Theorem drgextlsp 33633

Description: The scalar field is a subspace of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drgextlsp	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Proof of Theorem drgextlsp

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐵) = (Scalar‘𝐵))
2		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐵)) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
3		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐵) = (Base‘𝐵))
4		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐵))
5		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
6		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐵) = (LSubSp‘𝐵))
7		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20532	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
11		drgext.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
13	12, 10	srabase 21135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (Base‘𝐵))
14	10, 13	sseqtrd 3995	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐵))
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
16	15	subrg1cl 20540	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (1r‘𝐸) ∈ 𝑈)
17		ne0i 4316	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐸) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
18	7, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
19		drgext.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
20		drnggrp 20699	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Grp)
23	12, 10	sravsca 21139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐵))
24		drgext.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
25		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
26	24, 25	ressmulr 17321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
27	7, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐸) = (.r‘𝐹))
28	23, 27	eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐵) = (.r‘𝐹))
29	28	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) = (𝑥(.r‘𝐹)𝑎))
30		drngring 20696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ Ring)
33		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)))
34	12, 10	srasca 21138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
35	24, 34	eqtrid 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐵))
36	35	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐵)))
38	33, 37	eleqtrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
39		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
40	24, 8	ressbas2 17259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐹))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 = (Base‘𝐹))
43	39, 42	eleqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐹))
44		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
45		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
46	44, 45	ringcl 20210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
47	32, 38, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
48	29, 47	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹))
49		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
50	49, 42	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐹))
51		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
52	44, 51	grpcl 18924	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
53	22, 48, 50, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏) ∈ (Base‘𝐹))
54	12, 10	sraaddg 21136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐵))
55		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
56	24, 55	ressplusg 17305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
57	7, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐸) = (+g‘𝐹))
58	54, 57	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (+g‘𝐵) = (+g‘𝐹))
60	59	oveqd 7422	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐹)𝑏))
61	53, 60, 42	3eltr4d 2849	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐵)𝑎)(+g‘𝐵)𝑏) ∈ 𝑈)
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 18, 61	islssd 20892	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  Grpcgrp 18916  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  SubRingcsubrg 20529  DivRingcdr 20689  LSubSpclss 20888  subringAlg csra 21129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ring 20195  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-lss 20889  df-sra 21131

This theorem is referenced by: (None)