Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrnab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrnab 36230
Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrnab.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrnab (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝑋,π‘Ž,𝑏   𝑧,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab
StepHypRef Expression
1 icoreelrnab.1 . . . . . 6 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
2 df-ima 5689 . . . . . 6 ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
31, 2eqtri 2760 . . . . 5 𝐼 = ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
43eleq2i 2825 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5 icoreresf 36228 . . . . 5 ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ
6 ffn 6717 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)):(ℝ Γ— ℝ)βŸΆπ’« ℝ β†’ ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
7 ovelrn 7582 . . . . 5 (([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) β†’ (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . 4 (𝑋 ∈ ran ([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
94, 8bitri 274 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏))
10 ovres 7572 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) = (π‘Ž[,)𝑏))
1110eqeq2d 2743 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏)))
12112rexbiia 3215 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž([,) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
139, 12bitri 274 . 2 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏))
14 icoreval 36229 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1514eqeq2d 2743 . . 3 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16152rexbiia 3215 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = (π‘Ž[,)𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
1713, 16bitri 274 1 (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408  β„cr 11108   < clt 11247   ≀ cle 11248  [,)cico 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329
This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  36231  isbasisrelowllem2  36232  icoreclin  36233
  Copyright terms: Public domain W3C validator