Theorem hilvc 31087

Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +_ℎ, and scalar product is ·_ℎ. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilvc	⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31085	. 2 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ax-hfvadd 30925	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3	2	fdmi 6738	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
4		ax-hfvmul 30930	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5		ax-hvmulid 30931	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		ax-hvdistr1 30933	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ℎ (𝑥 +ℎ 𝑧)) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 ·ℎ 𝑧)))
7		ax-hvdistr2 30934	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ·ℎ 𝑥) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
8		ax-hvmulass 30932	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) ·ℎ 𝑥) = (𝑦 ·ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
9		eqid 2725	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ = ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30505	1 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4638   × cxp 5679  CVec_OLDcvc 30483   ℋchba 30844   +_ℎ cva 30845   ·_ℎ csm 30846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-hilex 30924  ax-hfvadd 30925  ax-hvcom 30926  ax-hvass 30927  ax-hv0cl 30928  ax-hvaddid 30929  ax-hfvmul 30930  ax-hvmulid 30931  ax-hvmulass 30932  ax-hvdistr1 30933  ax-hvdistr2 30934  ax-hvmul0 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-ltxr 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30418  df-ablo 30470  df-vc 30484  df-hvsub 30896

This theorem is referenced by:  hhnv  31090