Theorem 1st2ndbr 8000

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7997	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5103	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-1st 7947  df-2nd 7948

This theorem is referenced by:  cofuval  17824  cofu1  17826  cofu2  17828  cofucl  17830  cofuass  17831  cofulid  17832  cofurid  17833  funcres  17838  cofull  17878  cofth  17879  isnat2  17893  fuccocl  17909  fucidcl  17910  fuclid  17911  fucrid  17912  fucass  17913  fucsect  17917  fucinv  17918  invfuc  17919  fuciso  17920  natpropd  17921  fucpropd  17922  homahom  17981  homadm  17982  homacd  17983  homadmcd  17984  catciso  18053  prfval  18140  prfcl  18144  prf1st  18145  prf2nd  18146  1st2ndprf  18147  evlfcllem  18162  evlfcl  18163  curf1cl  18169  curf2cl  18172  curfcl  18173  uncf1  18177  uncf2  18178  curfuncf  18179  uncfcurf  18180  diag1cl  18183  diag2cl  18187  curf2ndf  18188  yon1cl  18204  oyon1cl  18212  yonedalem1  18213  yonedalem21  18214  yonedalem3a  18215  yonedalem4c  18218  yonedalem22  18219  yonedalem3b  18220  yonedalem3  18221  yonedainv  18222  yonffthlem  18223  yoniso  18226  utop2nei  24171  utop3cls  24172  func1st2nd  49058  oppfval2  49119  idfullsubc  49143  fulloppf  49145  fthoppf  49146  up1st2nd2  49170  uptra  49197  uptrar  49198  uptr2a  49204  diag1  49286  fuco11bALT  49320  precofvalALT  49350  thincciso  49435  thincciso2  49437  eufunclem  49503