Theorem iooltub 46046

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209  (,)cioo 13342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-ioo 13346

This theorem is referenced by:  iooshift  46058  icoopn  46061  iooiinicc  46078  iooltubd  46080  iooiinioc  46092  lptre2pt  46174  limcresiooub  46176  limcresioolb  46177  sinaover2ne0  46402  dvbdfbdioolem1  46462  dvbdfbdioolem2  46463  ioodvbdlimc1lem1  46465  ioodvbdlimc2lem  46468  fourierdlem27  46668  fourierdlem28  46669  fourierdlem40  46681  fourierdlem41  46682  fourierdlem46  46686  fourierdlem48  46688  fourierdlem57  46697  fourierdlem59  46699  fourierdlem62  46702  fourierdlem64  46704  fourierdlem68  46708  fourierdlem73  46713  fourierdlem76  46716  fourierdlem78  46718  fourierdlem84  46724  fourierdlem90  46730  fourierdlem92  46732  fourierdlem97  46737  fourierdlem103  46743  fourierdlem104  46744  fourierdlem111  46751  sqwvfoura  46762  sqwvfourb  46763  fouriersw  46765  etransclem23  46791  qndenserrnbllem  46828  ioorrnopnlem  46838  ioorrnopnxrlem  46840  hspdifhsp  47150  hoiqssbllem1  47156  hoiqssbllem2  47157  hspmbllem2  47161  iunhoiioolem  47209  pimdecfgtioo  47251  pimincfltioo  47252  smfaddlem1  47297  smfmullem1  47325  smfmullem2  47326