Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drgextlsp 32676
Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
drgext.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
drgext.f 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
drgext.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))
Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π΅) = (Scalarβ€˜π΅))
2 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π΅) = (Baseβ€˜π΅))
4 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜π΅))
5 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
6 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π΅) = (LSubSpβ€˜π΅))
7 drgext.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
8 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
98subrgss 20319 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
11 drgext.b . . . . 5 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ))
1312, 10srabase 20791 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜π΅))
1410, 13sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π΅))
15 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΈ) = (1rβ€˜πΈ)
1615subrg1cl 20326 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ)
17 ne0i 4334 . . 3 ((1rβ€˜πΈ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
187, 16, 173syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
19 drgext.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 20366 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 20799 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = ( ·𝑠 β€˜π΅))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΈ)
2624, 25ressmulr 17251 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΉ))
2823, 27eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π΅) = (.rβ€˜πΉ))
2928oveqdr 7436 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž))
30 drngring 20363 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3412, 10srasca 20797 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π΅))
3524, 34eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π΅))
3635fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)))
3833, 37eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
4024, 8ressbas2 17181 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΉ))
4339, 42eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ))
44 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
45 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
4644, 45ringcl 20072 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4829, 47eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
49 simpr3 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
5049, 42eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
51 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
5244, 51grpcl 18826 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
5412, 10sraaddg 20793 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜π΅))
55 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΈ)
5624, 55ressplusg 17234 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΈ) = (+gβ€˜πΉ))
5854, 57eqtr3d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
5958adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (+gβ€˜π΅) = (+gβ€˜πΉ))
6059oveqd 7425 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜πΉ)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2848 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΅)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π΅)π‘Ž)(+gβ€˜π΅)𝑏) ∈ π‘ˆ)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 20545 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18818  1rcur 20003  Ringcrg 20055  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  LSubSpclss 20541  subringAlg csra 20780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lss 20542  df-sra 20784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator