Theorem icoreelrnab 37860

Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreelrnab.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreelrnab	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎,𝑏   𝑧,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoreelrnab.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ima 5665	. . . . . 6 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1, 2	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
4	3	eleq2i 2857	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
5		icoreresf 37858	. . . . 5 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
6		ffn 6695	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
7		ovelrn 7576	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
9	4, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
10		ovres 7566	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) = (𝑎[,)𝑏))
11	10	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏)))
12	11	2rexbiia 3226	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
13	9, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
14		icoreval 37859	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
15	14	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16	15	2rexbiia 3226	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
17	13, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ran crn 5653   ↾ cres 5654   “ cima 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400  ℝcr 11087   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,)cico 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ico 13369

This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  37861  isbasisrelowllem2  37862  icoreclin  37863