Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem helch 29029
 Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch ℋ ∈ C

Proof of Theorem helch
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3940 . . . 4 ℋ ⊆ ℋ
2 ax-hv0cl 28789 . . . 4 0 ∈ ℋ
31, 2pm3.2i 474 . . 3 ( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)
4 hvaddcl 28798 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ)
54rgen2 3171 . . . 4 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ
6 hvmulcl 28799 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
76rgen2 3171 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ
85, 7pm3.2i 474 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
9 issh2 28995 . . 3 ( ℋ ∈ S ↔ (( ℋ ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)))
103, 8, 9mpbir2an 710 . 2 ℋ ∈ S
11 vex 3447 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1211hlimveci 28976 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
1312adantl 485 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
1413gen2 1798 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
15 isch2 29009 . 2 ( ℋ ∈ C ↔ ( ℋ ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)))
1610, 14, 15mpbir2an 710 1 ℋ ∈ C
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℕcn 11629   ℋchba 28705   +ℎ cva 28706   ·ℎ csm 28707  0ℎc0v 28710   ⇝𝑣 chli 28713   Sℋ csh 28714   Cℋ cch 28715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-1cn 10588  ax-addcl 10590  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hv0cl 28789  ax-hfvmul 28791 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-map 8395  df-nn 11630  df-hlim 28758  df-sh 28993  df-ch 29007 This theorem is referenced by:  ifchhv  29030  helsh  29031  ococin  29194  chj1i  29275  hne0  29333  pjch1  29456  pjo  29457  pjsslem  29465  ho0val  29536  dfiop2  29539  hoid1i  29575  hoid1ri  29576  pjtoi  29965  pjoci  29966  pjclem3  29983  hst0  30019  st0  30035  strlem3a  30038  hstrlem3a  30046  stcltr2i  30061
 Copyright terms: Public domain W3C validator