Theorem ishlg2 28942

Description: Alternate version of ishlg 28945, including closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ishlg2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ishlg2	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))

Proof of Theorem ishlg2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq2 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 ≠ 𝐶))
2		neeq2 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 ≠ 𝐶))
3		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝑏))
4	3	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏)))
5		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝑎))
6	5	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))
7	4, 6	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))
8	1, 2, 7	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))))
9	8	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))))
10	9	opabbidv 5175	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
11		ishlg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
12		ishlg2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
13		elex 3474	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
14		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
15		ishlg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
16	14, 15	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
17	16	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑎 ∈ 𝑃))
18	16	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑏 ∈ 𝑃))
19	17, 18	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = (Itv‘𝐺))
21		ishlg.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
22	20, 21	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = 𝐼)
23	22	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) = (𝑐𝐼𝑏))
24	23	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏)))
25	22	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) = (𝑐𝐼𝑎))
26	25	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))
27	24, 26	orbi12d 932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))
28	27	3anbi3d 1470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))))
29	19, 28	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))))
30	29	opabbidv 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))})
31	16, 30	mpteq12dv 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
32		df-hlg 28941	. . . . . . 7 ⊢ hlG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}))
33	31, 32, 15	mptfvmpt 7230	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
34	12, 13, 33	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
35	11, 34	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
36		ishlg2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	15	fvexi 6896	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
38	37, 37	xpex 7755	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 × 𝑃) ∈ V
39		opabssxp 5751	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ⊆ (𝑃 × 𝑃)
40	38, 39	ssexi 5291	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V)
42	10, 35, 36, 41	fvmptd4 7015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐶) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
43	42	breqd 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵))
44		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑎 = 𝐴)
45	44	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ≠ 𝐶 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
46		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑏 = 𝐵)
47	46	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
48	46	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝐵))
49	44, 48	eleq12d 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
50	44	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝐴))
51	46, 50	eleq12d 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎) ↔ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
52	49, 51	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
53	45, 47, 52	3anbi123d 1464	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
54		eqid 2762	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}
55	53, 54	brab2a 5752	. 2 ⊢ (𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	43, 55	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  {copab 5171   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  Itvcitv 28772  hlGchlg 28940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-hlg 28941

This theorem is used by:  hlgrcl1  28943  hlgrcl2  28944