HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem helch 30188
Description: The Hilbert lattice one (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch โ„‹ โˆˆ Cโ„‹

Proof of Theorem helch
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3967 . . . 4 โ„‹ โŠ† โ„‹
2 ax-hv0cl 29948 . . . 4 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
31, 2pm3.2i 472 . . 3 ( โ„‹ โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹)
4 hvaddcl 29957 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
54rgen2 3195 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹
6 hvmulcl 29958 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
76rgen2 3195 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹
85, 7pm3.2i 472 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
9 issh2 30154 . . 3 ( โ„‹ โˆˆ Sโ„‹ โ†” (( โ„‹ โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)))
103, 8, 9mpbir2an 710 . 2 โ„‹ โˆˆ Sโ„‹
11 vex 3450 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
1211hlimveci 30135 . . . 4 (๐‘“ โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
1312adantl 483 . . 3 ((๐‘“:โ„•โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘“ โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
1413gen2 1799 . 2 โˆ€๐‘“โˆ€๐‘ฅ((๐‘“:โ„•โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘“ โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
15 isch2 30168 . 2 ( โ„‹ โˆˆ Cโ„‹ โ†” ( โ„‹ โˆˆ Sโ„‹ โˆง โˆ€๐‘“โˆ€๐‘ฅ((๐‘“:โ„•โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘“ โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)))
1610, 14, 15mpbir2an 710 1 โ„‹ โˆˆ Cโ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397  โˆ€wal 1540   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  โŸถwf 6493  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„•cn 12154   โ„‹chba 29864   +โ„Ž cva 29865   ยทโ„Ž csm 29866  0โ„Žc0v 29869   โ‡๐‘ฃ chli 29872   Sโ„‹ csh 29873   Cโ„‹ cch 29874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addcl 11112  ax-hilex 29944  ax-hfvadd 29945  ax-hv0cl 29948  ax-hfvmul 29950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-map 8768  df-nn 12155  df-hlim 29917  df-sh 30152  df-ch 30166
This theorem is referenced by:  ifchhv  30189  helsh  30190  ococin  30353  chj1i  30434  hne0  30492  pjch1  30615  pjo  30616  pjsslem  30624  ho0val  30695  dfiop2  30698  hoid1i  30734  hoid1ri  30735  pjtoi  31124  pjoci  31125  pjclem3  31142  hst0  31178  st0  31194  strlem3a  31197  hstrlem3a  31205  stcltr2i  31220
  Copyright terms: Public domain W3C validator