Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrnab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrnab 36539
Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrnab.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrnab (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝑋,π‘Ž,𝑏   𝑧,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab
StepHypRef Expression
1 icoreelrnab.1 . . . . . 6 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
2 df-ima 5689 . . . . . 6 ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
31, 2eqtri 2759 . . . . 5 𝐼 = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
43eleq2i 2824 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5 icoreresf 36537 . . . . 5 ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ
6 ffn 6717 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ β†’ ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
7 ovelrn 7587 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) β†’ (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . 4 (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
94, 8bitri 275 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
10 ovres 7577 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) = (π‘Ž[,)𝑏))
1110eqeq2d 2742 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏)))
12112rexbiia 3214 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
139, 12bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
14 icoreval 36538 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1514eqeq2d 2742 . . 3 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16152rexbiia 3214 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1713, 16bitri 275 1 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7412  β„cr 11113   < clt 11253   ≀ cle 11254  [,)cico 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-ico 13335
This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  36540  isbasisrelowllem2  36541  icoreclin  36542
  Copyright terms: Public domain W3C validator