Theorem isf34lem4 10285

Description: Lemma for isfin3-4 10290. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ (𝐹 “ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspwuni 5053	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		compss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	isf34lem1 10280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
4	1, 3	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
5	4	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
6		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
7		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑎)
10	8, 9	eldifd 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
11		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)
12		elunii 4866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏 ∈ 𝑎 → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
15	6, 14	mt3d 148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑎)
16	15	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
17	16	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
19		n0 4303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑋)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
21	20	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
22	21	elpwid 4561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
23		dfss4 4219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) = 𝑐)
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) = 𝑐)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝑋)
26	24, 25	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
27		difss 4086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑐) ⊆ 𝐴
28		elpw2g 5276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑐) ⊆ 𝐴))
29	27, 28	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31		difeq2 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (𝐴 ∖ 𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)))
32	31	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋))
33		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
34	32, 33	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
35	34	rspcv 3570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
37	26, 36	mpid 44	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
38		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝐴)
39	37, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
41	40	exlimdv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
42	19, 41	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
43	42	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴))
44		eluni 4864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))
45	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
46	26	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
47	46	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
48		elndif 4083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
49	48	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
50	47, 49	jcnd 163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
51	34	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
52	51	rspcev 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
53	45, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
54		rexnal 3086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
55	53, 54	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
56	55	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
57	56	exlimdv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
58	44, 57	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ ∪ 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
59	58	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
60	43, 59	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)))
61	18, 60	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
62		eldif 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
63		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑏 ∈ V
64	63	elintrab 4913	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
65	61, 62, 64	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) ↔ 𝑏 ∈ ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}))
66	65	eqrdv 2732	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋})
67	5, 66	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋})
68	2	compss 10284	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}
69	68	inteqi 4904	. 2 ⊢ ∩ (𝐹 “ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}
70	67, 69	eqtr4di 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ (𝐹 “ 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861  ∩ cint 4900   ↦ cmpt 5177   “ cima 5625  ‘cfv 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498

This theorem is referenced by:  isf34lem5  10286  isf34lem6  10288