Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextlsp 31681
Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
drgext.3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐵))
5 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = ( ·𝑠𝐵))
6 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7 drgext.2 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
98subrgss 20025 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11 drgext.b . . . . 5 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
1312, 10srabase 20441 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
1410, 13sseqtrd 3961 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15 eqid 2738 . . . 4 (1r𝐸) = (1r𝐸)
1615subrg1cl 20032 . . 3 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r𝐸) ∈ 𝑈)
17 ne0i 4268 . . 3 ((1r𝐸) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
187, 16, 173syl 18 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
19 drgext.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 19999 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 20449 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = ( ·𝑠𝐵))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
25 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (.r𝐸) = (.r𝐸)
2624, 25ressmulr 17017 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r𝐸) = (.r𝐹))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = (.r𝐹))
2823, 27eqtr3d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = (.r𝐹))
2928oveqdr 7303 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) = (𝑥(.r𝐹)𝑎))
30 drngring 19998 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1193 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3412, 10srasca 20447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
3524, 34eqtrid 2790 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐵))
3635fveq2d 6778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3833, 37eleqtrrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39 simpr2 1194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
4024, 8ressbas2 16949 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐹))
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4339, 42eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
4644, 45ringcl 19800 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4829, 47eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
5049, 42eleqtrd 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51 eqid 2738 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
5244, 51grpcl 18585 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5412, 10sraaddg 20443 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐵))
55 eqid 2738 . . . . . . . 8 (+g𝐸) = (+g𝐸)
5624, 55ressplusg 17000 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g𝐸) = (+g𝐹))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐹))
5854, 57eqtr3d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐹))
5958adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (+g𝐵) = (+g𝐹))
6059oveqd 7292 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2854 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 20197 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wss 3887  c0 4256  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  s cress 16941  +gcplusg 16962  .rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  1rcur 19737  Ringcrg 19783  DivRingcdr 19991  SubRingcsubrg 20020  LSubSpclss 20193  subringAlg csra 20430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lss 20194  df-sra 20434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator