Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooltub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooltub 43680
Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooltub ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub
StepHypRef Expression
1 elioo2 13297 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp3 1138 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
31, 2syl6bi 252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
433impia 1117 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cr 11046  *cxr 11184   < clt 11185  (,)cioo 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-ioo 13260
This theorem is referenced by:  iooshift  43692  icoopn  43695  iooiinicc  43712  iooltubd  43714  iooiinioc  43726  lptre2pt  43813  limcresiooub  43815  limcresioolb  43816  sinaover2ne0  44041  dvbdfbdioolem1  44101  dvbdfbdioolem2  44102  ioodvbdlimc1lem1  44104  ioodvbdlimc2lem  44107  fourierdlem27  44307  fourierdlem28  44308  fourierdlem40  44320  fourierdlem41  44321  fourierdlem46  44325  fourierdlem48  44327  fourierdlem49  44328  fourierdlem57  44336  fourierdlem59  44338  fourierdlem62  44341  fourierdlem64  44343  fourierdlem68  44347  fourierdlem73  44352  fourierdlem76  44355  fourierdlem78  44357  fourierdlem84  44363  fourierdlem90  44369  fourierdlem92  44371  fourierdlem97  44376  fourierdlem103  44382  fourierdlem104  44383  fourierdlem111  44390  sqwvfoura  44401  sqwvfourb  44402  fouriersw  44404  etransclem23  44430  qndenserrnbllem  44467  ioorrnopnlem  44477  ioorrnopnxrlem  44479  hspdifhsp  44789  hoiqssbllem1  44795  hoiqssbllem2  44796  hspmbllem2  44800  iunhoiioolem  44848  pimiooltgt  44883  pimdecfgtioo  44890  pimincfltioo  44891  smfaddlem1  44936  smfmullem1  44964  smfmullem2  44965
  Copyright terms: Public domain W3C validator