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Theorem isf34lem4 9791
Description: Lemma for isfin3-4 9796. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 5018 . . . . 5 (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 𝑋𝐴)
2 compss.a . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem1 9786 . . . . 5 ((𝐴𝑉 𝑋𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
41, 3sylan2b 593 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
54adantrr 713 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
6 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 𝑋)
7 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → 𝑏𝐴)
87ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)
9 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → ¬ 𝑏𝑎)
108, 9eldifd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑎))
11 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)
12 elunii 4841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (𝐴𝑎) ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 𝑋)
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 𝑋)
1413ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏𝑎𝑏 𝑋))
156, 14mt3d 150 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏𝑎)
1615expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1716ralrimiva 3186 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1817ex 413 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
19 n0 4313 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑋)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
2120sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝐴)
23 dfss4 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
2422, 23sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
2624, 25eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
27 difss 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴
28 elpw2g 5243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴))
2927, 28mpbiri 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
3029ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31 difeq2 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)))
3231eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋))
33 eleq2 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝑏𝑎𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
3432, 33imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3534rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3630, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3726, 36mpid 44 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
38 eldifi 4106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐴𝑐) → 𝑏𝐴)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
4039ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4140exlimdv 1927 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4219, 41syl5bi 243 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4342impr 455 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
44 eluni 4839 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋))
4529ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
4626adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
4746adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
48 elndif 4108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
4948ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
5047, 49jcn 338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5134notbid 319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
5251rspcev 3626 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5345, 50, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
54 rexnal 3242 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5553, 54sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5655ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5756exlimdv 1927 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5844, 57syl5bi 243 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5958con2d 136 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ¬ 𝑏 𝑋))
6043, 59jcad 513 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)))
6118, 60impbid 213 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
62 eldif 3949 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋))
63 vex 3502 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
6463elintrab 4885 . . . . 5 (𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
6561, 62, 643bitr4g 315 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ 𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}))
6665eqrdv 2822 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
675, 66eqtrd 2860 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
682compss 9790 . . 3 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
6968inteqi 4877 . 2 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7067, 69syl6eqr 2878 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  cdif 3936  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541   cuni 4836   cint 4873  cmpt 5142  cima 5556  cfv 6351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fv 6359
This theorem is referenced by:  isf34lem5  9792  isf34lem6  9794
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