![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isnat2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
natfval.1 | โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) |
natfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
natfval.h | โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) |
natfval.j | โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) |
natfval.o | โข ยท = (compโ๐ท) |
isnat2.f | โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) |
isnat2.g | โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) |
Ref | Expression |
---|---|
isnat2 | โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | relfunc 17848 | . . . . 5 โข Rel (๐ถ Func ๐ท) | |
2 | isnat2.f | . . . . 5 โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
3 | 1st2nd 8043 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) | |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) |
5 | isnat2.g | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
6 | 1st2nd 8043 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) | |
7 | 1, 5, 6 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) |
8 | 4, 7 | oveq12d 7438 | . . 3 โข (๐ โ (๐น๐๐บ) = (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ)) |
9 | 8 | eleq2d 2815 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ ๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ))) |
10 | natfval.1 | . . 3 โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) | |
11 | natfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
12 | natfval.h | . . 3 โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) | |
13 | natfval.j | . . 3 โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) | |
14 | natfval.o | . . 3 โข ยท = (compโ๐ท) | |
15 | 1st2ndbr 8046 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) | |
16 | 1, 2, 15 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) |
17 | 1st2ndbr 8046 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) | |
18 | 1, 5, 17 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) |
19 | 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18 | isnat 17937 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
20 | 9, 19 | bitrd 279 | 1 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3058 โจcop 4635 class class class wbr 5148 Rel wrel 5683 โcfv 6548 (class class class)co 7420 1st c1st 7991 2nd c2nd 7992 Xcixp 8916 Basecbs 17180 Hom chom 17244 compcco 17245 Func cfunc 17840 Nat cnat 17931 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-ixp 8917 df-func 17844 df-nat 17933 |
This theorem is referenced by: fuccocl 17956 fucidcl 17957 invfuc 17966 curf2cl 18223 yonedalem4c 18269 yonedalem3 18272 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |