MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem2 23466
Description: Lemma for fmfnfm 23469. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
fmfnfm.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
fmfnfm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
fmfnfm.fm (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝐡   𝐹,𝑠,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑠,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑠,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘Œ,𝑠,𝑑,π‘₯

Proof of Theorem fmfnfmlem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐿)
4 fmfnfm.fm . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
5 fmfnfm.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
6 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
7 dffn4 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn π‘Œ ↔ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
86, 7sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
9 foima 6810 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
105, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
11 filtop 23366 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
13 fmfnfm.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
14 fgcl 23389 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
15 filtop 23366 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (π‘ŒfilGen𝐡) = (π‘ŒfilGen𝐡)
1817imaelfm 23462 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
1912, 13, 5, 16, 18syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
2010, 19eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
214, 20sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝐿)
2221ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ ran 𝐹 ∈ 𝐿)
23 filin 23365 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) ∈ 𝐿)
242, 3, 22, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) ∈ 𝐿)
25 simprr 771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑋)
26 elin 3964 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
27 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘Œ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
285, 6, 273syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘Œ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘Œ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
305ffund 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
3130ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ Fun 𝐹)
32 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
335fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
3532, 34eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
36 fvimacnv 7054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3731, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
38 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝐹
39 funfvima2 7235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
4031, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))
41 ssel 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑))
4241ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑))
4340, 42syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑))
4437, 43sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑))
45 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
46 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑 ↔ 𝑦 ∈ 𝑑))
4745, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑑) ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)))
4844, 47syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)))
4948expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))))
5049rexlimdv 3153 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘Œ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)))
5129, 50sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)))
5251impcomd 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))
5352adantrr 715 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))
5426, 53biimtrid 241 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))
5554ssrdv 3988 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) βŠ† 𝑑)
56 filss 23364 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯ ∩ ran 𝐹) ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯ ∩ ran 𝐹) βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
572, 24, 25, 55, 56syl13anc 1372 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑋)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
5857exp32 421 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)))
59 imaeq2 6055 . . . . 5 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
6059sseq1d 4013 . . . 4 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑 ↔ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑))
6160imbi1d 341 . . 3 (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)) ↔ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿))))
6258, 61syl5ibrcom 246 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿))))
6362rexlimdva 3155 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† 𝑋 β†’ 𝑑 ∈ 𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  fBascfbas 20938  filGencfg 20939  Filcfil 23356   FilMap cfm 23444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-fil 23357  df-fm 23449
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23468
  Copyright terms: Public domain W3C validator