Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0npnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0npnf 42999
 Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fge0npnf.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fge0npnf (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf
StepHypRef Expression
1 fge0npnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
21frnd 6498 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
32adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
53, 4sseldd 3919 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
6 0xr 10681 . . . 4 0 ∈ ℝ*
7 icoub 42156 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
98a1i 11 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
105, 9pm2.65da 816 1 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3884  ran crn 5524  ⟶wf 6324  (class class class)co 7139  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667  [,)cico 12732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-addrcl 10591  ax-rnegex 10601  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-ico 12736 This theorem is referenced by:  sge0reval  43004  sge0fsum  43019
 Copyright terms: Public domain W3C validator