MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 25069
Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
iscvsp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
iscvsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
iscvsp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
iscvsi.1 π‘Š ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
iscvsi.5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
iscvsi.6 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
iscvsi.9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi π‘Š ∈ β„‚Vec
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 π‘Š ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
61, 4, 53pm3.2i 1337 . 2 (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
98ancoms 458 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
11103com12 1121 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
12113expa 1116 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
1312ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
1614, 15jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
17163comr 1123 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
18173expa 1116 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
1918ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
209, 13, 193jca 1126 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
2120ralrimiva 3143 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
227, 21jca 511 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
2322rgen 3060 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
24 iscvsp.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 25068 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
306, 23, 29mpbir2an 710 1 π‘Š ∈ β„‚Vec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  Grpcgrp 18890  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20624  β„‚fldccnfld 21279  β„‚Vecccvs 25063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lvec 20988  df-cnfld 21280  df-clm 25003  df-cvs 25064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator