Theorem lincolss 47269

Description: According to the statement in [Lang] p. 129, the set (LSubSp‘𝑀) of all linear combinations of a set of vectors V is a submodule (generated by V) of the module M. The elements of V are called generators of (LSubSp‘𝑀). (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincolss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Proof of Theorem lincolss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
2		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀))
4		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀))
5		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
6		eqidd 2725	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀))
7		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
9		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10	7, 8, 9	lcoval 47247	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉)))))
11		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑠 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑠( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	syl6bi 253	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
13	12	ssrdv 3980	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ (Base‘𝑀))
14		lcoel0 47263	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (0g‘𝑀) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
15	14	ne0d 4327	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ≠ ∅)
16		eqid 2724	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
17		eqid 2724	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 9, 17	lincsumscmcl 47268	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)(+g‘𝑀)𝑏) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 15, 18	islssd 20767	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  𝒫 cpw 4594   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8815   finSupp cfsupp 9356  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763   linC clinc 47239   LinCo clinco 47240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-linc 47241  df-lco 47242

This theorem is referenced by:  lspsslco  47272