Theorem helch 31827

Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	⊢ ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem helch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
2		ax-hv0cl 31587	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5	4	rgen2 3203	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ
6		hvmulcl 31597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7	6	rgen2 3203	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ
8	5, 7	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		issh2 31793	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)))
10	3, 8, 9	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
11		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	hlimveci 31774	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	13	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15		isch2 31807	. 2 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ ↔ ( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
16	10, 14, 15	mpbir2an 724	1 ⊢ ℋ ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℕcn 12316   ℋchba 31503   +_ℎ cva 31504   ·_ℎ csm 31505  0_ℎc0v 31508   ⇝_𝑣 chli 31511   S_ℋ csh 31512   C_ℋ cch 31513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hv0cl 31587  ax-hfvmul 31589

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-map 8833  df-nn 12317  df-hlim 31556  df-sh 31791  df-ch 31805

This theorem is used by:  ifchhv  31828  helsh  31829  ococin  31992  chj1i  32073  hne0  32131  pjch1  32254  pjo  32255  pjsslem  32263  ho0val  32334  dfiop2  32337  hoid1i  32373  hoid1ri  32374  pjtoi  32763  pjoci  32764  pjclem3  32781  hst0  32817  st0  32833  strlem3a  32836  hstrlem3a  32844  stcltr2i  32859