![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isnat2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
natfval.1 | โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) |
natfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
natfval.h | โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) |
natfval.j | โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) |
natfval.o | โข ยท = (compโ๐ท) |
isnat2.f | โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) |
isnat2.g | โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) |
Ref | Expression |
---|---|
isnat2 | โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | relfunc 17819 | . . . . 5 โข Rel (๐ถ Func ๐ท) | |
2 | isnat2.f | . . . . 5 โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
3 | 1st2nd 8021 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) | |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) |
5 | isnat2.g | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
6 | 1st2nd 8021 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) | |
7 | 1, 5, 6 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) |
8 | 4, 7 | oveq12d 7422 | . . 3 โข (๐ โ (๐น๐๐บ) = (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ)) |
9 | 8 | eleq2d 2813 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ ๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ))) |
10 | natfval.1 | . . 3 โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) | |
11 | natfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
12 | natfval.h | . . 3 โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) | |
13 | natfval.j | . . 3 โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) | |
14 | natfval.o | . . 3 โข ยท = (compโ๐ท) | |
15 | 1st2ndbr 8024 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) | |
16 | 1, 2, 15 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) |
17 | 1st2ndbr 8024 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) | |
18 | 1, 5, 17 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) |
19 | 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18 | isnat 17908 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
20 | 9, 19 | bitrd 279 | 1 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3055 โจcop 4629 class class class wbr 5141 Rel wrel 5674 โcfv 6536 (class class class)co 7404 1st c1st 7969 2nd c2nd 7970 Xcixp 8890 Basecbs 17151 Hom chom 17215 compcco 17216 Func cfunc 17811 Nat cnat 17902 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-ixp 8891 df-func 17815 df-nat 17904 |
This theorem is referenced by: fuccocl 17927 fucidcl 17928 invfuc 17937 curf2cl 18194 yonedalem4c 18240 yonedalem3 18243 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |