MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 24644
Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
iscvsp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
iscvsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
iscvsp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
iscvsi.1 π‘Š ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
iscvsi.5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
iscvsi.6 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
iscvsi.9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi π‘Š ∈ β„‚Vec
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 π‘Š ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
42, 3pm3.2i 471 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
61, 4, 53pm3.2i 1339 . 2 (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
98ancoms 459 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
11103com12 1123 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
12113expa 1118 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
1312ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
1614, 15jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
17163comr 1125 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
18173expa 1118 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
1918ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
209, 13, 193jca 1128 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
2120ralrimiva 3146 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
227, 21jca 512 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
2322rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
24 iscvsp.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 24643 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
306, 23, 29mpbir2an 709 1 π‘Š ∈ β„‚Vec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18818  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  β„‚fldccnfld 20943  β„‚Vecccvs 24638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lvec 20713  df-cnfld 20944  df-clm 24578  df-cvs 24639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator