Theorem drgextlsp 33596

Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drgextlsp	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐵))
5		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
6		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20488	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11		drgext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
13	12, 10	srabase 21091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
14	10, 13	sseqtrd 3986	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
16	15	subrg1cl 20496	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r‘𝐸) ∈ 𝑈)
17		ne0i 4307	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐸) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
18	7, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
19		drgext.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
20		drnggrp 20655	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
23	12, 10	sravsca 21095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
24		drgext.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
25		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
26	24, 25	ressmulr 17277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
27	7, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
28	23, 27	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = (.r‘𝐹))
29	28	oveqdr 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) = (𝑥(.r‘𝐹)𝑎))
30		drngring 20652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
34	12, 10	srasca 21094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
35	24, 34	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐵))
36	35	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
38	33, 37	eleqtrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
40	24, 8	ressbas2 17215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐹))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
43	39, 42	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
46	44, 45	ringcl 20166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
47	32, 38, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
48	29, 47	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
50	49, 42	eleqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
52	44, 51	grpcl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
53	22, 48, 50, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
54	12, 10	sraaddg 21092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐵))
55		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
56	24, 55	ressplusg 17261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
57	7, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
58	54, 57	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
60	59	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏))
61	53, 60, 42	3eltr4d 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61	islssd 20848	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  Grpcgrp 18872  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  SubRingcsubrg 20485  DivRingcdr 20645  LSubSpclss 20844  subringAlg csra 21085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mgp 20057  df-ring 20151  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lss 20845  df-sra 21087

This theorem is referenced by: (None)