Theorem lincolss 46027

Description: According to the statement in [Lang] p. 129, the set (LSubSp‘𝑀) of all linear combinations of a set of vectors V is a submodule (generated by V) of the module M. The elements of V are called generators of (LSubSp‘𝑀). (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincolss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Proof of Theorem lincolss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
2		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀))
4		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
6		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	7, 8, 9	lcoval 46005	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉)))))
11		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
13	12	ssrdv 3937	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ (Base‘𝑀))
14		lcoel0 46021	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (0g‘𝑀) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
15	14	ne0d 4280	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ≠ ∅)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 9, 17	lincsumscmcl 46026	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)(+g‘𝑀)𝑏) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 15, 18	islssd 20269	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  𝒫 cpw 4545   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ↑_m cmap 8663   finSupp cfsupp 9198  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  Scalarcsca 17035   ·_𝑠 cvsca 17036  0_gc0g 17220  LModclmod 20195  LSubSpclss 20265   linC clinc 45997   LinCo clinco 45998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-hash 14118  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-mhm 18500  df-submnd 18501  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-ghm 18901  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-linc 45999  df-lco 46000

This theorem is referenced by:  lspsslco  46030