Theorem icoreelrnab 36538

Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreelrnab.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreelrnab	⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎,𝑏   𝑧,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoreelrnab.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ima 5688	. . . . . 6 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1, 2	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
4	3	eleq2i 2823	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
5		icoreresf 36536	. . . . 5 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
6		ffn 6716	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
7		ovelrn 7585	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
9	4, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
10		ovres 7575	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) = (𝑎[,)𝑏))
11	10	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏)))
12	11	2rexbiia 3213	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
13	9, 12	bitri 274	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
14		icoreval 36537	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
15	14	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
16	15	2rexbiia 3213	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
17	13, 16	bitri 274	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  {crab 3430  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334

This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  36539  isbasisrelowllem2  36540  icoreclin  36541