![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isnat2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
natfval.1 | โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) |
natfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
natfval.h | โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) |
natfval.j | โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) |
natfval.o | โข ยท = (compโ๐ท) |
isnat2.f | โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) |
isnat2.g | โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) |
Ref | Expression |
---|---|
isnat2 | โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | relfunc 17753 | . . . . 5 โข Rel (๐ถ Func ๐ท) | |
2 | isnat2.f | . . . . 5 โข (๐ โ ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
3 | 1st2nd 7972 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) | |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 588 | . . . 4 โข (๐ โ ๐น = โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ) |
5 | isnat2.g | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) | |
6 | 1st2nd 7972 | . . . . 5 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) | |
7 | 1, 5, 6 | sylancr 588 | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ = โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) |
8 | 4, 7 | oveq12d 7376 | . . 3 โข (๐ โ (๐น๐๐บ) = (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ)) |
9 | 8 | eleq2d 2820 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ ๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ))) |
10 | natfval.1 | . . 3 โข ๐ = (๐ถ Nat ๐ท) | |
11 | natfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
12 | natfval.h | . . 3 โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) | |
13 | natfval.j | . . 3 โข ๐ฝ = (Hom โ๐ท) | |
14 | natfval.o | . . 3 โข ยท = (compโ๐ท) | |
15 | 1st2ndbr 7975 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐น โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) | |
16 | 1, 2, 15 | sylancr 588 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐น)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐น)) |
17 | 1st2ndbr 7975 | . . . 4 โข ((Rel (๐ถ Func ๐ท) โง ๐บ โ (๐ถ Func ๐ท)) โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) | |
18 | 1, 5, 17 | sylancr 588 | . . 3 โข (๐ โ (1st โ๐บ)(๐ถ Func ๐ท)(2nd โ๐บ)) |
19 | 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18 | isnat 17839 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ (โจ(1st โ๐น), (2nd โ๐น)โฉ๐โจ(1st โ๐บ), (2nd โ๐บ)โฉ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
20 | 9, 19 | bitrd 279 | 1 โข (๐ โ (๐ด โ (๐น๐๐บ) โ (๐ด โ X๐ฅ โ ๐ต (((1st โ๐น)โ๐ฅ)๐ฝ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โโ โ (๐ฅ๐ป๐ฆ)((๐ดโ๐ฆ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐น)โ๐ฆ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))((๐ฅ(2nd โ๐น)๐ฆ)โโ)) = (((๐ฅ(2nd โ๐บ)๐ฆ)โโ)(โจ((1st โ๐น)โ๐ฅ), ((1st โ๐บ)โ๐ฅ)โฉ ยท ((1st โ๐บ)โ๐ฆ))(๐ดโ๐ฅ))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 โจcop 4593 class class class wbr 5106 Rel wrel 5639 โcfv 6497 (class class class)co 7358 1st c1st 7920 2nd c2nd 7921 Xcixp 8838 Basecbs 17088 Hom chom 17149 compcco 17150 Func cfunc 17745 Nat cnat 17833 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-ixp 8839 df-func 17749 df-nat 17835 |
This theorem is referenced by: fuccocl 17858 fucidcl 17859 invfuc 17868 curf2cl 18125 yonedalem4c 18171 yonedalem3 18174 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |