HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem helch 29278
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch ℋ ∈ C

Proof of Theorem helch
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3909 . . . 4 ℋ ⊆ ℋ
2 ax-hv0cl 29038 . . . 4 0 ∈ ℋ
31, 2pm3.2i 474 . . 3 ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)
4 hvaddcl 29047 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ)
54rgen2 3114 . . . 4 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ
6 hvmulcl 29048 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
76rgen2 3114 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ
85, 7pm3.2i 474 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
9 issh2 29244 . . 3 ( ℋ ∈ S ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)))
103, 8, 9mpbir2an 711 . 2 ℋ ∈ S
11 vex 3402 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1211hlimveci 29225 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
1312adantl 485 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
1413gen2 1804 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15 isch2 29258 . 2 ( ℋ ∈ C ↔ ( ℋ ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
1610, 14, 15mpbir2an 711 1 ℋ ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wal 1541  wcel 2112  wral 3051  wss 3853   class class class wbr 5039  wf 6354  (class class class)co 7191  cc 10692  cn 11795  chba 28954   + cva 28955   · csm 28956  0c0v 28959  𝑣 chli 28962   S csh 28963   C cch 28964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-1cn 10752  ax-addcl 10754  ax-hilex 29034  ax-hfvadd 29035  ax-hv0cl 29038  ax-hfvmul 29040
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-map 8488  df-nn 11796  df-hlim 29007  df-sh 29242  df-ch 29256
This theorem is referenced by:  ifchhv  29279  helsh  29280  ococin  29443  chj1i  29524  hne0  29582  pjch1  29705  pjo  29706  pjsslem  29714  ho0val  29785  dfiop2  29788  hoid1i  29824  hoid1ri  29825  pjtoi  30214  pjoci  30215  pjclem3  30232  hst0  30268  st0  30284  strlem3a  30287  hstrlem3a  30295  stcltr2i  30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator