Theorem iooltub 42513

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	syl6bi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  ℝ^*cxr 10712   < clt 10713  (,)cioo 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-ioo 12783

This theorem is referenced by:  iooshift  42525  icoopn  42528  iooiinicc  42545  iooltubd  42547  iooiinioc  42559  lptre2pt  42648  limcresiooub  42650  limcresioolb  42651  sinaover2ne0  42876  dvbdfbdioolem1  42936  dvbdfbdioolem2  42937  ioodvbdlimc1lem1  42939  ioodvbdlimc2lem  42942  fourierdlem27  43142  fourierdlem28  43143  fourierdlem40  43155  fourierdlem41  43156  fourierdlem46  43160  fourierdlem48  43162  fourierdlem49  43163  fourierdlem57  43171  fourierdlem59  43173  fourierdlem62  43176  fourierdlem64  43178  fourierdlem68  43182  fourierdlem73  43187  fourierdlem76  43190  fourierdlem78  43192  fourierdlem84  43198  fourierdlem90  43204  fourierdlem92  43206  fourierdlem97  43211  fourierdlem103  43217  fourierdlem104  43218  fourierdlem111  43225  sqwvfoura  43236  sqwvfourb  43237  fouriersw  43239  etransclem23  43265  qndenserrnbllem  43302  ioorrnopnlem  43312  ioorrnopnxrlem  43314  hspdifhsp  43621  hoiqssbllem1  43627  hoiqssbllem2  43628  hspmbllem2  43632  iunhoiioolem  43680  pimiooltgt  43712  pimdecfgtioo  43718  pimincfltioo  43719  smfaddlem1  43762  smfmullem1  43789  smfmullem2  43790