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Theorem insiga 34138
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Proof of Theorem insiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 5344 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
21biimpi 216 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
32adantr 480 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ V)
4 intssuni 4970 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
54adantr 480 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 𝐴)
6 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
7 elpwi 4607 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ (sigAlgebra‘𝑂))
8 sigasspw 34117 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
9 velpw 4605 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
108, 9sylibr 234 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110ssriv 3987 . . . . . 6 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
127, 11sstrdi 3996 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
14 sspwuni 5100 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
1513, 14sylib 218 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
165, 15sstrd 3994 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
18 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
19 elelpwi 4610 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
21 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
22 issiga 34113 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2420, 23sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2524simprd 495 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))
2625simp1d 1143 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂𝑠)
2726ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠)
28 n0 4353 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠𝐴)
2928biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3120ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑠𝐴𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3231eximdv 1917 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (∃𝑠 𝑠𝐴 → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3330, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
34 elfvex 6944 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3534exlimiv 1930 . . . . . 6 (∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3633, 35syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 ∈ V)
37 elintg 4954 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3927, 38mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 𝐴)
40 simpll 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
41 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
4240, 41jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
43 elinti 4955 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑠𝐴𝑥𝑠))
4443imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4544adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4625simp2d 1144 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4746r19.21bi 3251 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥𝑠) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4842, 45, 47syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4948ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
5036difexd 5331 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂𝑥) ∈ V)
5150adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ V)
52 elintg 4954 . . . . . 6 ((𝑂𝑥) ∈ V → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5351, 52syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5449, 53mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
5554ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
56 simplll 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
5856, 57jca 511 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
59 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
60 elpwi 4607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
61 intss1 4963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 𝐴𝑠)
6260, 61sylan9ss 3997 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
63 velpw 4605 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
6462, 63sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6559, 64sylancom 588 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6658, 65jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠))
67 simplr 769 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ≼ ω)
6825simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
6968r19.21bi 3251 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7066, 67, 69sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
7170ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠)
72 uniexg 7760 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 𝑥 ∈ V)
7372ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ V)
74 elintg 4954 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7671, 75mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 𝐴)
7776ex 412 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7877ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7939, 55, 783jca 1129 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))
80 issiga 34113 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))))
8180biimpar 477 . 2 (( 𝐴 ∈ V ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
823, 16, 79, 81syl12anc 837 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   cint 4946   class class class wbr 5143  cfv 6561  ωcom 7887  cdom 8983  sigAlgebracsiga 34109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-siga 34110
This theorem is referenced by:  sigagensiga  34142
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