Theorem drgextlsp 33326

Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drgextlsp	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐵))
5		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
6		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20518	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11		drgext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
13	12, 10	srabase 21070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
14	10, 13	sseqtrd 4022	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
16	15	subrg1cl 20526	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r‘𝐸) ∈ 𝑈)
17		ne0i 4338	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐸) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
18	7, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
19		drgext.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
20		drnggrp 20641	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
22	21	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
23	12, 10	sravsca 21078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
24		drgext.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
25		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
26	24, 25	ressmulr 17295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
27	7, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
28	23, 27	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = (.r‘𝐹))
29	28	oveqdr 7454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) = (𝑥(.r‘𝐹)𝑎))
30		drngring 20638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33		simpr1 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
34	12, 10	srasca 21076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
35	24, 34	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐵))
36	35	fveq2d 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
37	36	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
38	33, 37	eleqtrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39		simpr2 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
40	24, 8	ressbas2 17225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐹))
42	41	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
43	39, 42	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
46	44, 45	ringcl 20197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
47	32, 38, 43, 46	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
48	29, 47	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
50	49, 42	eleqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
52	44, 51	grpcl 18905	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
53	22, 48, 50, 52	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
54	12, 10	sraaddg 21072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐵))
55		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
56	24, 55	ressplusg 17278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
57	7, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
58	54, 57	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
59	58	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
60	59	oveqd 7443	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏))
61	53, 60, 42	3eltr4d 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61	islssd 20826	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  Grpcgrp 18897  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20513  DivRingcdr 20631  LSubSpclss 20822  subringAlg csra 21063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-mgp 20082  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lss 20823  df-sra 21065

This theorem is referenced by: (None)