MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 24515
Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
iscvsp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
iscvsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
iscvsp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
iscvsi.1 π‘Š ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
iscvsi.5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
iscvsi.6 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
iscvsi.9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi π‘Š ∈ β„‚Vec
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 π‘Š ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
42, 3pm3.2i 472 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
61, 4, 53pm3.2i 1340 . 2 (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
98ancoms 460 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
11103com12 1124 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
12113expa 1119 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
1312ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
1614, 15jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
17163comr 1126 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
18173expa 1119 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
1918ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
209, 13, 193jca 1129 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
2120ralrimiva 3140 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
227, 21jca 513 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
2322rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
24 iscvsp.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 24514 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
306, 23, 29mpbir2an 710 1 π‘Š ∈ β„‚Vec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Grpcgrp 18756  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  β„‚fldccnfld 20819  β„‚Vecccvs 24509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lvec 20608  df-cnfld 20820  df-clm 24449  df-cvs 24510
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator