Theorem 1st2ndbr 8045

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8042	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5112	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  Rel wrel 5668  ‘cfv 6540  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-1st 7992  df-2nd 7993

This theorem is used by:  cofuval  17965  cofu1  17967  cofu2  17969  cofucl  17971  cofuass  17972  cofulid  17973  cofurid  17974  funcres  17979  cofull  18019  cofth  18020  isnat2  18034  fuccocl  18050  fucidcl  18051  fuclid  18052  fucrid  18053  fucass  18054  fucsect  18058  fucinv  18059  invfuc  18060  fuciso  18061  natpropd  18062  fucpropd  18063  homahom  18122  homadm  18123  homacd  18124  homadmcd  18125  catciso  18194  prfval  18281  prfcl  18285  prf1st  18286  prf2nd  18287  1st2ndprf  18288  evlfcllem  18303  evlfcl  18304  curf1cl  18310  curf2cl  18313  curfcl  18314  uncf1  18318  uncf2  18319  curfuncf  18320  uncfcurf  18321  diag1cl  18324  diag2cl  18328  curf2ndf  18329  yon1cl  18345  oyon1cl  18353  yonedalem1  18354  yonedalem21  18355  yonedalem3a  18356  yonedalem4c  18359  yonedalem22  18360  yonedalem3b  18361  yonedalem3  18362  yonedainv  18363  yonffthlem  18364  yoniso  18367  utop2nei  24462  utop3cls  24463  func1st2nd  49930  oppfval2  49991  idfullsubc  50015  fulloppf  50017  fthoppf  50018  up1st2nd2  50042  uptra  50069  uptrar  50070  uptr2a  50076  diag1  50158  fuco11bALT  50192  precofvalALT  50222  thincciso  50307  thincciso2  50309  eufunclem  50375