Theorem 1st2ndbr 7995

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7992	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5086	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-1st 7942  df-2nd 7943

This theorem is referenced by:  cofuval  17849  cofu1  17851  cofu2  17853  cofucl  17855  cofuass  17856  cofulid  17857  cofurid  17858  funcres  17863  cofull  17903  cofth  17904  isnat2  17918  fuccocl  17934  fucidcl  17935  fuclid  17936  fucrid  17937  fucass  17938  fucsect  17942  fucinv  17943  invfuc  17944  fuciso  17945  natpropd  17946  fucpropd  17947  homahom  18006  homadm  18007  homacd  18008  homadmcd  18009  catciso  18078  prfval  18165  prfcl  18169  prf1st  18170  prf2nd  18171  1st2ndprf  18172  evlfcllem  18187  evlfcl  18188  curf1cl  18194  curf2cl  18197  curfcl  18198  uncf1  18202  uncf2  18203  curfuncf  18204  uncfcurf  18205  diag1cl  18208  diag2cl  18212  curf2ndf  18213  yon1cl  18229  oyon1cl  18237  yonedalem1  18238  yonedalem21  18239  yonedalem3a  18240  yonedalem4c  18243  yonedalem22  18244  yonedalem3b  18245  yonedalem3  18246  yonedainv  18247  yonffthlem  18248  yoniso  18251  utop2nei  24215  utop3cls  24216  func1st2nd  49551  oppfval2  49612  idfullsubc  49636  fulloppf  49638  fthoppf  49639  up1st2nd2  49663  uptra  49690  uptrar  49691  uptr2a  49697  diag1  49779  fuco11bALT  49813  precofvalALT  49843  thincciso  49928  thincciso2  49930  eufunclem  49996