![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > helch | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
helch | โข โ โ Cโ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ssid 3967 | . . . 4 โข โ โ โ | |
2 | ax-hv0cl 29948 | . . . 4 โข 0โ โ โ | |
3 | 1, 2 | pm3.2i 472 | . . 3 โข ( โ โ โ โง 0โ โ โ) |
4 | hvaddcl 29957 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ โ) | |
5 | 4 | rgen2 3195 | . . . 4 โข โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ โ |
6 | hvmulcl 29958 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ โ) | |
7 | 6 | rgen2 3195 | . . . 4 โข โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ โ |
8 | 5, 7 | pm3.2i 472 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ โ) |
9 | issh2 30154 | . . 3 โข ( โ โ Sโ โ (( โ โ โ โง 0โ โ โ) โง (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ โ))) | |
10 | 3, 8, 9 | mpbir2an 710 | . 2 โข โ โ Sโ |
11 | vex 3450 | . . . . 5 โข ๐ฅ โ V | |
12 | 11 | hlimveci 30135 | . . . 4 โข (๐ โ๐ฃ ๐ฅ โ ๐ฅ โ โ) |
13 | 12 | adantl 483 | . . 3 โข ((๐:โโถ โ โง ๐ โ๐ฃ ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โ) |
14 | 13 | gen2 1799 | . 2 โข โ๐โ๐ฅ((๐:โโถ โ โง ๐ โ๐ฃ ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โ) |
15 | isch2 30168 | . 2 โข ( โ โ Cโ โ ( โ โ Sโ โง โ๐โ๐ฅ((๐:โโถ โ โง ๐ โ๐ฃ ๐ฅ) โ ๐ฅ โ โ))) | |
16 | 10, 14, 15 | mpbir2an 710 | 1 โข โ โ Cโ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โwal 1540 โ wcel 2107 โwral 3065 โ wss 3911 class class class wbr 5106 โถwf 6493 (class class class)co 7358 โcc 11050 โcn 12154 โchba 29864 +โ cva 29865 ยทโ csm 29866 0โc0v 29869 โ๐ฃ chli 29872 Sโ csh 29873 Cโ cch 29874 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-1cn 11110 ax-addcl 11112 ax-hilex 29944 ax-hfvadd 29945 ax-hv0cl 29948 ax-hfvmul 29950 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-map 8768 df-nn 12155 df-hlim 29917 df-sh 30152 df-ch 30166 |
This theorem is referenced by: ifchhv 30189 helsh 30190 ococin 30353 chj1i 30434 hne0 30492 pjch1 30615 pjo 30616 pjsslem 30624 ho0val 30695 dfiop2 30698 hoid1i 30734 hoid1ri 30735 pjtoi 31124 pjoci 31125 pjclem3 31142 hst0 31178 st0 31194 strlem3a 31197 hstrlem3a 31205 stcltr2i 31220 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |