Theorem drgextlsp 31681

Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drgextlsp	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐵))
5		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
6		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20025	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11		drgext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
13	12, 10	srabase 20441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
14	10, 13	sseqtrd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
16	15	subrg1cl 20032	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r‘𝐸) ∈ 𝑈)
17		ne0i 4268	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐸) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
18	7, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
19		drgext.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
20		drnggrp 19999	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
23	12, 10	sravsca 20449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
24		drgext.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
25		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
26	24, 25	ressmulr 17017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
27	7, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
28	23, 27	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = (.r‘𝐹))
29	28	oveqdr 7303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) = (𝑥(.r‘𝐹)𝑎))
30		drngring 19998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33		simpr1 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
34	12, 10	srasca 20447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
35	24, 34	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐵))
36	35	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
38	33, 37	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39		simpr2 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
40	24, 8	ressbas2 16949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐹))
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
43	39, 42	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
46	44, 45	ringcl 19800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
47	32, 38, 43, 46	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
48	29, 47	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
50	49, 42	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
52	44, 51	grpcl 18585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
53	22, 48, 50, 52	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
54	12, 10	sraaddg 20443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐵))
55		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
56	24, 55	ressplusg 17000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
57	7, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
58	54, 57	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
59	58	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
60	59	oveqd 7292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏))
61	53, 60, 42	3eltr4d 2854	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61	islssd 20197	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  DivRingcdr 19991  SubRingcsubrg 20020  LSubSpclss 20193  subringAlg csra 20430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lss 20194  df-sra 20434

This theorem is referenced by: (None)