Theorem 1st2ndbr 8041

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 8038	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 5120	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  Rel wrel 5659  ‘cfv 6531  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-1st 7988  df-2nd 7989

This theorem is referenced by:  cofuval  17895  cofu1  17897  cofu2  17899  cofucl  17901  cofuass  17902  cofulid  17903  cofurid  17904  funcres  17909  cofull  17949  cofth  17950  isnat2  17964  fuccocl  17980  fucidcl  17981  fuclid  17982  fucrid  17983  fucass  17984  fucsect  17988  fucinv  17989  invfuc  17990  fuciso  17991  natpropd  17992  fucpropd  17993  homahom  18052  homadm  18053  homacd  18054  homadmcd  18055  catciso  18124  prfval  18211  prfcl  18215  prf1st  18216  prf2nd  18217  1st2ndprf  18218  evlfcllem  18233  evlfcl  18234  curf1cl  18240  curf2cl  18243  curfcl  18244  uncf1  18248  uncf2  18249  curfuncf  18250  uncfcurf  18251  diag1cl  18254  diag2cl  18258  curf2ndf  18259  yon1cl  18275  oyon1cl  18283  yonedalem1  18284  yonedalem21  18285  yonedalem3a  18286  yonedalem4c  18289  yonedalem22  18290  yonedalem3b  18291  yonedalem3  18292  yonedainv  18293  yonffthlem  18294  yoniso  18297  utop2nei  24189  utop3cls  24190  func1st2nd  49043  oppfval2  49083  idfullsubc  49100  up1st2nd2  49122  diag1  49215  fuco11bALT  49249  precofvalALT  49279  thincciso  49339  thincciso2  49341  eufunclem  49406