Theorem hilvc 31250

Description: Hilbert space is a complex vector space. Vector addition is +_ℎ, and scalar product is ·_ℎ. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilvc	⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem hilvc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31248	. 2 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ax-hfvadd 31088	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3	2	fdmi 6681	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
4		ax-hfvmul 31093	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
5		ax-hvmulid 31094	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		ax-hvdistr1 31096	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ℎ (𝑥 +ℎ 𝑧)) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 ·ℎ 𝑧)))
7		ax-hvdistr2 31097	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ·ℎ 𝑥) = ((𝑦 ·ℎ 𝑥) +ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
8		ax-hvmulass 31095	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) ·ℎ 𝑥) = (𝑦 ·ℎ (𝑧 ·ℎ 𝑥)))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ = ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30668	1 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   × cxp 5630  CVec_OLDcvc 30646   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   ·_ℎ csm 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-grpo 30581  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-hvsub 31059

This theorem is referenced by:  hhnv  31253