Theorem iooltub 45515

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  (,)cioo 13313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317

This theorem is referenced by:  iooshift  45527  icoopn  45530  iooiinicc  45547  iooltubd  45549  iooiinioc  45561  lptre2pt  45645  limcresiooub  45647  limcresioolb  45648  sinaover2ne0  45873  dvbdfbdioolem1  45933  dvbdfbdioolem2  45934  ioodvbdlimc1lem1  45936  ioodvbdlimc2lem  45939  fourierdlem27  46139  fourierdlem28  46140  fourierdlem40  46152  fourierdlem41  46153  fourierdlem46  46157  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem57  46168  fourierdlem59  46170  fourierdlem62  46173  fourierdlem64  46175  fourierdlem68  46179  fourierdlem73  46184  fourierdlem76  46187  fourierdlem78  46189  fourierdlem84  46195  fourierdlem90  46201  fourierdlem92  46203  fourierdlem97  46208  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem111  46222  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  fouriersw  46236  etransclem23  46262  qndenserrnbllem  46299  ioorrnopnlem  46309  ioorrnopnxrlem  46311  hspdifhsp  46621  hoiqssbllem1  46627  hoiqssbllem2  46628  hspmbllem2  46632  iunhoiioolem  46680  pimiooltgt  46715  pimdecfgtioo  46722  pimincfltioo  46723  smfaddlem1  46768  smfmullem1  46796  smfmullem2  46797