MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2ndbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2ndbr 8030
Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
1st2ndbr ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr
StepHypRef Expression
1 1st2nd 8027 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
2 simpr 483 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2eqeltrrd 2832 . 2 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4 df-br 5148 . 2 ((1st𝐴)𝐵(2nd𝐴) ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
53, 4sylibr 233 1 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2104  cop 4633   class class class wbr 5147  Rel wrel 5680  cfv 6542  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-1st 7977  df-2nd 7978
This theorem is referenced by:  cofuval  17836  cofu1  17838  cofu2  17840  cofucl  17842  cofuass  17843  cofulid  17844  cofurid  17845  funcres  17850  cofull  17889  cofth  17890  isnat2  17903  fuccocl  17921  fucidcl  17922  fuclid  17923  fucrid  17924  fucass  17925  fucsect  17929  fucinv  17930  invfuc  17931  fuciso  17932  natpropd  17933  fucpropd  17934  homahom  17993  homadm  17994  homacd  17995  homadmcd  17996  catciso  18065  prfval  18155  prfcl  18159  prf1st  18160  prf2nd  18161  1st2ndprf  18162  evlfcllem  18178  evlfcl  18179  curf1cl  18185  curf2cl  18188  curfcl  18189  uncf1  18193  uncf2  18194  curfuncf  18195  uncfcurf  18196  diag1cl  18199  diag2cl  18203  curf2ndf  18204  yon1cl  18220  oyon1cl  18228  yonedalem1  18229  yonedalem21  18230  yonedalem3a  18231  yonedalem4c  18234  yonedalem22  18235  yonedalem3b  18236  yonedalem3  18237  yonedainv  18238  yonffthlem  18239  yoniso  18242  utop2nei  23975  utop3cls  23976  thincciso  47756
  Copyright terms: Public domain W3C validator