Theorem iooltub 41349

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	syl6bi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  ℝ^*cxr 10527   < clt 10528  (,)cioo 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-ioo 12596

This theorem is referenced by:  iooshift  41361  icoopn  41364  iooiinicc  41381  iooltubd  41383  iooiinioc  41395  lptre2pt  41484  limcresiooub  41486  limcresioolb  41487  sinaover2ne0  41712  dvbdfbdioolem1  41776  dvbdfbdioolem2  41777  ioodvbdlimc1lem1  41779  ioodvbdlimc2lem  41782  fourierdlem27  41983  fourierdlem28  41984  fourierdlem40  41996  fourierdlem41  41997  fourierdlem46  42001  fourierdlem48  42003  fourierdlem49  42004  fourierdlem57  42012  fourierdlem59  42014  fourierdlem60  42015  fourierdlem61  42016  fourierdlem62  42017  fourierdlem64  42019  fourierdlem68  42023  fourierdlem73  42028  fourierdlem76  42031  fourierdlem78  42033  fourierdlem84  42039  fourierdlem90  42045  fourierdlem92  42047  fourierdlem97  42052  fourierdlem103  42058  fourierdlem104  42059  fourierdlem111  42066  sqwvfoura  42077  sqwvfourb  42078  fouriersw  42080  etransclem23  42106  qndenserrnbllem  42143  ioorrnopnlem  42153  ioorrnopnxrlem  42155  hspdifhsp  42462  hoiqssbllem1  42468  hoiqssbllem2  42469  hspmbllem2  42473  iunhoiioolem  42521  pimiooltgt  42553  pimdecfgtioo  42559  pimincfltioo  42560  smfaddlem1  42603  smfmullem1  42630  smfmullem2  42631