 13syl6eleqr 2929 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝐼)
151, 14eqeltrrd 2919 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3147  wss 3940  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5063   × cxp 5552  dom cdm 5554  cima 5557  Fun wfun 6348  wf 6350  (class class class)co 7150  cr 10530  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  [,)cico 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12739
This theorem is referenced by:  relowlssretop  34532
  Copyright terms: Public domain W3C validator