MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpllsslem 22009
Description: If 𝐴 is an ideal of subsets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set 𝐷 of finite bags (the primary applications being 𝐴 = Fin and 𝐴 = 𝒫 𝐵 for some 𝐵), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of 𝐴 is a linear subspace of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubglem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplsubglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubglem.i (𝜑𝐼𝑊)
mplsubglem.0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
mplsubglem.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
mplsubglem.y ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
mplsubglem.u (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
mpllsslem.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mpllsslem (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦, 0   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔   𝐷,𝑔   𝑓,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mpllsslem
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplsubglem.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 mpllsslem.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41, 2, 3psrsca 21956 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5 eqidd 2727 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 mplsubglem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
76a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
8 eqidd 2727 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
9 eqidd 2727 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆))
10 eqidd 2727 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆))
11 mplsubglem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
12 mplsubglem.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13 mplsubglem.0 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
14 mplsubglem.a . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐴)
15 mplsubglem.y . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
16 mplsubglem.u . . . 4 (𝜑𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
17 ringgrp 20221 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
191, 6, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18mplsubglem 22008 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
206subgss 19121 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑈𝐵)
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑𝑈𝐵)
22 eqid 2726 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2322subg0cl 19128 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g𝑆) ∈ 𝑈)
24 ne0i 4337 . . 3 ((0g𝑆) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
2519, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
2619adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
27 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
28 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
293adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
30 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
31 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣𝑈)
3216adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑈 = {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴})
3332eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝑈𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
34 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 supp 0 ) = (𝑣 supp 0 ))
3534eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3635elrab 3681 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3733, 36bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)))
3831, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣𝐵 ∧ (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴))
3938simpld 493 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣𝐵)
401, 27, 28, 6, 29, 30, 39psrvscacl 21960 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵)
41 ovex 7457 . . . . . . 7 ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V)
43 sseq2 4006 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → (𝑦𝑥𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 )))
4443imbi1d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → ((𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
4544albidv 1916 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑣 supp 0 ) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴)))
4615expr 455 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝑥𝑦𝐴))
4746alrimiv 1923 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
4847ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
4948adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝑥𝑦𝐴))
5038simprd 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣 supp 0 ) ∈ 𝐴)
5145, 49, 50rspcdva 3609 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴))
521, 28, 12, 6, 40psrelbas 21943 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣):𝐷⟶(Base‘𝑅))
53 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5430adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
5539adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑣𝐵)
56 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 )) → 𝑘𝐷)
5756adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → 𝑘𝐷)
581, 27, 28, 6, 53, 12, 54, 55, 57psrvscaval 21959 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)‘𝑘) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣𝑘)))
591, 28, 12, 6, 39psrelbas 21943 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣:𝐷⟶(Base‘𝑅))
60 ssidd 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑣 supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
61 ovex 7457 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
6212, 61rabex2 5341 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝐷 ∈ V)
6411fvexi 6915 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → 0 ∈ V)
6659, 60, 63, 65suppssr 8210 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑣𝑘) = 0 )
6766oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑢(.r𝑅)(𝑣𝑘)) = (𝑢(.r𝑅) 0 ))
6828, 53, 11ringrz 20273 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
693, 30, 68syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
7069adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → (𝑢(.r𝑅) 0 ) = 0 )
7158, 67, 703eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ (𝑣 supp 0 ))) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)‘𝑘) = 0 )
7252, 71suppss 8208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ))
73 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 )))
74 eleq1 2814 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
7573, 74imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) → ((𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴) ↔ (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
7675spcgv 3582 . . . . . 6 (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ V → (∀𝑦(𝑦 ⊆ (𝑣 supp 0 ) → 𝑦𝐴) → (((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ⊆ (𝑣 supp 0 ) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
7742, 51, 72, 76syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)
7832eleq2d 2812 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴}))
79 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) → (𝑔 supp 0 ) = ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ))
8079eleq1d 2811 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) → ((𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
8180elrab 3681 . . . . . 6 ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ {𝑔𝐵 ∣ (𝑔 supp 0 ) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴))
8278, 81bitrdi 286 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) supp 0 ) ∈ 𝐴)))
8340, 77, 82mpbir2and 711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
84833adantr3 1168 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈)
85 simpr3 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → 𝑤𝑈)
86 eqid 2726 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
8786subgcl 19130 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣) ∈ 𝑈𝑤𝑈) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)(+g𝑆)𝑤) ∈ 𝑈)
8826, 84, 85, 87syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣𝑈𝑤𝑈)) → ((𝑢( ·𝑠𝑆)𝑣)(+g𝑆)𝑤) ∈ 𝑈)
894, 5, 7, 8, 9, 10, 21, 25, 88islssd 20912 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  c0 4325  ccnv 5681  cima 5685  cfv 6554  (class class class)co 7424   supp csupp 8174  m cmap 8855  Fincfn 8974  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  .rcmulr 17267   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928  SubGrpcsubg 19114  Ringcrg 20216  LSubSpclss 20908   mPwSer cmps 21901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-lss 20909  df-psr 21906
This theorem is referenced by:  mpllss  22012
  Copyright terms: Public domain W3C validator