Theorem fge0npnf 46288

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0npnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0npnf	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0npnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	frnd 6755	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sseldd 4009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
6		0xr 11337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		icoub 45444	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
10	5, 9	pm2.65da 816	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ran crn 5701  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  sge0reval  46293  sge0fsum  46308