Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrnab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrnab 35875
Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrnab.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrnab (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝑋,π‘Ž,𝑏   𝑧,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab
StepHypRef Expression
1 icoreelrnab.1 . . . . . 6 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
2 df-ima 5650 . . . . . 6 ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
31, 2eqtri 2761 . . . . 5 𝐼 = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
43eleq2i 2826 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5 icoreresf 35873 . . . . 5 ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ
6 ffn 6672 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ β†’ ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
7 ovelrn 7534 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) β†’ (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . 4 (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
94, 8bitri 275 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
10 ovres 7524 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) = (π‘Ž[,)𝑏))
1110eqeq2d 2744 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏)))
12112rexbiia 3206 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
139, 12bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
14 icoreval 35874 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1514eqeq2d 2744 . . 3 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16152rexbiia 3206 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1713, 16bitri 275 1 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  (class class class)co 7361  β„cr 11058   < clt 11197   ≀ cle 11198  [,)cico 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ico 13279
This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  35876  isbasisrelowllem2  35877  icoreclin  35878
  Copyright terms: Public domain W3C validator