HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilvc 31087
Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +, and scalar product is ·. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilvc ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 31085 . 2 + ∈ AbelOp
2 ax-hfvadd 30925 . . 3 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
32fdmi 6738 . 2 dom + = ( ℋ × ℋ)
4 ax-hfvmul 30930 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5 ax-hvmulid 30931 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6 ax-hvdistr1 30933 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7 ax-hvdistr2 30934 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8 ax-hvmulass 30932 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9 eqid 2725 . 2 ⟨ + , · ⟩ = ⟨ + , ·
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvciOLD 30505 1 ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  cop 4638   × cxp 5679  CVecOLDcvc 30483  chba 30844   + cva 30845   · csm 30846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-hilex 30924  ax-hfvadd 30925  ax-hvcom 30926  ax-hvass 30927  ax-hv0cl 30928  ax-hvaddid 30929  ax-hfvmul 30930  ax-hvmulid 30931  ax-hvmulass 30932  ax-hvdistr1 30933  ax-hvdistr2 30934  ax-hvmul0 30935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-ltxr 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30418  df-ablo 30470  df-vc 30484  df-hvsub 30896
This theorem is referenced by:  hhnv  31090
  Copyright terms: Public domain W3C validator