Theorem drgextlsp 33629

Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drgextlsp	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐵))
5		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
6		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20491	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11		drgext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
13	12, 10	srabase 21115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
14	10, 13	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
16	15	subrg1cl 20499	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r‘𝐸) ∈ 𝑈)
17		ne0i 4290	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐸) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
18	7, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
19		drgext.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
20		drnggrp 20658	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
23	12, 10	sravsca 21119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
24		drgext.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
25		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
26	24, 25	ressmulr 17215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
27	7, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
28	23, 27	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = (.r‘𝐹))
29	28	oveqdr 7382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) = (𝑥(.r‘𝐹)𝑎))
30		drngring 20655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
34	12, 10	srasca 21118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
35	24, 34	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐵))
36	35	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
38	33, 37	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
40	24, 8	ressbas2 17153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐹))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
43	39, 42	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
46	44, 45	ringcl 20172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
47	32, 38, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
48	29, 47	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
50	49, 42	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
52	44, 51	grpcl 18858	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
53	22, 48, 50, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
54	12, 10	sraaddg 21116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐵))
55		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
56	24, 55	ressplusg 17199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
57	7, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
58	54, 57	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
60	59	oveqd 7371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏))
61	53, 60, 42	3eltr4d 2848	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61	islssd 20872	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124   ↾_s cress 17145  +_gcplusg 17165  ._rcmulr 17166  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  Grpcgrp 18850  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  SubRingcsubrg 20488  DivRingcdr 20648  LSubSpclss 20868  subringAlg csra 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-mgp 20063  df-ring 20157  df-subrg 20489  df-drng 20650  df-lss 20869  df-sra 21111

This theorem is referenced by: (None)