Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextlsp 33334
Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
drgext.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
drgext.f 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
drgext.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))

Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π΅) = (Scalarβ€˜π΅))
2 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π΅) = (Baseβ€˜π΅))
4 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜π΅))
5 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
6 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π΅) = (LSubSpβ€˜π΅))
7 drgext.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
8 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
98subrgss 20525 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
11 drgext.b . . . . 5 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ))
1312, 10srabase 21077 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜π΅))
1410, 13sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π΅))
15 eqid 2728 . . . 4 (1rβ€˜πΈ) = (1rβ€˜πΈ)
1615subrg1cl 20533 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ)
17 ne0i 4338 . . 3 ((1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
187, 16, 173syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
19 drgext.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 20648 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 21085 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
25 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΈ)
2624, 25ressmulr 17297 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
2823, 27eqtr3d 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = (.rβ€˜πΉ))
2928oveqdr 7454 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž))
30 drngring 20645 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3412, 10srasca 21083 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π΅))
3524, 34eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π΅))
3635fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3736adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3833, 37eleqtrrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
4024, 8ressbas2 17227 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4241adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4339, 42eleqtrd 2831 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
45 eqid 2728 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
4644, 45ringcl 20204 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4829, 47eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
49 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
5049, 42eleqtrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
51 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
5244, 51grpcl 18912 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5412, 10sraaddg 21079 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜π΅))
55 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΈ)
5624, 55ressplusg 17280 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
5854, 57eqtr3d 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
5958adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
6059oveqd 7443 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2844 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) ∈ π‘ˆ)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 20833 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  Grpcgrp 18904  1rcur 20135  Ringcrg 20187  SubRingcsubrg 20520  DivRingcdr 20638  LSubSpclss 20829  subringAlg csra 21070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-mgp 20089  df-ring 20189  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lss 20830  df-sra 21072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator