Theorem 1st2ndbr 8040

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8037	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5104	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  Rel wrel 5660  ‘cfv 6533  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-1st 7987  df-2nd 7988

This theorem is used by:  cofuval  17974  cofu1  17976  cofu2  17978  cofucl  17980  cofuass  17981  cofulid  17982  cofurid  17983  funcres  17988  cofull  18028  cofth  18029  isnat2  18043  fuccocl  18059  fucidcl  18060  fuclid  18061  fucrid  18062  fucass  18063  fucsect  18067  fucinv  18068  invfuc  18069  fuciso  18070  natpropd  18071  fucpropd  18072  homahom  18131  homadm  18132  homacd  18133  homadmcd  18134  catciso  18203  prfval  18290  prfcl  18294  prf1st  18295  prf2nd  18296  1st2ndprf  18297  evlfcllem  18312  evlfcl  18313  curf1cl  18319  curf2cl  18322  curfcl  18323  uncf1  18327  uncf2  18328  curfuncf  18329  uncfcurf  18330  diag1cl  18333  diag2cl  18337  curf2ndf  18338  yon1cl  18354  oyon1cl  18362  yonedalem1  18363  yonedalem21  18364  yonedalem3a  18365  yonedalem4c  18368  yonedalem22  18369  yonedalem3b  18370  yonedalem3  18371  yonedainv  18372  yonffthlem  18373  yoniso  18376  utop2nei  24479  utop3cls  24480  func1st2nd  50005  oppfval2  50066  idfullsubc  50090  fulloppf  50092  fthoppf  50093  up1st2nd2  50117  uptra  50144  uptrar  50145  uptr2a  50151  diag1  50233  fuco11bALT  50267  precofvalALT  50297  thincciso  50382  thincciso2  50384  eufunclem  50450