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Theorem insiga 31624
 Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Proof of Theorem insiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 5207 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
21biimpi 219 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
32adantr 484 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ V)
4 intssuni 4860 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
54adantr 484 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 𝐴)
6 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
7 elpwi 4503 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ (sigAlgebra‘𝑂))
8 sigasspw 31603 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
9 velpw 4499 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂)
108, 9sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110ssriv 3896 . . . . . 6 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
127, 11sstrdi 3904 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
14 sspwuni 4987 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
1513, 14sylib 221 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
165, 15sstrd 3902 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
18 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂))
19 elelpwi 4506 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2017, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
21 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
22 issiga 31599 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2420, 23sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))))
2524simprd 499 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠)))
2625simp1d 1139 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂𝑠)
2726ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠)
28 n0 4245 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠𝐴)
2928biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3029adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠𝐴)
3120ex 416 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑠𝐴𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3231eximdv 1918 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (∃𝑠 𝑠𝐴 → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂)))
3330, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
34 elfvex 6691 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3534exlimiv 1931 . . . . . 6 (∃𝑠 𝑠 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑂 ∈ V)
3633, 35syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 ∈ V)
37 elintg 4846 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑂𝑠))
3927, 38mpbird 260 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝑂 𝐴)
40 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
41 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
4240, 41jca 515 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
43 elinti 4847 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑠𝐴𝑥𝑠))
4443imp 410 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4544adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
4625simp2d 1140 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4746r19.21bi 3137 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥𝑠) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4842, 45, 47syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
4948ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠)
50 difexg 5197 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (𝑂𝑥) ∈ V)
5136, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂𝑥) ∈ V)
5251adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ V)
53 elintg 4846 . . . . . 6 ((𝑂𝑥) ∈ V → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠))
5549, 54mpbird 260 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
5655ralrimiva 3113 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴)
57 simplll 774 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)))
58 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
5957, 58jca 515 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴))
60 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
61 elpwi 4503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
62 intss1 4853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 𝐴𝑠)
6361, 62sylan9ss 3905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
64 velpw 4499 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
6563, 64sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6660, 65sylancom 591 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
6759, 66jca 515 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠))
68 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥 ≼ ω)
6925simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7069r19.21bi 3137 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑠𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑠))
7167, 68, 70sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑥𝑠)
7271ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠)
73 uniexg 7464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 𝑥 ∈ V)
7473ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ V)
75 elintg 4846 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7674, 75syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑥𝑠))
7772, 76mpbird 260 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 𝐴)
7877ex 416 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
7978ralrimiva 3113 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴))
8039, 56, 793jca 1125 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))
81 issiga 31599 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))))
8281biimpar 481 . 2 (( 𝐴 ∈ V ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴(𝑂𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≼ ω → 𝑥 𝐴)))) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
833, 16, 80, 82syl12anc 835 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 (sigAlgebra‘𝑂)) → 𝐴 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798  ∩ cint 4838   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  ωcom 7579   ≼ cdom 8525  sigAlgebracsiga 31595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fv 6343  df-siga 31596 This theorem is referenced by:  sigagensiga  31628
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