Theorem hilvc 31773

Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +_ℎ, and scalar product is ·_ℎ. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilvc	⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31771	. 2 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ax-hfvadd 31611	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3	2	fdmi 6726	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
4		ax-hfvmul 31616	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5		ax-hvmulid 31617	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		ax-hvdistr1 31619	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ℎ (𝑥 +ℎ 𝑧)) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 ·ℎ 𝑧)))
7		ax-hvdistr2 31620	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ·ℎ 𝑥) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
8		ax-hvmulass 31618	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) ·ℎ 𝑥) = (𝑦 ·ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
9		eqid 2760	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ = ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 31191	1 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   × cxp 5649  CVec_OLDcvc 31169   ℋchba 31530   +_ℎ cva 31531   ·_ℎ csm 31532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-hilex 31610  ax-hfvadd 31611  ax-hvcom 31612  ax-hvass 31613  ax-hv0cl 31614  ax-hvaddid 31615  ax-hfvmul 31616  ax-hvmulid 31617  ax-hvmulass 31618  ax-hvdistr1 31619  ax-hvdistr2 31620  ax-hvmul0 31621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-grpo 31104  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-hvsub 31582

This theorem is used by:  hhnv  31776