Theorem helch 31632

Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	⊢ ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem helch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3962	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
2		ax-hv0cl 31392	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31401	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5	4	rgen2 3208	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ
6		hvmulcl 31402	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7	6	rgen2 3208	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ
8	5, 7	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		issh2 31598	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)))
10	3, 8, 9	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
11		vex 3462	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	hlimveci 31579	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	13	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15		isch2 31612	. 2 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ ↔ ( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
16	10, 14, 15	mpbir2an 724	1 ⊢ ℋ ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℕcn 12251   ℋchba 31308   +_ℎ cva 31309   ·_ℎ csm 31310  0_ℎc0v 31313   ⇝_𝑣 chli 31316   S_ℋ csh 31317   C_ℋ cch 31318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hv0cl 31392  ax-hfvmul 31394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-map 8835  df-nn 12252  df-hlim 31361  df-sh 31596  df-ch 31610

This theorem is used by:  ifchhv  31633  helsh  31634  ococin  31797  chj1i  31878  hne0  31936  pjch1  32059  pjo  32060  pjsslem  32068  ho0val  32139  dfiop2  32142  hoid1i  32178  hoid1ri  32179  pjtoi  32568  pjoci  32569  pjclem3  32586  hst0  32622  st0  32638  strlem3a  32641  hstrlem3a  32649  stcltr2i  32664