Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drgextlsp 33198
Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
drgext.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
drgext.f 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
drgext.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))
Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π΅) = (Scalarβ€˜π΅))
2 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π΅) = (Baseβ€˜π΅))
4 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜π΅))
5 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
6 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π΅) = (LSubSpβ€˜π΅))
7 drgext.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
8 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
98subrgss 20474 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
11 drgext.b . . . . 5 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ))
1312, 10srabase 21026 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜π΅))
1410, 13sseqtrd 4017 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π΅))
15 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜πΈ) = (1rβ€˜πΈ)
1615subrg1cl 20482 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ)
17 ne0i 4329 . . 3 ((1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
187, 16, 173syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
19 drgext.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 20597 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 21034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
25 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΈ)
2624, 25ressmulr 17261 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
2823, 27eqtr3d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = (.rβ€˜πΉ))
2928oveqdr 7433 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž))
30 drngring 20594 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3412, 10srasca 21032 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π΅))
3524, 34eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π΅))
3635fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3833, 37eleqtrrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
4024, 8ressbas2 17191 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4339, 42eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
45 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
4644, 45ringcl 20155 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4829, 47eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
49 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
5049, 42eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
51 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
5244, 51grpcl 18871 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5412, 10sraaddg 21028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜π΅))
55 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΈ)
5624, 55ressplusg 17244 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
5854, 57eqtr3d 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
5958adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
6059oveqd 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2842 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) ∈ π‘ˆ)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 20782 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Grpcgrp 18863  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  LSubSpclss 20778  subringAlg csra 21019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lss 20779  df-sra 21021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator