Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextlsp 31245
Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
drgext.3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
drgextlsp (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐵))
5 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = ( ·𝑠𝐵))
6 eqidd 2739 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7 drgext.2 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
98subrgss 19648 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11 drgext.b . . . . 5 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
1312, 10srabase 20062 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
1410, 13sseqtrd 3915 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15 eqid 2738 . . . 4 (1r𝐸) = (1r𝐸)
1615subrg1cl 19655 . . 3 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r𝐸) ∈ 𝑈)
17 ne0i 4221 . . 3 ((1r𝐸) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
187, 16, 173syl 18 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
19 drgext.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
20 drnggrp 19622 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
2312, 10sravsca 20066 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = ( ·𝑠𝐵))
24 drgext.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
25 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (.r𝐸) = (.r𝐸)
2624, 25ressmulr 16721 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r𝐸) = (.r𝐹))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (.r𝐸) = (.r𝐹))
2823, 27eqtr3d 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ( ·𝑠𝐵) = (.r𝐹))
2928oveqdr 7192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) = (𝑥(.r𝐹)𝑎))
30 drngring 19621 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
3231adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33 simpr1 1195 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3412, 10srasca 20065 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
3524, 34syl5eq 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐵))
3635fveq2d 6672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3736adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3833, 37eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39 simpr2 1196 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
4024, 8ressbas2 16651 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4110, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐹))
4241adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
4339, 42eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
4644, 45ringcl 19426 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4732, 38, 43, 46syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥(.r𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
4829, 47eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
5049, 42eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51 eqid 2738 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
5244, 51grpcl 18220 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5322, 48, 50, 52syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
5412, 10sraaddg 20063 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐵))
55 eqid 2738 . . . . . . . 8 (+g𝐸) = (+g𝐸)
5624, 55ressplusg 16708 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g𝐸) = (+g𝐹))
577, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐸) = (+g𝐹))
5854, 57eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐵) = (+g𝐹))
5958adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (+g𝐵) = (+g𝐹))
6059oveqd 7181 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐹)𝑏))
6153, 60, 423eltr4d 2848 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠𝐵)𝑎)(+g𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61islssd 19819 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wss 3841  c0 4209  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  s cress 16580  +gcplusg 16661  .rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665  Grpcgrp 18212  1rcur 19363  Ringcrg 19409  DivRingcdr 19614  SubRingcsubrg 19643  LSubSpclss 19815  subringAlg csra 20052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-mgp 19352  df-ring 19411  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-lss 19816  df-sra 20056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator