Theorem 1st2ndbr 8039

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8036	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5114	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  Rel wrel 5667  ‘cfv 6537  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-1st 7986  df-2nd 7987

This theorem is referenced by:  cofuval  17939  cofu1  17941  cofu2  17943  cofucl  17945  cofuass  17946  cofulid  17947  cofurid  17948  funcres  17953  cofull  17993  cofth  17994  isnat2  18008  fuccocl  18024  fucidcl  18025  fuclid  18026  fucrid  18027  fucass  18028  fucsect  18032  fucinv  18033  invfuc  18034  fuciso  18035  natpropd  18036  fucpropd  18037  homahom  18096  homadm  18097  homacd  18098  homadmcd  18099  catciso  18168  prfval  18255  prfcl  18259  prf1st  18260  prf2nd  18261  1st2ndprf  18262  evlfcllem  18277  evlfcl  18278  curf1cl  18284  curf2cl  18287  curfcl  18288  uncf1  18292  uncf2  18293  curfuncf  18294  uncfcurf  18295  diag1cl  18298  diag2cl  18302  curf2ndf  18303  yon1cl  18319  oyon1cl  18327  yonedalem1  18328  yonedalem21  18329  yonedalem3a  18330  yonedalem4c  18333  yonedalem22  18334  yonedalem3b  18335  yonedalem3  18336  yonedainv  18337  yonffthlem  18338  yoniso  18341  utop2nei  24376  utop3cls  24377  func1st2nd  49773  oppfval2  49834  idfullsubc  49858  fulloppf  49860  fthoppf  49861  up1st2nd2  49885  uptra  49912  uptrar  49913  uptr2a  49919  diag1  50001  fuco11bALT  50035  precofvalALT  50065  thincciso  50150  thincciso2  50152  eufunclem  50218