Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextlsp 30989
 Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
drgext.3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐵))
5 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = ( ·𝑠𝐵))
6 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7 drgext.2 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
98subrgss 19528 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11 drgext.b . . . . 5 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
1312, 10srabase 19942 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
1410, 13sseqtrd 4005 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15 eqid 2819 . . . 4 (1r𝐸) = (1r𝐸)
1615subrg1cl 19535 . . 3 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r𝐸) ∈ 𝑈)
17 ne0i 4298 . . 3 ((1r𝐸) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
187, 16, 173syl 18 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
19 drgext.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 19502 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 19946 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = ( ·𝑠𝐵))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
25 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (.r𝐸) = (.r𝐸)
2624, 25ressmulr 16617 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r𝐸) = (.r𝐹))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = (.r𝐹))
2823, 27eqtr3d 2856 . . . . . 6 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = (.r𝐹))
2928oveqdr 7176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) = (𝑥(.r𝐹)𝑎))
30 drngring 19501 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1189 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3412, 10srasca 19945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
3524, 34syl5eq 2866 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐵))
3635fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3736adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3833, 37eleqtrrd 2914 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39 simpr2 1190 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
4024, 8ressbas2 16547 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐹))
4241adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4339, 42eleqtrd 2913 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44 eqid 2819 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45 eqid 2819 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
4644, 45ringcl 19303 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4829, 47eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49 simpr3 1191 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
5049, 42eleqtrd 2913 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51 eqid 2819 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
5244, 51grpcl 18103 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5412, 10sraaddg 19943 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐵))
55 eqid 2819 . . . . . . . 8 (+g𝐸) = (+g𝐸)
5624, 55ressplusg 16604 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g𝐸) = (+g𝐹))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐹))
5854, 57eqtr3d 2856 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐹))
5958adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (+g𝐵) = (+g𝐹))
6059oveqd 7165 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2926 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 19699 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  Grpcgrp 18095  1rcur 19243  Ringcrg 19289  DivRingcdr 19494  SubRingcsubrg 19523  LSubSpclss 19695  subringAlg csra 19932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19232  df-ring 19291  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-lss 19696  df-sra 19936 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator