MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnat2 17909
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
natfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
natfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
natfval.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
natfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
isnat2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
isnat2.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
Assertion
Ref Expression
isnat2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐ถ,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐น,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โ„Ž,๐ป   ๐œ‘,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ท,โ„Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)

Proof of Theorem isnat2
StepHypRef Expression
1 relfunc 17819 . . . . 5 Rel (๐ถ Func ๐ท)
2 isnat2.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
3 1st2nd 8021 . . . . 5 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ ๐น = โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ)
41, 2, 3sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ)
5 isnat2.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
6 1st2nd 8021 . . . . 5 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ ๐บ = โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)
71, 5, 6sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)
84, 7oveq12d 7422 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น๐‘๐บ) = (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ))
98eleq2d 2813 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” ๐ด โˆˆ (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ)))
10 natfval.1 . . 3 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
11 natfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
12 natfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
13 natfval.j . . 3 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
14 natfval.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
15 1st2ndbr 8024 . . . 4 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐น))
161, 2, 15sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐น))
17 1st2ndbr 8024 . . . 4 ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐บ))
181, 5, 17sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ€˜๐บ))
1910, 11, 12, 13, 14, 16, 18isnat 17908 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (โŸจ(1st โ€˜๐น), (2nd โ€˜๐น)โŸฉ๐‘โŸจ(1st โ€˜๐บ), (2nd โ€˜๐บ)โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
209, 19bitrd 279 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†” (๐ด โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)๐ฝ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐ดโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐น)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐บ)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(๐ดโ€˜๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  Rel wrel 5674  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Xcixp 8890  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216   Func cfunc 17811   Nat cnat 17902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-ixp 8891  df-func 17815  df-nat 17904
This theorem is referenced by:  fuccocl  17927  fucidcl  17928  invfuc  17937  curf2cl  18194  yonedalem4c  18240  yonedalem3  18243
  Copyright terms: Public domain W3C validator