Theorem 1st2ndbr 8035

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8032	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5110	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  Rel wrel 5666  ‘cfv 6536  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-1st 7982  df-2nd 7983

This theorem is used by:  cofuval  17943  cofu1  17945  cofu2  17947  cofucl  17949  cofuass  17950  cofulid  17951  cofurid  17952  funcres  17957  cofull  17997  cofth  17998  isnat2  18012  fuccocl  18028  fucidcl  18029  fuclid  18030  fucrid  18031  fucass  18032  fucsect  18036  fucinv  18037  invfuc  18038  fuciso  18039  natpropd  18040  fucpropd  18041  homahom  18100  homadm  18101  homacd  18102  homadmcd  18103  catciso  18172  prfval  18259  prfcl  18263  prf1st  18264  prf2nd  18265  1st2ndprf  18266  evlfcllem  18281  evlfcl  18282  curf1cl  18288  curf2cl  18291  curfcl  18292  uncf1  18296  uncf2  18297  curfuncf  18298  uncfcurf  18299  diag1cl  18302  diag2cl  18306  curf2ndf  18307  yon1cl  18323  oyon1cl  18331  yonedalem1  18332  yonedalem21  18333  yonedalem3a  18334  yonedalem4c  18337  yonedalem22  18338  yonedalem3b  18339  yonedalem3  18340  yonedainv  18341  yonffthlem  18342  yoniso  18345  utop2nei  24416  utop3cls  24417  func1st2nd  49882  oppfval2  49943  idfullsubc  49967  fulloppf  49969  fthoppf  49970  up1st2nd2  49994  uptra  50021  uptrar  50022  uptr2a  50028  diag1  50110  fuco11bALT  50144  precofvalALT  50174  thincciso  50259  thincciso2  50261  eufunclem  50327