Theorem fge0npnf 43523

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0npnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0npnf	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0npnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	frnd 6531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sseldd 3888	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
6		0xr 10845	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		icoub 42680	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
10	5, 9	pm2.65da 817	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  ran crn 5537  ⟶wf 6354  (class class class)co 7191  0cc0 10694  +∞cpnf 10829  ℝ^*cxr 10831  [,)cico 12902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-addrcl 10755  ax-rnegex 10765  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-ico 12906

This theorem is referenced by:  sge0reval  43528  sge0fsum  43543