Theorem 1st2ndbr 8083

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8080	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5167	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  Rel wrel 5705  ‘cfv 6573  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  cofuval  17946  cofu1  17948  cofu2  17950  cofucl  17952  cofuass  17953  cofulid  17954  cofurid  17955  funcres  17960  cofull  18001  cofth  18002  isnat2  18016  fuccocl  18034  fucidcl  18035  fuclid  18036  fucrid  18037  fucass  18038  fucsect  18042  fucinv  18043  invfuc  18044  fuciso  18045  natpropd  18046  fucpropd  18047  homahom  18106  homadm  18107  homacd  18108  homadmcd  18109  catciso  18178  prfval  18268  prfcl  18272  prf1st  18273  prf2nd  18274  1st2ndprf  18275  evlfcllem  18291  evlfcl  18292  curf1cl  18298  curf2cl  18301  curfcl  18302  uncf1  18306  uncf2  18307  curfuncf  18308  uncfcurf  18309  diag1cl  18312  diag2cl  18316  curf2ndf  18317  yon1cl  18333  oyon1cl  18341  yonedalem1  18342  yonedalem21  18343  yonedalem3a  18344  yonedalem4c  18347  yonedalem22  18348  yonedalem3b  18349  yonedalem3  18350  yonedainv  18351  yonffthlem  18352  yoniso  18355  utop2nei  24280  utop3cls  24281  thincciso  48716