Theorem 1st2ndbr 7791

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7788	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5040	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039  Rel wrel 5541  ‘cfv 6358  1^st c1st 7737  2^nd c2nd 7738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-1st 7739  df-2nd 7740

This theorem is referenced by:  cofuval  17342  cofu1  17344  cofu2  17346  cofucl  17348  cofuass  17349  cofulid  17350  cofurid  17351  funcres  17356  cofull  17395  cofth  17396  isnat2  17409  fuccocl  17427  fucidcl  17428  fuclid  17429  fucrid  17430  fucass  17431  fucsect  17435  fucinv  17436  invfuc  17437  fuciso  17438  natpropd  17439  fucpropd  17440  homahom  17499  homadm  17500  homacd  17501  homadmcd  17502  catciso  17571  prfval  17660  prfcl  17664  prf1st  17665  prf2nd  17666  1st2ndprf  17667  evlfcllem  17683  evlfcl  17684  curf1cl  17690  curf2cl  17693  curfcl  17694  uncf1  17698  uncf2  17699  curfuncf  17700  uncfcurf  17701  diag1cl  17704  diag2cl  17708  curf2ndf  17709  yon1cl  17725  oyon1cl  17733  yonedalem1  17734  yonedalem21  17735  yonedalem3a  17736  yonedalem4c  17739  yonedalem22  17740  yonedalem3b  17741  yonedalem3  17742  yonedainv  17743  yonffthlem  17744  yoniso  17747  utop2nei  23102  utop3cls  23103  thincciso  45946