Theorem hilvc 31821

Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +_ℎ, and scalar product is ·_ℎ. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilvc	⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31819	. 2 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ax-hfvadd 31659	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3	2	fdmi 6751	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
4		ax-hfvmul 31664	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5		ax-hvmulid 31665	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		ax-hvdistr1 31667	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ℎ (𝑥 +ℎ 𝑧)) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 ·ℎ 𝑧)))
7		ax-hvdistr2 31668	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ·ℎ 𝑥) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
8		ax-hvmulass 31666	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) ·ℎ 𝑥) = (𝑦 ·ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
9		eqid 2763	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ = ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 31239	1 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   × cxp 5656  CVec_OLDcvc 31217   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-grpo 31152  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  hhnv  31824