MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnat2 17938
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
natfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
natfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
natfval.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
natfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
isnat2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
isnat2.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
Assertion
Ref Expression
isnat2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐ถ,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐น,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐ป   ๐œ‘,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ท,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)

Proof of Theorem isnat2
StepHypRef Expression
1 relfunc 17848 . . . . 5 Rel (๐ถ Func ๐ท)
2 isnat2.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
3 1st2nd 8043 . . . . 5 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ ๐น = โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ)
41, 2, 3sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ)
5 isnat2.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
6 1st2nd 8043 . . . . 5 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ ๐บ = โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)
71, 5, 6sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)
84, 7oveq12d 7438 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น๐‘๐บ) = (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ))
98eleq2d 2815 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” ๐ด โˆˆ (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)))
10 natfval.1 . . 3 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
11 natfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
12 natfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
13 natfval.j . . 3 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
14 natfval.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
15 1st2ndbr 8046 . . . 4 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐น))
161, 2, 15sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐น))
17 1st2ndbr 8046 . . . 4 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐บ))
181, 5, 17sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐บ))
1910, 11, 12, 13, 14, 16, 18isnat 17937 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
209, 19bitrd 279 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  โŸจcop 4635   class class class wbr 5148  Rel wrel 5683  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Xcixp 8916  Basecbs 17180  Hom chom 17244  compcco 17245   Func cfunc 17840   Nat cnat 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-ixp 8917  df-func 17844  df-nat 17933
This theorem is referenced by:  fuccocl  17956  fucidcl  17957  invfuc  17966  curf2cl  18223  yonedalem4c  18269  yonedalem3  18272
  Copyright terms: Public domain W3C validator