Theorem 1st2ndbr 7597

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7594	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2884	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 4963	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 235	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  Rel wrel 5448  ‘cfv 6225  1^st c1st 7543  2^nd c2nd 7544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-1st 7545  df-2nd 7546

This theorem is referenced by:  cofuval  16981  cofu1  16983  cofu2  16985  cofucl  16987  cofuass  16988  cofulid  16989  cofurid  16990  funcres  16995  cofull  17033  cofth  17034  isnat2  17047  fuccocl  17063  fucidcl  17064  fuclid  17065  fucrid  17066  fucass  17067  fucsect  17071  fucinv  17072  invfuc  17073  fuciso  17074  natpropd  17075  fucpropd  17076  homahom  17128  homadm  17129  homacd  17130  homadmcd  17131  catciso  17196  prfval  17278  prfcl  17282  prf1st  17283  prf2nd  17284  1st2ndprf  17285  evlfcllem  17300  evlfcl  17301  curf1cl  17307  curf2cl  17310  curfcl  17311  uncf1  17315  uncf2  17316  curfuncf  17317  uncfcurf  17318  diag1cl  17321  diag2cl  17325  curf2ndf  17326  yon1cl  17342  oyon1cl  17350  yonedalem1  17351  yonedalem21  17352  yonedalem3a  17353  yonedalem4c  17356  yonedalem22  17357  yonedalem3b  17358  yonedalem3  17359  yonedainv  17360  yonffthlem  17361  yoniso  17364  utop2nei  22542  utop3cls  22543