Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrnab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrnab 35044
 Description: Elementhood in the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrnab.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrnab (𝑋𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎,𝑏   𝑧,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrnab
StepHypRef Expression
1 icoreelrnab.1 . . . . . 6 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2 df-ima 5538 . . . . . 6 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
31, 2eqtri 2782 . . . . 5 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
43eleq2i 2844 . . . 4 (𝑋𝐼𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
5 icoreresf 35042 . . . . 5 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
6 ffn 6499 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
7 ovelrn 7321 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . 4 (𝑋 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
94, 8bitri 278 . . 3 (𝑋𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏))
10 ovres 7311 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) = (𝑎[,)𝑏))
1110eqeq2d 2770 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏)))
12112rexbiia 3223 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
139, 12bitri 278 . 2 (𝑋𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏))
14 icoreval 35043 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
1514eqeq2d 2770 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}))
16152rexbiia 3223 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = (𝑎[,)𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
1713, 16bitri 278 1 (𝑋𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝑋 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  {crab 3075  𝒫 cpw 4495   class class class wbr 5033   × cxp 5523  ran crn 5526   ↾ cres 5527   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  (class class class)co 7151  ℝcr 10567   < clt 10706   ≤ cle 10707  [,)cico 12774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-ico 12778 This theorem is referenced by:  isbasisrelowllem1  35045  isbasisrelowllem2  35046  icoreclin  35047
 Copyright terms: Public domain W3C validator