Theorem iooltub 46085

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  (,)cioo 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13364

This theorem is referenced by:  iooshift  46097  icoopn  46100  iooiinicc  46117  iooltubd  46119  iooiinioc  46131  lptre2pt  46213  limcresiooub  46215  limcresioolb  46216  sinaover2ne0  46441  dvbdfbdioolem1  46501  dvbdfbdioolem2  46502  ioodvbdlimc1lem1  46504  ioodvbdlimc2lem  46507  fourierdlem27  46707  fourierdlem28  46708  fourierdlem40  46720  fourierdlem41  46721  fourierdlem46  46725  fourierdlem48  46727  fourierdlem57  46736  fourierdlem59  46738  fourierdlem62  46741  fourierdlem64  46743  fourierdlem68  46747  fourierdlem73  46752  fourierdlem76  46755  fourierdlem78  46757  fourierdlem84  46763  fourierdlem90  46769  fourierdlem92  46771  fourierdlem97  46776  fourierdlem103  46782  fourierdlem104  46783  fourierdlem111  46790  sqwvfoura  46801  sqwvfourb  46802  fouriersw  46804  etransclem23  46830  qndenserrnbllem  46867  ioorrnopnlem  46877  ioorrnopnxrlem  46879  hspdifhsp  47189  hoiqssbllem1  47195  hoiqssbllem2  47196  hspmbllem2  47200  iunhoiioolem  47248  pimdecfgtioo  47290  pimincfltioo  47291  smfaddlem1  47336  smfmullem1  47364  smfmullem2  47365