Theorem iooltub 44522

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332

This theorem is referenced by:  iooshift  44534  icoopn  44537  iooiinicc  44554  iooltubd  44556  iooiinioc  44568  lptre2pt  44655  limcresiooub  44657  limcresioolb  44658  sinaover2ne0  44883  dvbdfbdioolem1  44943  dvbdfbdioolem2  44944  ioodvbdlimc1lem1  44946  ioodvbdlimc2lem  44949  fourierdlem27  45149  fourierdlem28  45150  fourierdlem40  45162  fourierdlem41  45163  fourierdlem46  45167  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem57  45178  fourierdlem59  45180  fourierdlem62  45183  fourierdlem64  45185  fourierdlem68  45189  fourierdlem73  45194  fourierdlem76  45197  fourierdlem78  45199  fourierdlem84  45205  fourierdlem90  45211  fourierdlem92  45213  fourierdlem97  45218  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem111  45232  sqwvfoura  45243  sqwvfourb  45244  fouriersw  45246  etransclem23  45272  qndenserrnbllem  45309  ioorrnopnlem  45319  ioorrnopnxrlem  45321  hspdifhsp  45631  hoiqssbllem1  45637  hoiqssbllem2  45638  hspmbllem2  45642  iunhoiioolem  45690  pimiooltgt  45725  pimdecfgtioo  45732  pimincfltioo  45733  smfaddlem1  45778  smfmullem1  45806  smfmullem2  45807