Theorem icoreelrnab 34629

Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreelrnab.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreelrnab	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎,𝑏   𝑧,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoreelrnab.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ima 5563	. . . . . 6 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1, 2	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
4	3	eleq2i 2904	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
5		icoreresf 34627	. . . . 5 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
6		ffn 6509	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
7		ovelrn 7318	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
9	4, 8	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
10		ovres 7308	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) = (𝑎[,)𝑏))
11	10	eqeq2d 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏)))
12	11	2rexbiia 3298	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
13	9, 12	bitri 277	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
14		icoreval 34628	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
15	14	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16	15	2rexbiia 3298	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
17	13, 16	bitri 277	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {crab 3142  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5059   × cxp 5548  ran crn 5551   ↾ cres 5552   “ cima 5553   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738

This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  34630  isbasisrelowllem2  34631  icoreclin  34632