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Theorem insiga 30647
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Proof of Theorem insiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4978 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
21biimpi 207 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
32adantr 472 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ V)
4 intssuni 4655 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
54adantr 472 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 𝐴)
6 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
7 elpwi 4325 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ (sigAlgebra‘𝑂))
8 sigasspw 30626 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
9 selpw 4322 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
108, 9sylibr 225 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110ssriv 3765 . . . . . 6 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
127, 11syl6ss 3773 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
14 sspwuni 4768 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
1513, 14sylib 209 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
165, 15sstrd 3771 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
18 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
19 elelpwi 4328 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2017, 18, 19syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
21 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
22 issiga 30621 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2420, 23sylib 209 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2524simprd 489 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))
2625simp1d 1172 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂𝑠)
2726ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠)
28 n0 4095 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠𝐴)
2928biimpi 207 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3120ex 401 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑠𝐴𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3231eximdv 2012 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (∃𝑠 𝑠𝐴 → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3330, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
34 elfvex 6409 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3534exlimiv 2025 . . . . . 6 (∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3633, 35syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 ∈ V)
37 elintg 4641 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3927, 38mpbird 248 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 𝐴)
40 simpll 783 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
41 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
4240, 41jca 507 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
43 elinti 4642 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑠𝐴𝑥𝑠))
4443imp 395 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4544adantll 705 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4625simp2d 1173 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4746r19.21bi 3079 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥𝑠) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4842, 45, 47syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4948ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
50 difexg 4969 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (𝑂𝑥) ∈ V)
5136, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂𝑥) ∈ V)
5251adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ V)
53 elintg 4641 . . . . . 6 ((𝑂𝑥) ∈ V → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5549, 54mpbird 248 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
5655ralrimiva 3113 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
57 simplll 791 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
58 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
5957, 58jca 507 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
60 simpllr 793 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
61 elpwi 4325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
62 intss1 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 𝐴𝑠)
6361, 62sylan9ss 3774 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
64 selpw 4322 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
6563, 64sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6660, 65sylancom 582 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6759, 66jca 507 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠))
68 simplr 785 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ≼ ω)
6925simp3d 1174 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7069r19.21bi 3079 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7167, 68, 70sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
7271ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠)
73 uniexg 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 𝑥 ∈ V)
7473ad2antlr 718 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ V)
75 elintg 4641 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7674, 75syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7772, 76mpbird 248 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 𝐴)
7877ex 401 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7978ralrimiva 3113 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
8039, 56, 793jca 1158 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))
81 issiga 30621 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))))
8281biimpar 469 . 2 (( 𝐴 ∈ V ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
833, 16, 80, 82syl12anc 865 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   cint 4633   class class class wbr 4809  cfv 6068  ωcom 7263  cdom 8158  sigAlgebracsiga 30617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fv 6076  df-siga 30618
This theorem is referenced by:  sigagensiga  30651
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