MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 25000
Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
iscvsp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
iscvsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
iscvsp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
iscvsi.1 π‘Š ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
iscvsi.5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
iscvsi.6 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
iscvsi.9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi π‘Š ∈ β„‚Vec
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 π‘Š ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
61, 4, 53pm3.2i 1336 . 2 (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
98ancoms 458 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
11103com12 1120 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
12113expa 1115 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
1312ralrimiva 3138 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
1614, 15jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
17163comr 1122 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
18173expa 1115 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
1918ralrimiva 3138 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
209, 13, 193jca 1125 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
2120ralrimiva 3138 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
227, 21jca 511 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
2322rgen 3055 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
24 iscvsp.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 24999 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
306, 23, 29mpbir2an 708 1 π‘Š ∈ β„‚Vec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Grpcgrp 18859  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  β„‚fldccnfld 21234  β„‚Vecccvs 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-cnfld 21235  df-clm 24934  df-cvs 24995
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator