Theorem helch 31172

Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	⊢ ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem helch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3969	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
2		ax-hv0cl 30932	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)
4		hvaddcl 30941	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5	4	rgen2 3177	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ
6		hvmulcl 30942	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7	6	rgen2 3177	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ
8	5, 7	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		issh2 31138	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)))
10	3, 8, 9	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
11		vex 3451	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	hlimveci 31119	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	13	gen2 1796	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15		isch2 31152	. 2 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ ↔ ( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
16	10, 14, 15	mpbir2an 711	1 ⊢ ℋ ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℕcn 12186   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849   ·_ℎ csm 30850  0_ℎc0v 30853   ⇝_𝑣 chli 30856   S_ℋ csh 30857   C_ℋ cch 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-map 8801  df-nn 12187  df-hlim 30901  df-sh 31136  df-ch 31150

This theorem is referenced by:  ifchhv  31173  helsh  31174  ococin  31337  chj1i  31418  hne0  31476  pjch1  31599  pjo  31600  pjsslem  31608  ho0val  31679  dfiop2  31682  hoid1i  31718  hoid1ri  31719  pjtoi  32108  pjoci  32109  pjclem3  32126  hst0  32162  st0  32178  strlem3a  32181  hstrlem3a  32189  stcltr2i  32204