Theorem hilvc 31248

Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +_ℎ, and scalar product is ·_ℎ. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilvc	⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31246	. 2 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ax-hfvadd 31086	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3	2	fdmi 6673	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
4		ax-hfvmul 31091	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5		ax-hvmulid 31092	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		ax-hvdistr1 31094	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ℎ (𝑥 +ℎ 𝑧)) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 ·ℎ 𝑧)))
7		ax-hvdistr2 31095	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ·ℎ 𝑥) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
8		ax-hvmulass 31093	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) ·ℎ 𝑥) = (𝑦 ·ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ = ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30666	1 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   × cxp 5622  CVec_OLDcvc 30644   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   ·_ℎ csm 31007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30579  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-hvsub 31057

This theorem is referenced by:  hhnv  31251