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Theorem 1re 10634
 Description: The number 1 is real. This used to be one of our postulates for complex numbers, but Eric Schmidt discovered that it could be derived from a weaker postulate, ax-1cn 10588, by exploiting properties of the imaginary unit i. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Apr-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1re 1 ∈ ℝ

Proof of Theorem 1re
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10599 . . 3 1 ≠ 0
2 ax-1cn 10588 . . . . 5 1 ∈ ℂ
3 cnre 10631 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 1 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 1 = (𝑎 + (i · 𝑏))
5 neeq1 3052 . . . . . . . 8 (1 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (1 ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
65biimpcd 252 . . . . . . 7 (1 ≠ 0 → (1 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
7 0cn 10626 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
8 cnre 10631 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ 0 = (𝑐 + (i · 𝑑)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ 0 = (𝑐 + (i · 𝑑))
10 neeq2 3053 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
1110biimpcd 252 . . . . . . . . 9 ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → (0 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
1211reximdv 3235 . . . . . . . 8 ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → (∃𝑑 ∈ ℝ 0 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
1312reximdv 3235 . . . . . . 7 ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ 0 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
146, 9, 13syl6mpi 67 . . . . . 6 (1 ≠ 0 → (1 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
1514reximdv 3235 . . . . 5 (1 ≠ 0 → (∃𝑏 ∈ ℝ 1 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
1615reximdv 3235 . . . 4 (1 ≠ 0 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 1 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑))))
174, 16mpi 20 . . 3 (1 ≠ 0 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑)))
18 ioran 981 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎𝑐𝑏𝑑) ↔ (¬ 𝑎𝑐 ∧ ¬ 𝑏𝑑))
19 df-ne 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑐 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑐)
2019con2bii 361 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 ↔ ¬ 𝑎𝑐)
21 df-ne 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝑑 ↔ ¬ 𝑏 = 𝑑)
2221con2bii 361 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 ↔ ¬ 𝑏𝑑)
2320, 22anbi12i 629 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) ↔ (¬ 𝑎𝑐 ∧ ¬ 𝑏𝑑))
2418, 23bitr4i 281 . . . . . . . 8 (¬ (𝑎𝑐𝑏𝑑) ↔ (𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑))
25 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑐)
26 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 → (i · 𝑏) = (i · 𝑑))
2725, 26oveqan12d 7158 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = (𝑐 + (i · 𝑑)))
2824, 27sylbi 220 . . . . . . 7 (¬ (𝑎𝑐𝑏𝑑) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = (𝑐 + (i · 𝑑)))
2928necon1ai 3017 . . . . . 6 ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑)) → (𝑎𝑐𝑏𝑑))
30 neeq1 3052 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝑦𝑎𝑦))
31 neeq2 3053 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐 → (𝑎𝑦𝑎𝑐))
3230, 31rspc2ev 3586 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑐) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦)
33323expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑐 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
3433ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑎𝑐 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
35 neeq1 3052 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑦𝑏𝑦))
36 neeq2 3053 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑑 → (𝑏𝑦𝑏𝑑))
3735, 36rspc2ev 3586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦)
38373expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑏𝑑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
3938ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑏𝑑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
4034, 39jaod 856 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
4129, 40syl5 34 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
4241rexlimdvva 3256 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦))
4342rexlimivv 3254 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ (𝑐 + (i · 𝑑)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦)
441, 17, 43mp2b 10 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦
45 eqtr3 2823 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑦)
4645ex 416 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
4746necon3d 3011 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦𝑦 ≠ 0))
48 neeq1 3052 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
4948rspcev 3574 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)
5049expcom 417 . . . . . . 7 (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0))
5147, 50syl6 35 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)))
5251com23 86 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)))
5352adantld 494 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)))
54 neeq1 3052 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
5554rspcev 3574 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)
5655expcom 417 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 0 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0))
5756adantrd 495 . . . . 5 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0))
5857a1dd 50 . . . 4 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)))
5953, 58pm2.61ine 3073 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0))
6059rexlimivv 3254 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥𝑦 → ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0)
61 ax-rrecex 10602 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 · 𝑥) = 1)
62 remulcl 10615 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
6362adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
64 eleq1 2880 . . . . . 6 ((𝑧 · 𝑥) = 1 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
6563, 64syl5ibcom 248 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 · 𝑥) = 1 → 1 ∈ ℝ))
6665rexlimdva 3246 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 · 𝑥) = 1 → 1 ∈ ℝ))
6761, 66mpd 15 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
6867rexlimiva 3243 . 2 (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑧 ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
6944, 60, 68mp2b 10 1 1 ∈ ℝ