Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2ndbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2ndbr 7727
 Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
1st2ndbr ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr
StepHypRef Expression
1 1st2nd 7724 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
2 simpr 488 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2eqeltrrd 2894 . 2 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4 df-br 5034 . 2 ((1st𝐴)𝐵(2nd𝐴) ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
53, 4sylibr 237 1 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  Rel wrel 5528  ‘cfv 6328  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-1st 7675  df-2nd 7676 This theorem is referenced by:  cofuval  17147  cofu1  17149  cofu2  17151  cofucl  17153  cofuass  17154  cofulid  17155  cofurid  17156  funcres  17161  cofull  17199  cofth  17200  isnat2  17213  fuccocl  17229  fucidcl  17230  fuclid  17231  fucrid  17232  fucass  17233  fucsect  17237  fucinv  17238  invfuc  17239  fuciso  17240  natpropd  17241  fucpropd  17242  homahom  17294  homadm  17295  homacd  17296  homadmcd  17297  catciso  17362  prfval  17444  prfcl  17448  prf1st  17449  prf2nd  17450  1st2ndprf  17451  evlfcllem  17466  evlfcl  17467  curf1cl  17473  curf2cl  17476  curfcl  17477  uncf1  17481  uncf2  17482  curfuncf  17483  uncfcurf  17484  diag1cl  17487  diag2cl  17491  curf2ndf  17492  yon1cl  17508  oyon1cl  17516  yonedalem1  17517  yonedalem21  17518  yonedalem3a  17519  yonedalem4c  17522  yonedalem22  17523  yonedalem3b  17524  yonedalem3  17525  yonedainv  17526  yonffthlem  17527  yoniso  17530  utop2nei  22859  utop3cls  22860
 Copyright terms: Public domain W3C validator