Theorem 1st2ndbr 8025

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8022	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5103	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 236	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  Rel wrel 5654  ‘cfv 6523  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-1st 7972  df-2nd 7973

This theorem is referenced by:  cofuval  17917  cofu1  17919  cofu2  17921  cofucl  17923  cofuass  17924  cofulid  17925  cofurid  17926  funcres  17931  cofull  17971  cofth  17972  isnat2  17986  fuccocl  18002  fucidcl  18003  fuclid  18004  fucrid  18005  fucass  18006  fucsect  18010  fucinv  18011  invfuc  18012  fuciso  18013  natpropd  18014  fucpropd  18015  homahom  18074  homadm  18075  homacd  18076  homadmcd  18077  catciso  18146  prfval  18233  prfcl  18237  prf1st  18238  prf2nd  18239  1st2ndprf  18240  evlfcllem  18255  evlfcl  18256  curf1cl  18262  curf2cl  18265  curfcl  18266  uncf1  18270  uncf2  18271  curfuncf  18272  uncfcurf  18273  diag1cl  18276  diag2cl  18280  curf2ndf  18281  yon1cl  18297  oyon1cl  18305  yonedalem1  18306  yonedalem21  18307  yonedalem3a  18308  yonedalem4c  18311  yonedalem22  18312  yonedalem3b  18313  yonedalem3  18314  yonedainv  18315  yonffthlem  18316  yoniso  18319  utop2nei  24312  utop3cls  24313  func1st2nd  49702  oppfval2  49763  idfullsubc  49787  fulloppf  49789  fthoppf  49790  up1st2nd2  49814  uptra  49841  uptrar  49842  uptr2a  49848  diag1  49930  fuco11bALT  49964  precofvalALT  49994  thincciso  50079  thincciso2  50081  eufunclem  50147