Theorem fge0npnf 47376

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0npnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0npnf	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0npnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	frnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sseldd 3932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
6		0xr 11356	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		icoub 46537	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
10	5, 9	pm2.65da 829	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-ico 13482

This theorem is used by:  sge0reval  47381  sge0fsum  47396