Theorem 1st2ndbr 8025

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8022	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5149	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 233	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  Rel wrel 5681  ‘cfv 6541  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-1st 7972  df-2nd 7973

This theorem is referenced by:  cofuval  17829  cofu1  17831  cofu2  17833  cofucl  17835  cofuass  17836  cofulid  17837  cofurid  17838  funcres  17843  cofull  17882  cofth  17883  isnat2  17896  fuccocl  17914  fucidcl  17915  fuclid  17916  fucrid  17917  fucass  17918  fucsect  17922  fucinv  17923  invfuc  17924  fuciso  17925  natpropd  17926  fucpropd  17927  homahom  17986  homadm  17987  homacd  17988  homadmcd  17989  catciso  18058  prfval  18148  prfcl  18152  prf1st  18153  prf2nd  18154  1st2ndprf  18155  evlfcllem  18171  evlfcl  18172  curf1cl  18178  curf2cl  18181  curfcl  18182  uncf1  18186  uncf2  18187  curfuncf  18188  uncfcurf  18189  diag1cl  18192  diag2cl  18196  curf2ndf  18197  yon1cl  18213  oyon1cl  18221  yonedalem1  18222  yonedalem21  18223  yonedalem3a  18224  yonedalem4c  18227  yonedalem22  18228  yonedalem3b  18229  yonedalem3  18230  yonedainv  18231  yonffthlem  18232  yoniso  18235  utop2nei  23747  utop3cls  23748  thincciso  47623