Theorem helch 31262

Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	⊢ ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem helch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4006	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
2		ax-hv0cl 31022	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31031	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5	4	rgen2 3199	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ
6		hvmulcl 31032	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7	6	rgen2 3199	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ
8	5, 7	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		issh2 31228	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)))
10	3, 8, 9	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
11		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	hlimveci 31209	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	13	gen2 1796	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15		isch2 31242	. 2 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ ↔ ( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
16	10, 14, 15	mpbir2an 711	1 ⊢ ℋ ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℕcn 12266   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940  0_ℎc0v 30943   ⇝_𝑣 chli 30946   S_ℋ csh 30947   C_ℋ cch 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240

This theorem is referenced by:  ifchhv  31263  helsh  31264  ococin  31427  chj1i  31508  hne0  31566  pjch1  31689  pjo  31690  pjsslem  31698  ho0val  31769  dfiop2  31772  hoid1i  31808  hoid1ri  31809  pjtoi  32198  pjoci  32199  pjclem3  32216  hst0  32252  st0  32268  strlem3a  32271  hstrlem3a  32279  stcltr2i  32294