Theorem lincolss 46505

Description: According to the statement in [Lang] p. 129, the set (LSubSp‘𝑀) of all linear combinations of a set of vectors V is a submodule (generated by V) of the module M. The elements of V are called generators of (LSubSp‘𝑀). (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincolss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Proof of Theorem lincolss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
2		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀))
4		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀))
5		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
6		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	7, 8, 9	lcoval 46483	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉)))))
11		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
13	12	ssrdv 3950	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ (Base‘𝑀))
14		lcoel0 46499	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (0g‘𝑀) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
15	14	ne0d 4295	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ≠ ∅)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 9, 17	lincsumscmcl 46504	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)(+g‘𝑀)𝑏) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 15, 18	islssd 20396	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392   linC clinc 46475   LinCo clinco 46476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-linc 46477  df-lco 46478

This theorem is referenced by:  lspsslco  46508