Theorem 1st2ndbr 8028

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8025	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5150	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 233	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  Rel wrel 5682  ‘cfv 6544  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-1st 7975  df-2nd 7976

This theorem is referenced by:  cofuval  17832  cofu1  17834  cofu2  17836  cofucl  17838  cofuass  17839  cofulid  17840  cofurid  17841  funcres  17846  cofull  17885  cofth  17886  isnat2  17899  fuccocl  17917  fucidcl  17918  fuclid  17919  fucrid  17920  fucass  17921  fucsect  17925  fucinv  17926  invfuc  17927  fuciso  17928  natpropd  17929  fucpropd  17930  homahom  17989  homadm  17990  homacd  17991  homadmcd  17992  catciso  18061  prfval  18151  prfcl  18155  prf1st  18156  prf2nd  18157  1st2ndprf  18158  evlfcllem  18174  evlfcl  18175  curf1cl  18181  curf2cl  18184  curfcl  18185  uncf1  18189  uncf2  18190  curfuncf  18191  uncfcurf  18192  diag1cl  18195  diag2cl  18199  curf2ndf  18200  yon1cl  18216  oyon1cl  18224  yonedalem1  18225  yonedalem21  18226  yonedalem3a  18227  yonedalem4c  18230  yonedalem22  18231  yonedalem3b  18232  yonedalem3  18233  yonedainv  18234  yonffthlem  18235  yoniso  18238  utop2nei  23755  utop3cls  23756  thincciso  47669