Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 23713
 Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t · = ( ·𝑠𝑊)
iscvsp.a + = (+g𝑊)
iscvsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
iscvsp.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
iscvsi.1 𝑊 ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (ℂflds 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)
iscvsi.5 (𝑥𝑉 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
iscvsi.6 ((𝑦𝐾𝑥𝑉) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦𝐾𝑥𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
iscvsi.9 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi 𝑊 ∈ ℂVec
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 𝑊 ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (ℂflds 𝐾)
42, 3pm3.2i 473 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)
61, 4, 53pm3.2i 1335 . 2 (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (𝑥𝑉 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦𝐾𝑥𝑉) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
98ancoms 461 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐾𝑥𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
11103com12 1119 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝐾𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
12113expa 1114 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
1312ralrimiva 3169 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))
1614, 15jca 514 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
17163comr 1121 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝐾𝑧𝐾) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
18173expa 1114 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝐾) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
1918ralrimiva 3169 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
209, 13, 193jca 1124 . . . . 5 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
2120ralrimiva 3169 . . . 4 (𝑥𝑉 → ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
227, 21jca 514 . . 3 (𝑥𝑉 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
2322rgen 3135 . 2 𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
24 iscvsp.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+g𝑊)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 23712 . 2 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
306, 23, 29mpbir2an 709 1 𝑊 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  Grpcgrp 18082  DivRingcdr 19478  SubRingcsubrg 19507  ℂfldccnfld 20521  ℂVecccvs 23707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lvec 19851  df-cnfld 20522  df-clm 23647  df-cvs 23708 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator