Theorem 1st2ndbr 7974

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7971	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5090	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  Rel wrel 5619  ‘cfv 6481  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  cofuval  17789  cofu1  17791  cofu2  17793  cofucl  17795  cofuass  17796  cofulid  17797  cofurid  17798  funcres  17803  cofull  17843  cofth  17844  isnat2  17858  fuccocl  17874  fucidcl  17875  fuclid  17876  fucrid  17877  fucass  17878  fucsect  17882  fucinv  17883  invfuc  17884  fuciso  17885  natpropd  17886  fucpropd  17887  homahom  17946  homadm  17947  homacd  17948  homadmcd  17949  catciso  18018  prfval  18105  prfcl  18109  prf1st  18110  prf2nd  18111  1st2ndprf  18112  evlfcllem  18127  evlfcl  18128  curf1cl  18134  curf2cl  18137  curfcl  18138  uncf1  18142  uncf2  18143  curfuncf  18144  uncfcurf  18145  diag1cl  18148  diag2cl  18152  curf2ndf  18153  yon1cl  18169  oyon1cl  18177  yonedalem1  18178  yonedalem21  18179  yonedalem3a  18180  yonedalem4c  18183  yonedalem22  18184  yonedalem3b  18185  yonedalem3  18186  yonedainv  18187  yonffthlem  18188  yoniso  18191  utop2nei  24165  utop3cls  24166  func1st2nd  49176  oppfval2  49237  idfullsubc  49261  fulloppf  49263  fthoppf  49264  up1st2nd2  49288  uptra  49315  uptrar  49316  uptr2a  49322  diag1  49404  fuco11bALT  49438  precofvalALT  49468  thincciso  49553  thincciso2  49555  eufunclem  49621